第8章 二阶电路分析
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电路分析基础
例2 若电路L=1/4H，R=1，C=1F，uC(0-)=-1V， iL(0-)=0。求iL(t)，t>0
解：
S 0
2
2
R
1 2 LC
C iL L uL
－ ＋
R 2 2L
＋ uR － ＋ uC－
0
临界阻尼
0
故
s1 s2 2
iL(0-)=0。求iL(t)，t>0
iL (t ) K1est K2test K1e2t K2te2t
初始条件:
①
iL (0) 0
diL dt
(0 ) 4 A / s iL
t 0
将初始条件代入①式，求解系数K1、K2 。 有
R
C iL L uL
－ ＋
0 K1
uL
－
uc
－
C
t1 uc (t1 ) 0
4、 t
5、
t1 iL (t )
uc (t )负
t t 2 iL (t 2 ) 0 uc (t 2 ) U 0
电能磁能相互转换 ----电磁振荡。
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……
电路分析基础 定量分析
du c (t ) i ( t ) i ( t ) C L c 由t>0图有： dt di (t ) u c (t ) u L (t ) L L dt 将①代入②得 故
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电路分析基础
8.3 GLC并联电路的零输入响应
对图所示GLC并联电路，设iL(0-)=I0，uC(0-)=0。
得微分方程
d 2 i L (t ) di (t ) LC GL L i L (t ) 0 dt dt
wk.baidu.comG L
GLC并联电路与RLC串联电路对偶。不难得到
s1, 2
G G 1 ( )2 2C 2C LC
电路分析基础
uc (t ) K1es1t K2es2t K1e0.382t K2e2.618t
初始条件: uC (0) 0
①
duC dt
(0) 1V / s uC
t 0
将初始条件代入①式，求解系数K1、K2 。 有
R
C
iL
0 K1 K 2
＋ uR － ＋ uC－
二、作业
8-2,8-12,8-13
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电路分析基础
二阶电路： 含有两个动态元件。 特点： 1、响应不一定是指数变化； 2、零输入响应有三种情况： 欠阻尼（衰减震荡过程）、临界阻尼、过阻尼 特别地：无阻尼（等幅震荡过程）
产生振荡（振荡 是一重要特性）
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电路分析基础
8.1 LC电路中的正弦振荡
j K2 LC
d 2 i L (t ) 1 i L (t ) 0 2 LC dt 1 2 0 特征方程 s LC
特征根
U 0 K1 K 2
0 j K1 LC
s1, 2 j
1
LC
解得
1 K1 K 2 U 0 2
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电路分析基础
uc (t ) K1e K2e K1e
uc ic
“过阻尼”状态下，电容电 压单调衰减最终趋于零，始 终 为放电状态，放电电流由零 增大；对应tm时刻达到最大， 之后衰减到零。显然这种情 况下uC和iL是非振荡的，没 有正、负交替状况。电路中 的原始能量全部消耗在电阻 上。
特征根为不相等的负实根。则
uc (t ) K1e K 2 e
0
1 LC
C
G ＝ 2C
G2 4C L 4C G2 L
iL
4C L
d 02 2
G2
过阻尼，非振荡过程；
临界阻尼；
欠阻尼，衰减振荡过程； G 0 无阻尼，等幅振荡。
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电路分析基础
8.4 一般二阶电路的分析
以上讨论了两类特殊的二阶电路， 即RC、RLC串联和GLC并联电路的零输入响应。 对于一般二阶电路乃至高阶电路，则无论其响应是零 输入的、零状态的还是全响应，都可应用经典法：
s1t s 2t j 1 t LC
K 2e
1 LC t
j
1 t LC
1 K1 K 2 U 0 2
所以
j 1 uc (t ) U 0 (e 2 结论：
1 LC
t
e
j
) U 0 cos
1 LC
t
t0
无耗的LC电路，在初始储能作用下产生等幅振荡。 振荡角频率（谐振频率）
0
1 LC
振荡幅度与储能有关。
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电路分析基础
8.2
RLC串联电路的零输入响应
图示电路，已知 uC(0-)=U0 ， iL(0-)=0 ， t=0 时开关闭合， 求t>0 后uC(t) 和iL(t)。 （t=0）
解： u
L
u R uc 0
R
C
di L Ri u c 0 dt d 2uC du C LC RC uC 0 2 dt dt 特征方程：LCS2+RCS+1=0
4 2K1 K 2
解得
所以
＋ uR － ＋ uC－
K1＝0
K 2＝4
iL (t ) 4te2tV
返节目录
例3 若电路L=1H，R=1，C=1F，uC(0-)=1V，iL(0-)=1A。 求uC(t)=0，t>0
解： S 0
2 2
电路分析基础
R
C
R 0.5 2L
相等的负实根。
iL (t ) K1est K2test K1e2t K2te2t
iL(0+)=0
diL dt
t 0
初始条件:
uL (0) uC (0) 4A / s L L
返节目录
电路分析基础 例2 若电路L=1/4H，R=1，C=1F，uC(0-)=-1V，
即求解微分方程的齐次解和特解的方法来求其响应。 其解题过程较为繁琐，请大家看书上举例说明。
在《信号与系统》课程中，我们会采用变换域的方法 分析连续系统及模拟信号，即频域或复频域的方法求 其响应。其解题过程不仅方便简单，而且有甚深的物 理意义和理论指导意义。
S
＋ uR－ ＋ uC－
iL L uL
－
＋
二阶线性齐次微分方程
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电路分析基础
LCS2+RCS+1=0
特征根
S R R 1 2 2 0 2L 2 L LC
其中：
R ， 0 2L
1 LC
L ） U0 C
1、若： 0，（即R 2
1 0.382K1 2.618K 2
解得 所以
L uL
－
＋
K1＝0.477
K 2＝ 0.477
uc (t ) 0.447e0.382t 0.447e2.618tV
iL (t ) C du c 0.171e 0.382 t 1.17 e 2.618 t A dt
电路分析基础
uC (t ) Ke
初始条件:
1 t 2
cos(
3 t ) 2
duC dt
t 0
①
(0) 1V / s uC
R
C iL L uL
－ ＋
uC (0) 1
将初始条件代入①式，求解系数K和初相 。 有
1 K cos
＋ uR － ＋ uC－
1 3 1 K cos K sin 2 2 ＝ 利用三角公式可解得 K ＝2 3 1 t 3 2 t )V 所以 uC (t ) 2e cos( 2 3
—衰减系数
tm
ic 2tm
t
esp R 0 即 0
等幅振荡（无阻尼）
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电路分析基础
S 0
2 2
R ， 2L
C
0
1 LC
3、若
0（R 2 L ）
s1, 2
特征根为相等的负实根。 临界过程（临界阻尼）
uc (t ) K1e s1t K 2te s1t
返节目录
电路分析基础
本章要求
一、要求
1、掌握LC电路正弦振荡的基本概念；掌握RLC串联电 路及GLC并联电路的零输入响应特性；深刻理解过阻尼、 临界阻尼、欠阻尼（包括无阻尼）过程。 2、熟练掌握衰减系数、震荡角频率、谐振角频率等 概念及计算。会根据特征根求解RLC串联电路及GLC并 联电路的零输入响应。 3、了解一般二阶电路的分析方法。
0
1 1 LC
＋ uR － ＋ uC－
iL L uL
－ ＋
0
令
欠阻尼
2 0 2
1 3 一对实部为负值的共轭复根。 则 s1, 2 jd j 2 2 故 uc (t ) K1es1t K2es2t Ket cos(d t )
Ke
电路的电压和电流仍是非振荡的 但此状态下电路响应临近振荡，因此称为“临界阻尼” 状态。
思考 回答
二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应 的条件是什么？
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电路分析基础
RLC串联电路零输入响应举例
例1 如图电路，已知L=1H，R=3，C=1F，uC(0-)=0， iL(0-)=1A。求uC(t)=0，iL(t)，t>0
0 .4 4 7 e
duC dt
t 0 du C 0 . 382 t 2 . 618 t i L (t ) C 0 . 171e 1 . 17 e 返节目录 A dt
uc(0+)=0
iC (0) iL (0) 1V / s C C
V
例1 如图电路，已知L=1H，R=3，C=1F，uC(0-)=0， iL(0-)=1A。求uC(t)=0，iL(t)，t>0
电路分析基础
第8章 二阶电路分析
8.1 LC电路中的 正弦振荡
8.2 RLC串 联电路的 零输入响应
8.3 GLC并联 电路的零 输入响应
8.4 一般二 阶电路的 分析
返章目录
电路分析基础
【内容提要】
本章首先从物理概念上阐明LC电路的零输入 响应具有简谐振荡的形式，然后重点讨论RLC 串联电路的零输入响应，最后对二阶电路在恒 定激励下响应的求解做简单分析。 学习本章时，应着重掌握微分方程的编写及 求解二阶微分方程的步骤和方法；学会分析解 答结果的物理含义；深刻理解固有频率（特征 根）、过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等重要概念 的意义。
——电能、磁能相互转换
如图电路，已知uC(0-)=U0，iL(0-)=0，求t>0后uC(t)和iL(t)。 一、定性分析
1、 t 0 uc (0) U 0 2、 t 3、 t
iL
i L (0) 0
L
+
+
0
u c (t )
iL (t )
iL (t1 ) I 0 iL max
解： S 0
2 2
R
C
R 1.5 2L
0
1 1 LC
＋ uR － ＋ uC－
iL L uL
－ ＋
0
过阻尼
S1 0.382
故
S 2 2.618
不相等的负实根。
u C (t ) 0 .4 4 7 e
初始条件:
s2t 0.382t 2.618t uc (t ) K1es1t K e K e K e 1 0 . 3 8 22 t 2 .6 1 8 t 2
s1t
s2t
0
tm
2tm
t uL
指数衰减，非振荡过程。（过阻尼）
返节目录
R 1 在“欠阻尼”状态下， ， S 0 0 2 L 电容电压和电路中的充、 LC L 放电电流均为减幅振荡。 2、若： 0，（即R 2 ） C 显然，这种情况下电场 特征根为一对实部为负值的共扼复根。 和磁场交替建立和释
2
2 2 令 d 0
电路分析基础 2
s1,2 jd
uc (t ) K1e s1t K 2e s2t Ke
t
U0 uc
放，能量随着在电阻上 的消耗越来越少直至消 耗完毕。
cos(d t )
指数衰减的振荡过程。（欠阻尼） d―振荡角频率， 0 0―谐振角频率。
初始条件:
1 t 2
3 d 2
uc(0+)=1
3 cos( t ) 2 du
C t 0
dt
iC (0) iL (0) 1V / s C C
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例3 若电路L=1H，R=1，C=1F，uC(0-)=1V，iL(0-)=1A。 求uC(t)=0，t>0
① ②
iL
+ L +
uL
－
1 LC
uc
－
C
d 2 u c (t ) 1 u c (t ) 0 2 LC dt
uc (t ) K1e K 2 e
s1t
s 2t
K1e
j
t
K2e
j
1 LC
t
将②代入①得
将初始值
uc (0) U 0
(0 ) uc i L (0 ) 0 代入有 C
电路分析基础
例2 若电路L=1/4H，R=1，C=1F，uC(0-)=-1V， iL(0-)=0。求iL(t)，t>0
解：
S 0
2
2
R
1 2 LC
C iL L uL
－ ＋
R 2 2L
＋ uR － ＋ uC－
0
临界阻尼
0
故
s1 s2 2
iL(0-)=0。求iL(t)，t>0
iL (t ) K1est K2test K1e2t K2te2t
初始条件:
①
iL (0) 0
diL dt
(0 ) 4 A / s iL
t 0
将初始条件代入①式，求解系数K1、K2 。 有
R
C iL L uL
－ ＋
0 K1
uL
－
uc
－
C
t1 uc (t1 ) 0
4、 t
5、
t1 iL (t )
uc (t )负
t t 2 iL (t 2 ) 0 uc (t 2 ) U 0
电能磁能相互转换 ----电磁振荡。
返节目录
……
电路分析基础 定量分析
du c (t ) i ( t ) i ( t ) C L c 由t>0图有： dt di (t ) u c (t ) u L (t ) L L dt 将①代入②得 故
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电路分析基础
8.3 GLC并联电路的零输入响应
对图所示GLC并联电路，设iL(0-)=I0，uC(0-)=0。
得微分方程
d 2 i L (t ) di (t ) LC GL L i L (t ) 0 dt dt
wk.baidu.comG L
GLC并联电路与RLC串联电路对偶。不难得到
s1, 2
G G 1 ( )2 2C 2C LC
电路分析基础
uc (t ) K1es1t K2es2t K1e0.382t K2e2.618t
初始条件: uC (0) 0
①
duC dt
(0) 1V / s uC
t 0
将初始条件代入①式，求解系数K1、K2 。 有
R
C
iL
0 K1 K 2
＋ uR － ＋ uC－
二、作业
8-2,8-12,8-13
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电路分析基础
二阶电路： 含有两个动态元件。 特点： 1、响应不一定是指数变化； 2、零输入响应有三种情况： 欠阻尼（衰减震荡过程）、临界阻尼、过阻尼 特别地：无阻尼（等幅震荡过程）
产生振荡（振荡 是一重要特性）
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电路分析基础
8.1 LC电路中的正弦振荡
j K2 LC
d 2 i L (t ) 1 i L (t ) 0 2 LC dt 1 2 0 特征方程 s LC
特征根
U 0 K1 K 2
0 j K1 LC
s1, 2 j
1
LC
解得
1 K1 K 2 U 0 2
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电路分析基础
uc (t ) K1e K2e K1e
uc ic
“过阻尼”状态下，电容电 压单调衰减最终趋于零，始 终 为放电状态，放电电流由零 增大；对应tm时刻达到最大， 之后衰减到零。显然这种情 况下uC和iL是非振荡的，没 有正、负交替状况。电路中 的原始能量全部消耗在电阻 上。
特征根为不相等的负实根。则
uc (t ) K1e K 2 e
0
1 LC
C
G ＝ 2C
G2 4C L 4C G2 L
iL
4C L
d 02 2
G2
过阻尼，非振荡过程；
临界阻尼；
欠阻尼，衰减振荡过程； G 0 无阻尼，等幅振荡。
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电路分析基础
8.4 一般二阶电路的分析
以上讨论了两类特殊的二阶电路， 即RC、RLC串联和GLC并联电路的零输入响应。 对于一般二阶电路乃至高阶电路，则无论其响应是零 输入的、零状态的还是全响应，都可应用经典法：
s1t s 2t j 1 t LC
K 2e
1 LC t
j
1 t LC
1 K1 K 2 U 0 2
所以
j 1 uc (t ) U 0 (e 2 结论：
1 LC
t
e
j
) U 0 cos
1 LC
t
t0
无耗的LC电路，在初始储能作用下产生等幅振荡。 振荡角频率（谐振频率）
0
1 LC
振荡幅度与储能有关。
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电路分析基础
8.2
RLC串联电路的零输入响应
图示电路，已知 uC(0-)=U0 ， iL(0-)=0 ， t=0 时开关闭合， 求t>0 后uC(t) 和iL(t)。 （t=0）
解： u
L
u R uc 0
R
C
di L Ri u c 0 dt d 2uC du C LC RC uC 0 2 dt dt 特征方程：LCS2+RCS+1=0
4 2K1 K 2
解得
所以
＋ uR － ＋ uC－
K1＝0
K 2＝4
iL (t ) 4te2tV
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例3 若电路L=1H，R=1，C=1F，uC(0-)=1V，iL(0-)=1A。 求uC(t)=0，t>0
解： S 0
2 2
电路分析基础
R
C
R 0.5 2L
相等的负实根。
iL (t ) K1est K2test K1e2t K2te2t
iL(0+)=0
diL dt
t 0
初始条件:
uL (0) uC (0) 4A / s L L
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电路分析基础 例2 若电路L=1/4H，R=1，C=1F，uC(0-)=-1V，
即求解微分方程的齐次解和特解的方法来求其响应。 其解题过程较为繁琐，请大家看书上举例说明。
在《信号与系统》课程中，我们会采用变换域的方法 分析连续系统及模拟信号，即频域或复频域的方法求 其响应。其解题过程不仅方便简单，而且有甚深的物 理意义和理论指导意义。
S
＋ uR－ ＋ uC－
iL L uL
－
＋
二阶线性齐次微分方程
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电路分析基础
LCS2+RCS+1=0
特征根
S R R 1 2 2 0 2L 2 L LC
其中：
R ， 0 2L
1 LC
L ） U0 C
1、若： 0，（即R 2
1 0.382K1 2.618K 2
解得 所以
L uL
－
＋
K1＝0.477
K 2＝ 0.477
uc (t ) 0.447e0.382t 0.447e2.618tV
iL (t ) C du c 0.171e 0.382 t 1.17 e 2.618 t A dt
电路分析基础
uC (t ) Ke
初始条件:
1 t 2
cos(
3 t ) 2
duC dt
t 0
①
(0) 1V / s uC
R
C iL L uL
－ ＋
uC (0) 1
将初始条件代入①式，求解系数K和初相 。 有
1 K cos
＋ uR － ＋ uC－
1 3 1 K cos K sin 2 2 ＝ 利用三角公式可解得 K ＝2 3 1 t 3 2 t )V 所以 uC (t ) 2e cos( 2 3
—衰减系数
tm
ic 2tm
t
esp R 0 即 0
等幅振荡（无阻尼）
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电路分析基础
S 0
2 2
R ， 2L
C
0
1 LC
3、若
0（R 2 L ）
s1, 2
特征根为相等的负实根。 临界过程（临界阻尼）
uc (t ) K1e s1t K 2te s1t
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电路分析基础
本章要求
一、要求
1、掌握LC电路正弦振荡的基本概念；掌握RLC串联电 路及GLC并联电路的零输入响应特性；深刻理解过阻尼、 临界阻尼、欠阻尼（包括无阻尼）过程。 2、熟练掌握衰减系数、震荡角频率、谐振角频率等 概念及计算。会根据特征根求解RLC串联电路及GLC并 联电路的零输入响应。 3、了解一般二阶电路的分析方法。
0
1 1 LC
＋ uR － ＋ uC－
iL L uL
－ ＋
0
令
欠阻尼
2 0 2
1 3 一对实部为负值的共轭复根。 则 s1, 2 jd j 2 2 故 uc (t ) K1es1t K2es2t Ket cos(d t )
Ke
电路的电压和电流仍是非振荡的 但此状态下电路响应临近振荡，因此称为“临界阻尼” 状态。
思考 回答
二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应 的条件是什么？
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电路分析基础
RLC串联电路零输入响应举例
例1 如图电路，已知L=1H，R=3，C=1F，uC(0-)=0， iL(0-)=1A。求uC(t)=0，iL(t)，t>0
0 .4 4 7 e
duC dt
t 0 du C 0 . 382 t 2 . 618 t i L (t ) C 0 . 171e 1 . 17 e 返节目录 A dt
uc(0+)=0
iC (0) iL (0) 1V / s C C
V
例1 如图电路，已知L=1H，R=3，C=1F，uC(0-)=0， iL(0-)=1A。求uC(t)=0，iL(t)，t>0
电路分析基础
第8章 二阶电路分析
8.1 LC电路中的 正弦振荡
8.2 RLC串 联电路的 零输入响应
8.3 GLC并联 电路的零 输入响应
8.4 一般二 阶电路的 分析
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电路分析基础
【内容提要】
本章首先从物理概念上阐明LC电路的零输入 响应具有简谐振荡的形式，然后重点讨论RLC 串联电路的零输入响应，最后对二阶电路在恒 定激励下响应的求解做简单分析。 学习本章时，应着重掌握微分方程的编写及 求解二阶微分方程的步骤和方法；学会分析解 答结果的物理含义；深刻理解固有频率（特征 根）、过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等重要概念 的意义。
——电能、磁能相互转换
如图电路，已知uC(0-)=U0，iL(0-)=0，求t>0后uC(t)和iL(t)。 一、定性分析
1、 t 0 uc (0) U 0 2、 t 3、 t
iL
i L (0) 0
L
+
+
0
u c (t )
iL (t )
iL (t1 ) I 0 iL max
解： S 0
2 2
R
C
R 1.5 2L
0
1 1 LC
＋ uR － ＋ uC－
iL L uL
－ ＋
0
过阻尼
S1 0.382
故
S 2 2.618
不相等的负实根。
u C (t ) 0 .4 4 7 e
初始条件:
s2t 0.382t 2.618t uc (t ) K1es1t K e K e K e 1 0 . 3 8 22 t 2 .6 1 8 t 2
s1t
s2t
0
tm
2tm
t uL
指数衰减，非振荡过程。（过阻尼）
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R 1 在“欠阻尼”状态下， ， S 0 0 2 L 电容电压和电路中的充、 LC L 放电电流均为减幅振荡。 2、若： 0，（即R 2 ） C 显然，这种情况下电场 特征根为一对实部为负值的共扼复根。 和磁场交替建立和释
2
2 2 令 d 0
电路分析基础 2
s1,2 jd
uc (t ) K1e s1t K 2e s2t Ke
t
U0 uc
放，能量随着在电阻上 的消耗越来越少直至消 耗完毕。
cos(d t )
指数衰减的振荡过程。（欠阻尼） d―振荡角频率， 0 0―谐振角频率。
初始条件:
1 t 2
3 d 2
uc(0+)=1
3 cos( t ) 2 du
C t 0
dt
iC (0) iL (0) 1V / s C C
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例3 若电路L=1H，R=1，C=1F，uC(0-)=1V，iL(0-)=1A。 求uC(t)=0，t>0
① ②
iL
+ L +
uL
－
1 LC
uc
－
C
d 2 u c (t ) 1 u c (t ) 0 2 LC dt
uc (t ) K1e K 2 e
s1t
s 2t
K1e
j
t
K2e
j
1 LC
t
将②代入①得
将初始值
uc (0) U 0
(0 ) uc i L (0 ) 0 代入有 C