聊城大学高等数学试题B及答案

《高等数学一》试题（B 卷）

一、填空（共5题，每题3分，共15分：对的打√，错误的打×）

1、已知),2,1,1(1-=M ),1,3,3(2=M ),3,1,3(3=M 求与21M M 32M M 同时垂直的单位向量--()2,2,317

1--±--------------------

2

、函

数

x e 的关

于

x

幂级数展开式

-------⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !

1 !

2112n x n x x ---------------------------------------------------- 3、将zOx 坐标面上的双曲线

12

222=-c z a x 绕x 轴旋转一周的旋转曲面的方程为

-----12

2

222=+-

c z y a x ----------------------- 4、f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数--------()2352

1

+---------------------, 其中l 的

方向角分别为60︒, 45︒, 60︒，在该点的梯度为---()2,3,3---------------------------------

5、⎰⎰⎰Ω++2

2222)

sin(z

x y x z =------------0-------------------，其中Ω是球面1222=++z y x 所围的区域。

二、选择题（共5题，每题3分，共15分）

1、一阶线形微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解为………………………( C )

A ⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(

B ⎰

⎰⎰+⎰=-dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()( C ⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()( D ⎰

⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()( 2、设c b a ,,为单位向量且0=++c b a ，则=⋅+⋅+⋅a c c b b a ( 2

3- ) A -18 B 9 C -9 D 18

3、 两球面x 2+y 2+z 2=1和x 2+(y -1)2+(z -1)2=1的交线C 在xOy 面上的投影方程( A )

A

⎩

⎨⎧==-+0

2222z y y x B ⎩⎨⎧==-+0

02222z y y x C 022222=-+y y x D 02222=++y y x 4、求极限()()xy

xy y x 4

2lim

0,0,+-→=B

A 、2

1 B 、4

1

- C 、2

1- D 、4

1 5、设)(x f 为周期是π2的函数，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧∈-∈=)

,0[,)0,[,0)(ππx e x x f x

，

则)(x f 在0=x 处的傅里叶级数收敛于( C ) A 0 B 1 C 21 D 21- 三、计算题（共9题，每题7分，共63分）

1、设x 2

+y 2

+z 2

-4z =0, 求22x

z

∂∂.

2、设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x

u ∂∂, x

v ∂∂.

3、计算曲面积分()zdxdy dydz x z -+⎰⎰∑

2，其中∑是旋转抛物面()

22

2

1y x z +=

介于0=z 及h z =之间部分的下侧。

4、计算⎰⎰--D

d y x R σ222，其中D 是圆Rx y x =+22所围成的闭区域。

5、利用曲线积分求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形的面积

6、计算221D

y x y d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线1,x y x =-=及1y =所围成的闭区域.

7、设可导函数)(x f 满足1)(2cos )(0+=+⎰x dt t f x x f x

求)(x f

8、计算曲面积分()()()⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y 222，其中∑为锥面()h z y x z ≤≤+=022的外侧。

9、求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式.

10、求函数())4)(6(,22y y x x y x f --=的极值