圆锥曲线中的焦点三角形

焦点二角形

焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式

等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。

一:椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1, F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

(1)| PF1 | | PF2| 2a

(2)4c2 | PF, |2 | PF2 |2 2|PF, ||PF2 |COS F,PF2

（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大

2 2

证明：设P是椭圆笃笃1 （a b 0，C为半焦距）上的一点，0为原点，E、F是a b

椭圆的两焦点，PE m，PF n

EPF有最大值，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。

（4）设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P ，F2F1P ，F2PF1，则有离心

sin( ) S

S PF

1

F

2

sin sin

则COS EPF

2 2,2

m n 4c

2mn

4 b2 2mn

2mn

2b22b2

mn a2

1，由余弦函数图象性质知

b2」L

1 COS

=b2 tan

—

2

证明：由正弦定理得:

F1F2PF2

sin (180°) sin

PF1

sin

由等比定理得:

PFj |PF2

sin( ) sin sin

角三角形的三个顶点，贝U P 点到X 轴的距离是

例题:

而

sin(

2c

)sin()

PF ! PF 2 sin sin

sin

2a sin

sin( sin

)

o

sin

PF 1

2

圆

2

a

PF 2,|PF 1 |

2、设P

2

b 1(a ，b

4

,|PF 2|

2

为椭圆冷

a

0）的两个

14 .求椭圆的方程

3

(a b

0）上一点， 占 八

x 2

F 1, F 2 ,点P 在椭圆上，且 2

y - 1 4

F 1、F 2为焦点，如果 PF 1F 2 75 ,

PF 2F 1 15，则椭圆的离心率为（）

A

、

2

3

2

n ■ 6

A.

B .

C .

D.

2

2

3

3

2

2

3、F 1、

,,X

F 疋椭圆 y 1的两个焦点，

A 为椭圆上一点，且/ AF 1F 2

450，则

9 7

\17

A. 7

B

c.

2

x

4、F 2是椭圆一

25

1的两个焦点， A 为椭圆上一点，且

90 ,，则 A 至U

A.垃

B.

16 or 16 D

.非上述答案

3 5

3 5

5、设已，

F 2分别是椭圆 2

X 2 y 1的

左、 右焦点，

P 为椭圆上一点， % F 2,P 是直角

25 16

三角形的一个顶点，则 P 点到X 轴的距离是

A 芒

B.兰

C.

16

16 或— D.

非上述答案

3 5

5 3

6、设％ F 2分别是椭圆 2

X

y 2 9 1的左、 右焦点，

P 为椭圆上一点， % F 2,P 是是直

25

AF^2的面积为（

x 轴的距离为

1 cos

经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。

A. 9

B.

9 C. 9 或 9

D.

非上述答案

4

5

5 4

7、过椭圆左焦点

F ，倾斜角为 §的直线交椭圆于 A ，B 两点，若FA

2 FB ，则椭圆的

离心率为

（构造焦点三角形，

两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）

8、已知 Rt ABC , AB

AC 1,点C 为椭圆 2

2

1（a b 0）

的右焦点，且 AB 为 b 2

9、已知椭圆

b 2

1(a

0）的左、右焦点分别为 F, c,0）, F 2（C ,0），若椭圆上存在

一点P 使一 sin

a PF^

，则该椭圆的离心率的取值范围为 sin PF 2F !

A(、2 1,1) B. (.3 1,1) C. (.. 3 21) D.

(0

二：双曲线的焦点三角形

双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点

F 1, F 2与双曲线上任意一点 P 为顶点组成的

2 2

三角形。笃岭 1(a 0,b 0)

a b

)|PR| IPF 2I 2a

(2) 4C 2 | PR I 2 IPF 2I 2 2|PF 1 ||PF 2 |cos F 1PF 2

(3)

设P 为椭圆上的任意一点，

角

F F P ， F F P

，

F 2PF 1 ，则

有离心率e - --------------- - （

sin sin

)，S P F 1F 2

b 2

tan — 2

性质有: