2014-2015宁夏石嘴山市第三中学第一学期期中考试数学试题(理科)

2014-2015宁夏石嘴山市第三中学第一学期期中考试数学试题（理科）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．设集合{|32}M m Z m =∈-<<，{|13}N n Z m =∈-≤≤，则M N =（ ）

A ．{0，1}

B ．{－1，0，1}

C ．{0，1，2}

D ．{－1，0，1，2}

【解析】{2,1,0,1}M =--，{1,0,1,2,3}N =-，{1,0,1}M N =-，选B 。

2．已知向量a =（3，4），b =（2，－1），如果向量a xb -与b 垂直，则x 的值为（ ）

A ．

233 B ．323

C ．25

D ．25- 3．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且25744a a a =，21a =，则1a =（ ）

A ．12 B

．2 C

D ．2 4

．函数lg y x

=的定义域为（ ） A ．{|02}x x <<

B ．{|01x x <<或12}x <≤

C ．{|02}x x <≤

D ．{|01x x <<或12}x << 5．已知变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

，则32z x y =+的最大值为 ( )

A. －3

B.

52

C. －5

D. 4 6．已知命题p ：x R ∀∈，29610x x -+>；命题q ：x R ∃∈

，sin cos x x +=( )

A. p ⌝是假命题

B. q ⌝是真命题

C. p q ∨是真命题

D. p q ⌝∧⌝是真命题

7．已知角x 的终边上一点的坐标为（5sin 6π，5cos 6

π），则角x 的最小正值为（ ） A ．56π B ．116π C ．53π D ．23

π 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，m =（cos b C ，－1），n =（(3)cos c a B -，1），且m ∥n ，则cos B 的值为（ ）

A ．13

B ．13- C

．3 D

．3

- 9．已知52x ≥，则245()24

x x f x x -+=-有（ ） A ．最大值

52 B ．最小值54

C ．最大值1

D ．最小值1 10. 设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，且((1))1f f =，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1

D ．－2

11．若0a >，0b >且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）

A ．112ab >

B ．111a b +≤

C 2≥

D ．22118

a b ≤+

12．在三棱锥S-ABC 中，AB ⊥BC ，SA=SC=2，二面角S-AC-B 的余弦值是3

-

若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）

A ．

B

C ．24π

D ．6π 二、填空题（每题5分，共20分）

13．在△ABC 中，3B π

=，且BA ·43BC =ABC 的面积为_______。 14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是_______。283

π-

15．已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，且()a b +·(2)6a b -=-，则向量a 与b 的夹角是_______。

16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______。

三、解答题（第17题10分，其余均为12分，共70分）

17．已知二次函数2()f x ax bx =+（0a ≠）满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。

18．已知a =（3，4），b =（2，－1），其中0αβπ<<<。

（1）求证：a b +与a b -互相垂直；（2）若ka b +与ka b -（0k ≠）的长度相等，求βα-。

19．已知数列{}n a 是递增的等差数列，且166a a +=-，348a a ⋅=。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；

（3）求数列{||}n a 的前n 项和n T 。

20．如图，四棱锥S-ABCD P 为侧棱SD 上的点。

（1）求证：AC ⊥SD ；

（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：SC 的值；若不存在，试说明理由。

21．设函数21()ln 22

f x x ax bx =+-。 （1）当3a =-，1b =时求()f x 的最大值；（2）若2b =，△ABC 的面积3S =，求a 的值。

22．设函数()1x

a f x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）。 （1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线平行于x 轴，求a 的值；

（2）求函数()f x 的极值；

（3）当1a =时，若直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求实数k 的最大值。