圆锥形及阶梯型变幅杆模态分析资料讲解

圆锥形及阶梯型变幅杆模态分析
超声波变幅杆的设计及修正
摘要:超声变幅杆是超声波振动系统中一个重要的组成部分。

本文结合超声变幅杆理论对设计变幅杆进行结果分析及参数修正,采用ANSYS 12.1对变幅杆进行了有限元模态分析，在此基础上，设计并加工了一个应用于超声显微切割系统中的、
谐振频率为70 kHz的半波长圆锥型变幅杆，和用于超声波近场悬浮的、谐振频率是20kHz的阶梯型变幅杆，并进行了相关
实验。

实验结果表明，利用ANSYS软件辅助设计方法得到的超声变幅杆，其谐振频率与模态分析值非常接近，修正理论也
可以让变幅杆谐振频率更加接近设计值，为超声变幅杆的设计、校核和优化提供了一种新途径。

关键词:变幅杆;有限元;模态分析
Design and Revise of Ultrasonic horn
Abstract：Ultrasonic horns apply widely in ultrasonic processing. Combined with ultrasonic horn theory, correct the ultrasonic horn
by formula, analysis the modal of horn by ANSYS 12.1, on this basis, design a half-wavelength conical horn which resonant frequency is 60kHz, used by a ultrasonic micro dissection system, and a stepped ultrasonic horn which resonant frequency is 20kHz, used by a near-field acoustic levitation system, then make the related experiment. The results show that the resonant frequency of the ultrasonic horn designed by ANSYS is approaching the theory value, the correction coefficient also can make the resonant frequency approach the theory value, that provides a new way to design, checking or optimization.
Key word:Ultrasonic horn; Finite element; Modal analysis
引言
超声变幅杆是超声振动系统的重要组成部件，它在振动系统中的主要作用是把机械振动的质点位移量或运动速度放大，并将超声能量集中在较小的面积上[1]。

在高强度超声应用中，如超声加工、超声焊接、超声切割、超声波悬浮等场合，所需要的振幅大约为几十至几百微米，但是超声换能器辐射面所产生的振动幅度较小，一般只有几微米，所以必须借助变幅杆将机械振动质点的位移或速度放大至满足工程应用要求。

目前，有关超声变幅杆的设计，国内外主要采用传统解析法、等效电路法与替代法等，但是这些方法普遍存在计算量大而且设计精度不高的缺陷。

运用有限元分析软件ANSYS，可以有效地解决传统设计方法中存在的不足[2]。

因此，运用ANSYS，通过对超声变幅杆进行模态分析和参数优化，可以大大提高设计效率和精度。

本研究结合ANSYS软件，设计一个在超声显微切割系统应用的、谐振频率为60 kHz的半波长圆锥型变幅杆和超声波悬浮中应用的谐振频率为20kHz圆柱型变幅杆。

1 超声变幅杆的理论分析与设计
1. 1 变截面杆纵向振动的理论分析
物体在弹性介质中发生振动时会引起介质的振动。

在研究振动波时，假设把弹性介质分成若干层，每一层看作是由许多彼此紧密相连的质点组成，一旦介质中的某个质点受到某种扰动，此质点便产生偏离其平衡位置的运动[3]，由于介质各点之间存在着弹性的联系，这一运动势必推动与其相邻的质点也开始运动，这样，物体的振动就在弹性介质中传播出去，这种物体的振动在弹性介质中的传播被称为波动。

以质点和简单机械振动系统的振动及超声波的传播原理为理论基础，建立数学模型，根据牛顿定理可以确定变截面杆纵向振动的波动方程。

为了便于研究，设定理想状态，假定变截面杆是由均匀、各向同性材料所构成的，略去机械损耗，当杆的横截面尺寸远小于波长时，可以认定，平面纵波沿杆轴向传播，在杆的横截面上应力分布是均匀的[4]。

图1 变截面杆纵向振动
任一变横截面杆（如图1所示），其对称轴为X 轴，作用在任意的一小体积元(),d x x x +上的张应力为d x x
σ∂∂，根据牛顿定律可以得出动力学方程： 22()d d S x S x x x
σξρ∂∂=∂∂ (1) ξ为变幅杆纵向振动位移，()=s s x 为面积函数，=k c ω为波数，ρ为材料的密度。

σ为应力函数，E
x
ξσ∂=∂，E 是杨氏模量。

按照经典的一维变截面细杆纵振理论，假定变幅杆是由密度均匀且各向同性的材料制成，不计机械损耗，在杆的横截面上应力分布均匀且平面波沿轴向传播，此时平面波的传播方程为： 22210∂∂∂++=∂∂∂s k x s x x ξξξ (2) =k c ω为圆波数，ω是圆频率，c
是纵波在细杆中的传播速度，c =。

1.2 圆锥型变幅杆的设计
1.2.1 变幅杆的理论分析
变幅杆各性能参数是根据纵向振动的波动方程、杆的面积函数及边界条件推导出的公式确定的，如图2所示。

图2 圆锥型变幅杆结构图
以变幅杆的纵向为x 轴，l 为长度，()S x 为截面面积，设坐标原点x =0处的横截面积为1S ，x l =处的横截面积为2S ；作用在1S ，2S 上的力及位移分别为1F 、1ξ和2F 、2ξ，两端自由的时候，边界条件为： 11000:,|,|0x x x t x
ξξξξξ==∂∂====∂∂
(3)
22:,|,|0x l x l x l t x ξξξξξ==∂∂===-
=∂∂ (4) 根据边界条件可以得到变幅杆的谐振长度： 2
l λ= (5)
这就是变幅杆的设计长都都是半波长的原因[6]。

1.2.2 变幅杆谐振频率修正
假设变幅杆纵振时沿轴线方向上的位移为x ξ，则应变为∂=∂x x x ξε，纵振速度为=x x d dt ξυ。

根据瑞利近似理论[9]，横向应变为∂=-∂x r x μξε(μ为泊松比)，横向位移为∂==-∂x r r r r x ξξεμ(r 为半径)，横向振动速度为∂==-∂x r r d r dt x
υξυμ。

变幅杆上任意一个微分单元的质量为2=dm rdrdx πρ，故沿轴向方向的纵向振动动能x E 和沿径向方向的横向振动动能r E 分别为： 22201
()22
=⎰⎰⎰l x x x E dm R x dx πρυυ (6) 222401()24∂⎛⎫== ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰l x r r E dm R x dx x υπρμυ (7)
忽略横向振动后的系统总动能降低，等效质量eq m
减小，因为=f 算出的谐振频率比实际谐振频率高[7]。

增加横向振动后的纵振谐振频率'f 与忽略横向振动时
的频率f 比值为：
'==f f β这里称β为频率修正系数。

为了让变幅杆实际频率与设计频率一致，需要对未考虑横向振动时的杆长l 进行修正，经修正后的杆长'l 为：
'=l l β (9) 对于圆柱杆，两端自由时cos =x A l πξ，所以222200∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭
⎰⎰l l x x dx dx x l υπυ，故
222212=++杆杆杆x x r E R E E l μπ，于是圆柱杆的频率修正公式为：
'==杆f f β对于常用的粗细两段等长阶梯型变幅杆，令粗细两段半径分别为R 和r ，质点的纵向振动速度分别为xa υ和xb υ。

两端自由时，变幅杆两端应力为0，在0=x 的截面处力和位移连
续，由这些边界条件可知120==A A ，1122=B S B S ，所以22122===b a S R N S r ξξ，2==xb b xa a
N υξυξ。

计算阶梯型变幅杆的纵振动能阶梯x E 和横振动能阶梯r E 时，可以按照半径为R 长度为l 的等效圆柱杆
来计算，只是在计算阶梯r E 时，应加上阶梯面对变幅杆两端速度的影响。

于是阶梯x E 、阶梯r E 分别为：
22222002=
=⎰⎰阶梯l l xa xa x E R dx R dx πρυπρυ (11) ()22204420232
442220414-⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰⎰阶梯l xa xb l r l xa E R dx R dx x x N R dx
l υυπρμπρμυ(12)
故阶梯型变幅杆频率修正公式为[8]：
=阶梯β1.2.3 变幅杆的设计 分别为超声显微切割系统和超声波近场悬浮系统设计一个半波长的变幅杆，要求工作频率60f kHz =和20f kHz =，材料选用45号钢。

根据系统结构要求，设定圆锥型变幅杆的大端直径120D mm =，小端直径25D mm =，得到124N D D ==，可知纵波声速（在45号钢中）65.1710/c mm s =⨯，根据式（5）、式
（6）和式（7）计算可得: 143l mm =，019x mm =。

同时，考虑到其与外界的装配问题，在节面处增加了一厚度为4mm ，外径为28mm 的法兰盘，具体尺寸如图3所示。

图3圆锥型变幅杆
而对于设计频率是20kHz 的近场悬浮变幅杆，型状是一个圆柱上面一个圆盘，可以把圆盘考虑成弯曲振动，这样设计的时候只需考虑圆柱杆。

同上面的步骤，最后得到变幅杆尺寸为：长度2129l mm =，取大端直径338D mm =，小端直径420D mm =。

如图4所示。

图4 阶梯型变幅杆
2
超声变幅杆的有限元分析
根据圆锥型变幅杆的理论完成设计，并进行有限元分析。

这里采用美国ANSYS 公司设计开发的大型通用有限元分析软件ANSYS 12.1进行分析。

2.1 变幅杆模型的建立
用SolidWorks 建立上述圆锥型变幅杆的三维结构模型。

将设计尺寸输入，经处理后建立变幅杆完整的实体模型。

然后将模型数据存储为x_t 格式并通过数据交换将几何模型导入有限元软件ANSYS 中。

2.2 定义材料特性
设计变幅杆所用材料如表1所示。

表1 45号钢材料属性
材料 密度
ρ/ （
3
kg m ⋅） 弹性模量 /Pa E G
声速 c / 1m s -⋅ 泊松比 45号钢 7800 210 5170 0.28
2.3 单元确定及网格划分
采用SOLID187单元对圆锥型变幅杆进行自由映射网格单元划分。

对重要部位做细化。

2.4圆柱型变幅杆仿真
超声波悬浮变幅杆是直接和压电陶瓷连接起来，所以模拟的时候不对变幅杆施加约束，让其自由振动。

采用Lanczos 方法进行搜索，计算30阶模态，搜索空间是
15kHz~25kHz [10]。

最终得到三阶模态，第一阶频率是16034kHz ，弯曲振动;二阶频率是
16042kHz ，也是弯曲振动;三阶频率是19080kHz ，是纵向振动。

各阶频率及阵型如图5~7所示，但是这个纵振频率与设计频率20kHz 相差太大，加工出来的变幅杆振动不起来，需要进行修正。

通过本文的频率修正后，可以得到'125.5l l mm β==。

修正后各阶频率及振型如图8~10所示：
图5阶梯型变幅杆一阶频率：16034Hz 图6阶梯型变幅杆二阶频率：16042Hz
图7阶梯型变幅杆三阶频率：19080Hz
图8阶梯型变幅杆修正后一阶频率：17142HZ 图9阶梯型变幅杆修正后二阶频率：17146HZ
图10阶梯型变幅杆修正后三阶频率：19871HZ
从仿真结果可以看出，如果设计的变幅杆不修正，纵振频率值和设计值会有比较大的误差，修正后会非常接近设计值。

2.5圆锥型变幅杆仿真
根据实际情况，在法兰盘处施加完全约束。

模态分析采用精度和计算速度都高的Lanczos直接叠加法，计算30阶模态。

搜索空间是50kHz~70kHz，一共得到了六阶模态。

一阶模态频率是56635Hz，振型是纵向振动；二阶频率是64530Hz，纵向振动；三阶频率为65516Hz，是弯曲振动；四阶频率为65535Hz,弯曲振动；五阶频率是69398Hz，纵向振动；六阶频率是69408Hz,弯曲振动。

五阶纵振频率非常接近设计的70kHz，满足设计要求，各阶频率及振型如图11-16。

图11圆锥型变幅杆一阶频率：56635Hz 图12圆锥型变幅杆二阶频率64530Hz
图13圆锥型变幅杆三阶频率65516Hz 图14圆锥型变幅杆四阶频率65535Hz
图15圆锥型变幅杆五阶频率69398Hz 图16圆锥型变幅杆六阶频率69408Hz
因为圆锥型变幅杆中间固定了一个法兰盘，有效的限制了变幅杆的横向振动，所以结果不需要修正就已经很准了。

4 结论
本文分别设计了一个圆锥型变幅杆和阶梯型变幅杆。

通过能量修正法分析了传统变幅杆纵振频率比设计值低的原因，并对阶梯型变幅杆提出了一种简单的修正公式。

然后通过有限元软件数值模拟对设计的变幅杆进行分析。

结果表明：阶梯型变幅杆经过修正之后会非常接近理论值，而带法兰盘的圆锥型变幅杆由于法兰盘的存在，不需要修正。

参考文献
[1] 初涛. 超声变幅杆的设计及有限元分析[J]. 机电工程, 2009, 26(1): 102-107.
[2] 曹凤国.超声加工技术[M].北京:化学工业出版社,2005.
[3] 王敏慧, 鲍善惠, 江长青. 粗细端截面比对阶梯形变幅杆谐振频率的影响[J]. 声学技术, 2004(04): 242-245.
[4] 朱寅.超声变幅杆有限元谐振分析[J].机械, 2005, 32(12): 13-15.
[5] 范国良, 应祟福,林仲茂等. 一种新型的超声加工深小孔的工具系统[J]. 应用声学, 1982 (01): 2-7.
[6] RAWSON F F. High power resonant horns for ultrasonicwelding and theirmaterial aspects[J].U ltrasonics, 1987, 25(6): 371.
[7] 林仲茂. 超声变幅杆的原理和设计[M]. 北京:科学出版社, 1987: 95-100.
[8]S. Zhao, J. Wallaschekl. A standing wave acoustic levitation system for large planar objects [J].Arch. Appl. Mech., 2011, 81 (2): 123-139
[9] 朱武, 张佳民. 基于四端网络法的超声波变幅杆设计[J]. 上海电力学院学报, 2004, 20(4): 20-23
分析步骤（为节省时间以阶梯型变幅杆修正后的为例）：
第1步：载入SolidWorks中创建的模型如图1-1、1-2
1-1 读入SolidWorks中创建的X_T文件 1-2 读入后线框显示的模型第2步：指定分析标题并设置分析范畴
1 设置标题等Utility Menu>File>Change Title
图2-1 设置标题
Utility Menu>File> Change Jobname
图2-2 设置工作名称
Utility Menu>File>Change Directory
图2-3 设置工作目录
2 选取菜单途径 Main Menu>Preference ,单击 Structure,单击 OK
图2-4选取菜单途径
第3步：定义单元类型
Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete,出现Element Types对话框, 单击Add 出现Library of Element Types 对话框,选择Structural Solid,再右滚动栏选择10node 187,然后单击OK，单击Element Types对话框中的Close按钮就完成这项设置了。

图3 定义单元类型为10node 187
第4步：指定材料性能
选取菜单途径Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models。

出现Define Material Model Behavior对话框,在右侧Structural>Linear>Elastic>Isotropic,指定材料的弹性模量和泊松系数Structural>Density指定材料的密度，完成后退出即可。

图4 指定材料性能
第5步：划分网格
选取菜单途径Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool,出现MeshTool对话框，一般采用只能划分网格，点击SmartSize,下面可选择网格的相对大小（太小的计算比较复杂，不
一定能产生好的效果，一般做两三组进行比较，本次分析设为3），保留其他选项，单击Mesh出现Mesh Volumes对话框，其他保持不变单击Pick All，完成网格划分。

图五圆锥形变幅杆划分网格后
第6步：进入求解器并指定分析类型和选项
选取菜单途径Main Menu>Solution>Analysis Type>New Analysis，将出现New Analysis 对话框,选择Modal单击 OK。

图6-1 指定分析类型为Modal
选取Main Menu>Solution> Analysis Type>Analysis Options，将出现Modal Analysis 对话框，选中Block Lanczos模态提取法，在 Number of modes to extract处输入相应的值（一般为5或10，如果想要看更多的可以选择相应的数字,此次分析使用30），单击OK，出现Subspace Model Analysis对话框，选择频率的起始值和终值，其他保持不变，单击OK。

图6-2 选择频率起始值和终值
第7步：施加边界条件
选取Main Menu>Solution>Define loads>Apply>Structural>Displacement,出现ApplyU,ROT on KPS对话框，选择在点、线或面上施加位移约束,单击OK会打开约束种类对话框，选择（All DOF,UX,UY,UZ）相应的约束,单击apply或OK即可，此处由于超声波悬浮变幅杆是直接和压电陶瓷连接起来，所以模拟的时候不对变幅杆施加约束，让其自由振动。

第8步：指定要扩展的模态数
选取菜单途径 Main Menu>Solution>Load Step Opts>ExpansionPass>Expand Modes,出现Expand Modes对话框,在number of modes to expand 处输入第6步相应的数字，单击 OK即可。

（当选取Main Menu>Solution> Analysis Type>Analysis Options，将出现Modal Analysis 对话框，选中Subspace模态提取法，在 Number of modes to extract处输入相应的值）
图8 模态扩展设置
第9步：进行求解计算
选取菜单途径Main Menu>Solution>Solve>Current LS。

浏览在/STAT 命令对话框中出现的信息，然后使用 File>Close关闭该对话框,单击OK。

在出现警告“A check of your model data produced 1 Warning。

Should the SOLV command be executed?”时单击Yes,求解过程结束后单击 close。

图9 求解计算
第10步：列出固有频率
Main Menu>General Postproc>Results Summary。

浏览对话框中的信息，
图10 列出固有频率
第11步：查看总变形
从主菜单中选择Main Menu: General Postproc >Plot Result>Contour Plot>Nodal Solu
命令，打开Contour Nodal Solution Data(等值线显示节点数据)对话框，在Item to be contoure(等值线显示结果项)域中选择DOF solution(自由度解)，选中Displayement Vector Sum（总位移），然后选择Deformed shape with undeformed edge(变形后和未变形轮廓线)单选按钮。

如果需要看其他阶模态，执行Main Menu>General Postproc>Read results>Next Set,重复执行上述步骤即可
图11 等值线显示结果。