2611二次函数(1)

本章概况

本章由三个部分构成．1．二次函数的图象与性质．2．二次函数与一元二次方程之间的关系．3．二次函数的实际应用．知识方面，它是在一次函数，反比例函数的基础上，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充同时，也是以后学习初等函数的基础．本章配有丰富的实际应用实例，让学生充分感受到数学的应用价值与实际意义，激发学生学习数学的热情，让他们在应用中得到锻炼，各方面能力得到提高．

本章教学目标

1．知识与技能

(l) 了解二次函数的定义，能用表格、表达式、图象来表示变量之间的二次函数关系．

(2) 会用描点法作出二次函数图象．

(3) 理解二次函数图象及其性质，能根据二次函数表达式确定二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．

(4) 理解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

(5) 能利用二次函数解决实际问题，发展学生的数学应用能力．

2．过程与方法

(l) 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数字的方法描述变量之间的数量关系．

(2) 经历二次函数图象的探索过程，从简单到复杂，从特殊到一般，逐步探索，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．（可采用联想、对比、概括和反思等方法）

(3) 进一步加强用函数观点来解决实际问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过作图、类比、总结与归纳，逐步完善对二次函数图象及其性质的认识，积累与人合作、探究、交流的经验．获得相应的知识与技能．

通过二次函数的大量实际应用，获得用函数解决实际问题的经验，体会二次函数的意义与价值．

本章重点难点

1．重点

了解二次函数的含义，理解二次函数的图象及其性质．能用二次函数的性质解决实际问

题，体会一元二次方程与二次函数的关系．

2．难点

(l) 逐步获得二次函数图象特征及其性质．

(2) 应用二次函数解决实际间题．

本章课时分配

本章教学建议

1．在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐步理解、完善．要充分结合点的坐标的意义及实际问题中包含的特定意义，来理解函数的图象与性质.

2．加强数形结合的思想，达到数形互补，从而提高学生的分析能力．

3．在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导学生进行图象与图象之间的比较，表达式与表达式之间的比较，建立图形和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解．

4．注意小规律的理解与总结强调解决实际问题的注意事项．（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变量的取值范围等）

26.1二次函数

第1课时

教学目标

1．知识与技能

能够表示简单变量间的二次函数关系．理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力.

2．过程与方法

逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验.

3．情感、态度与价值观

进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用．教学重点难点

1．重点

二次函数实例分析、二次函数定义的理解

2．难点

从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系．

教与学互动设计

（一）创设情境导入新课

导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课

导语二观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课．

导语三观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线……探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？

（二）合作交流解读探究

1．用自变量的二次式表示函数关系

【想一想】①正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝6x2．（用含x的代数式表示）②圆的面积为S，半径为R，则S = лr2（用含R 的代数式表示）

【探究 l】多边形的对角线d与边数n有什么关系？

【思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？

【答案】从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以

作1

2

·n·（n-3）条对角线.即d=

1

2

·n·（n-3）.

【点评】思路是从简单到复杂．

【易错点】对关系式中

1

2

不很理解.

【探究2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年

都比上一年的产量增加x 倍那么，两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定．y 与x 之间的关系应怎样表示？

【解析】一年后的产量为20(1+x).

再过一年后的产量为20(1+x)2.

即两年后的产量为20(1+x)2.

【答案】y=20(1+x)2

【点评】此题必须理解每一年的产量.

2．二次函数的定义

观察比较以下关系式

①y=bx 2；②d=12n·（n-3）即21322

y n n =-；③y=20(1+x)2即y=20x 2+40x+20 函数①②③有什么共同点与不同点．

共同点：A. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式

B ．等式的右边可统一为“ax 2+bx+c ”的形式．

二次函数：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a, b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫二次函数．

【注意】①函数y=ax 2+bx+c 中，a ≠0是必要条件，切不可忽视．而b ，c 的值可以为任何实数．

② 定义是关于x 的二次整式（切不可把“y=x 2+1x

+3，也当成二次函数) （三）应用迁移巩固提高

类型之一 二次函数定义的判定及其应用

例1下列函数是二次函数的有

A.y=8x 2+1

B.y=2x-3

C.y=3x 2+21x

D.y=3x 【解析】A 符合二次函数定义，故它是二次函数． B .是一次函数． C ,D 都出现分式，故C ,D 都不是二次函数.

【答案】A

【点评】紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②ax 2

+bx+c 是整式（二次三项式）.

变式题 若y=(b-1)x 2+3是二次函数，则b ≠1.

类型之一 实际问题中的二次函数

例2 一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm ，宽为(x+1)cm 的小长方形.剩余的部分的面积为ycm 2.