2019年上海市春季高考数学试卷 word版 含参考答案及解析

2019年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A
B = ．
2．计算22231
lim 41
n n n n n →∞-+=-+ ．
3．不等式|1|5x +<的解集为 ．
4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．
5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为
6．已知2
221
4x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩
，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6
1()x x
+的展开式中，常数项等于 ．
8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1
cos 4
C =，则AB = ．
9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其
中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数2
3y x =交BC 于点P ，函数1
2
y x
-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．
11．在椭圆
22
142
x y
+=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，
若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．
12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，
存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a
λ
∈，则t 的值是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2x
y =
B ．1
2
y x = C ．tan y x = D ．cos y x =
14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线
a 、
b 、
c 不可能满足以下哪种关系( )
A ．两两垂直
B ．两两平行
C ．两两相交
D ．两两异面
16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，
0)，且满足120lny lny +=，则点12
11
(,)a a 的轨迹是( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．
18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；
（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞
<，求公比q 的取值范围．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占年份 卫生总费用
（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出 绝对数（亿元）
占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）
占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）
占卫生总
费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053
()1t
f t e -=
+研
究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与
抛物线的交点，定义：||
()||
PF d P FQ =．
（1）当8
(1,)3
P --时，求()d P ；
（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；
（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．
21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合
{}*|,n S x x b n N ==∈．
（1）若120,3
a d π
==，求集合S ； （2）若12
a π
=
，求d 使得集合S 恰好有两个元素；
（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．
2019年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．
【思路分析】利用交集定义直接求解．
【解析】：集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}， {3A
B ∴=，5}．故答案为：{3，5}．
【归纳与总结】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．计算22231lim 41
n n n n n →∞-+=-+ 2 ．
【思路分析】对22231
41
n n n n -+-+的分子、分母同除以2n ，再求极限即可．
【解析】：2
22
2
312231lim lim 241
411n n n n n n n n n n
→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【归纳与总结】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞
∞
极限的求法．
3．不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．
【思路分析】根据|()|(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<可解得． 【解析】：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．
【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为
1()(0)f x x x -=> ．
【思路分析】由2(0)y x x =>解得(0)x y y =>，再交换x 与y 的位置即得反函数． 【解析】：由2(0)y x x =>解得x y =，
1()(0)f x x x -∴=>故答案为1f - ()(0)x x x =>
【归纳与总结】本题考查了反函数，属基础题． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为
【思路分析】把已知等式变形求得z 再由||||z z =，结合复数模的计算公式求解． 【解析】：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+， 22||||2222z z ∴==+=2
【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．已知2
2214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩
，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【思路分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值． 【解析】：由题意，可知： 方程有无穷多解，
∴可对①2⨯，得：442x y +=-．
再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-．
【归纳与总结】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．
7．在6
1()x x +的展开式中，常数项等于 15 ．
【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为0得常数项． 【解析】：6
1()x x
+
展开式的通项为362
16
r r
r T C x
-+=令
39
02
r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．
【归纳与总结】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1
cos 4
C =，则AB = 10 ．
【思路分析】利用正弦定理可得2BC =，利用余弦定理即可得出结论． 【解析】：3sin 2sin A B =，
∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，
1
cos
4
C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=
⨯⨯， ∴解得：10AB =．故答案为：10．
【归纳与总结】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．
9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）
【思路分析】根据分步计数原理即可求出．
【解析】：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有3
3
424A =种， 故答案为：24．
【归纳与总结】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．
10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数2
3y x =交BC 于点P ，函数1
2
y x
-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 3 ．
【思路分析】由已知可得P ，Q
坐标，进而可得||||AQ CP +=得答案．
【解析】：由题意得：P
点坐标为，)a ，Q
点坐标为(a ，
1
1||||23
AQ CP a
+=
，
当且仅当a =
【归纳与总结】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．
11．在椭圆22
142
x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，
若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1
[arccos 3
π-，]π ．
【思路分析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，结合121F P F P ，22
142
x y +=可得：2[1y ∈，2]，
进而可得1F P 与2F Q 的夹角θ满足：1212cos F P F Q
F P F Q
θ=的范围，最后得到答案．
【解析】：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y
-，
椭圆22142
x y +=
的焦点坐标为(，0)，，0)，
121F P F P ，2221x y ∴-+， 结合22
142
x y +=可得：2[1y ∈，2]
故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：
22
2122212238cos 3[122(F P F Q
y y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1
]3-
故1[arccos 3θπ∈-，]π 故答案为：1
[arccos 3
π-，]π
【归纳与总结】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，
难度中档．
12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，
存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a
λ
∈，
则t 的值是 1或3- ． 【思路分析】0t >时，当a t =时，
9t a
λ
+；当9a t =+时，(9)t t λ=+；当1a t =+时，
4t a
λ
+，当4a t =+时，(1)(4)t t λ=++，从而(9)(1)(4)t t t t +=++，解得1t =；当
104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则
[t a
λ
∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，当a t =时，
1t a
λ
+，当1a t =+时，
t a λ
，即(1)t t λ=+，当4a t =+时，
9t a
λ
+，当9a t =+时，
(4)(9)t t λ=++，从而(1)(4)(9)t t t t +=++，解得3t =-．当90t +<时，无解．
【解析】：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t a
λ
∈+，9]t +，
当[4a t ∈+，9]t +时，则[t a
λ
∈，1]t +，
即当a t =时，
9t a
λ
+；当9a t =+时，
t a
λ
，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，
4t a
λ
+，当4a t =+时，
1t a
λ
+，即(1)(4)t t λ=++，
(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．
当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t a
λ
∈，1]t +．
当[4a t ∈+，9]t +，则[4t a
λ
∈+，9]t +，
即当a t =时，
1t a
λ
+，当1a t =+时，
t a
λ
，即(1)t t λ=+，
即当4a t =+时，
9t a
λ
+，当9a t =+时，
4t a
λ
+，即(4)(9)t t λ=++，
(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．
当90t +<时，同理可得无解．
综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．
【归纳与总结】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，
考查运算求解能力，是难题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2x
y =
B ．12
y x = C ．tan y x = D ．cos y x =
【思路分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B 【解析】：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错
B ，y x =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．
C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错
D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．
【归纳与总结】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．
14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【思路分析】根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要
条件的定义进行判断即可．
【解析】：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，
∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，
故选：C ．
【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线
a 、
b 、
c 不可能满足以下哪种关系( )
A ．两两垂直
B ．两两平行
C ．两两相交
D ．两两异面
【思路分析】利用面面垂直的性质．画图判定 【解析】：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；
故选：B ．
【归纳与总结】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．
16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，
0)，且满足120lny lny +=，则点12
11
(,)a a 的轨迹是( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
【思路分析】根据点点的距离公式可得21112y a =-，2
2
212y a =-，根据对数的运算性质即可得到121y y =，可得12
112a a +=，设1211x a y a ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，则2x y +=为直线，即可求出点的轨迹． 【解析】：因为221111|1|r a a y =-=+，则21112y a =-，同理可得2
2
212y a =-， 又因为120lny lny +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，
即12122a a a a =+，则12
112a a +=，设1211x a y a ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，则2x y +=为直线，故选：A ． 【归纳与总结】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．
【思路分析】（1）由已知可得//MN PC ，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，利用余弦定理求解得答案；
（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．
【解析】：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，
在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，
可得22233
cos 24223
PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯，
AC ∴与MN 的夹角为3
arccos
4
； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，
连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，2
13AO AN ==．
22213PO ∴=-=．
∴1133
333224
P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．
【归纳与总结】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；
（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞
<，求公比q 的取值范围．
【思路分析】（1）求出公差即可求n S ；
（2）由lim n n S →∞
存在得11q -<<且0q ≠，由lim 12n n S →∞
<得3
4
q <
，取交集可得公比q 的取值范围．
【解析】：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，
2(1)
3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；
（2）3(1)
1n n q S q
-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，
∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3
lim lim 11n n n n q S q q
→∞→∞-==
--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304
q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3
)4
．
【归纳与总结】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了
极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053
()1t
f t e
-=
+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
【思路分析】（1）根据表格数据得出结论；
（2）根据函数性质得出单调性，解不等式求出t 的范围，从而得出答案．
【解析】：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）
6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，
6.44200.1136357876.6053
()1t
f t e -∴=
+在N 上单调递增， 令 6.44200.1136357876.60531200001t
e ->+，解得50.68t >， ∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，
∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
【归纳与总结】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．
20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与
抛物线的交点，定义：||
()||
PF d P FQ =．
（1）当8
(1,)3
P --时，求()d P ；
（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；
（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．
【思路分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF 的斜率和方程，解得Q 的坐标，由两点的距离公式可得所求值；
（2）求得(1,0)P -，可得2a =，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，代入抛物线方程，求得Q 的纵坐标，计算2()||d P PF -，化简整理即可得证；
（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，计算1322[()()]4()d P d p d P +-，结合条件，化简
整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．
【解析】：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8
(1,)3
P --，
8
4323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得1
4
Q x =，
抛物线的准线方程为1x =-
，可得10
||3
PF ==
， 15
||144
QF =+=，||8()||3PF d P QF =
=； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，
联立1x my =+和2
4y x =，可得2
440y my --=
，2Q y m =+
22()||22(22
P P Q y d P PF y m m --==+ 2122m m +-=-=，
则存在常数a ，使得2()||d P
PF a =+；
（3）设1
1(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则
1321322[()()]4(
)||||2|
|d
P d p d P
PF P F P F
+
-=+-=
=， 由221313[()16]28y y y y -++=-，
22222
21313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，
则132()()2()d P d P d P +>．
【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．
21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合
{}*|,n S x x b n N ==∈．
（1）若120,3
a d π
==，求集合S ； （2）若12
a π
=
，求d 使得集合S 恰好有两个元素；
（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b
，再根据周期性求解； （2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案； （3）分别令1T =，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T 的可能取值． 【解析】：（1）
等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合
{}*|,n S x x b n N ==∈．
∴当120,3
a d π==
， 集合3{2S =-，0，3}2
． （2）12
a π
=
，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}
*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如
图：
根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，
②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，
如图OB ，OC ，此时23
d π
=，
综上，2
3
d π=或者d π=．
（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．
②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，
等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2
k d π
=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．
③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin 10S π
=，1，sin
}10
π
-满足题意．
④当6T =时，6
n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，
所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3． 当1k =时，33
{
}S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3
当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227
d m n ππ
==
-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有
2m n a a π-=，247
d m n ππ
==
-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有
2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ=
=-，或者467
d m n ππ
==
-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．
综上，3T =，4，5，6．
【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．
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