输入输出反馈线性化

非线性控制：输入—输出反馈线性化
1
课前测验
一、分析以下非线性系统的原点是否稳定、是否渐近稳定、是否全局渐近稳定。

1、21122221,x
x x x x x x =++=- ； 2、1221sin ,5x x x x ==- ； 3、312212sin ,x x x x x =-=- ； 4、1122121
,1x x x x x x =-=-+ 。

第13章 反馈线性化
考虑这样一类非线性系统
非线性控制：输入—输出反馈线性化
2
)
()()(x h y u x G x f x =+= 是否存在一个状态反馈控制
v x x u )()(βα+=
及变量代换
)(x T z =
把非线性系统转换为等效的线性系统。

13.1节通过几个简单例子引入全状态线性化（full-state linearization ）和输入-输出线性化两个概念，并给出其表示方法。

所谓全状态线性化是指把状态方程完全线性化，输入-输出线性化则是把输入-输出映射线性化，而状态方程只
非线性控制：输入—输出反馈线性化
是部分线性化。

13.2节将研究输入-输出线性化，介绍相对阶、零动态和最小相位系统。

13.3节将给出一类可反馈线性化的非线性系统的特征。

有关可反馈（或可部分反馈）线性化系统的状态反馈控制在13.4节讨论，其中涉及到稳定性和跟踪问题。

13.1 引言
为了引入反馈线性化的感念，首先讨论稳定单摆方程
3
非线性控制：输入—输出反馈线性化
4
cu bx x a x
x x +--+-==21221]sin )[sin(δδ 的原点问题。

通过观察上面的系统状态方程，可以选择
c
v x c a u +-)+=]sin sin(1δδ 以消去非线性项]sin )[sin(1δδα-+x ，从而得到线性系统
v bx x
x x +-==2221 这样非线性系统的稳定性问题就简化为一个可控线性系统的稳定性问题，我们可以设计一个稳定的线性状态反馈控制
非线性控制：输入—输出反馈线性化
5
2211x k x k v --=
使闭环系统
2211221)(x b k x k x
x x +--== 的特征值在左半开平面，则整个状态反馈控制律为
)(1]sin )[sin(22111x k x k c x c a u +--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=δδ 消去非线性项的方法普遍适用吗？显然不能希望每个非线性系统都能消去非线性项，但一定存在具有某种结构特性的系统，允许消去非线性项。

不难看出，如果通过相减消去非线性项)(x α，则控制器u 和非线性项)(x γ必须以
非线性控制：输入—输出反馈线性化
6
乘积形式u x )(γ出现。

如果矩阵)(x γ在所讨论的区域是非奇异矩阵，则可以通过v x u )(β=消去，其中)()(1x x -=γβ是矩阵)(x γ的逆矩阵。

因此，如果能利用反馈消去非线性项，就可以将非线性状态方程转变成一个可控的线性状态方程。

考虑如下结构的非线性状态方程：
)]()[(x u x B Ax x
αγ-+= (13.1) 其中，A 为n n ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，矩阵对),(B A 是可控矩阵，函数p n R R →:α和p p n R R ⨯→:γ定义在包含原点的定义域n R D ⊂上，且矩阵)(x γ对于每个D x ∈都是非奇
非线性控制：输入—输出反馈线性化
7
异矩阵。

对于系统（13.1），可以通过状态反馈
v x x u )()(βα+= (13.2)
将其线性化，其中)()(1x x -=γβ，得到线性状态方程：
Bv Ax x
+= (13.3) 为了实现稳定，可设计Kx v -=，使得BK A -为Hurwitz 矩阵。

整个非线性稳定状态反馈控制为
Kx x x u )()(βα-= (13.4)
假设非线性状态方程不具有形如式(13.1)的结构，是否意味着就不能通过反馈对系统线性化呢？回答是否定的。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
8
回顾前面的内容，系统的状态模型并不是惟一的，它取决于状态变量的选择，即使所选择的一种状态变量不能使系统状态方程具有形如式(13.1)的结构，还可以选择其他状态变量。

例如，对于系统
u x x
x a x +-==21221sin 不能简单选取u 消去非线性项2sin x a 。

但是，如果先通过变换
12211sin x
x a z x z === 改变状态变量，则1z 和2z 满足
非线性控制：输入—输出反馈线性化
9
)(cos 212221u x x a z
z z +-== 非线性项可以通过控制
v x a x u 2
21cos 1+= 消去，当2/2/2ππ<<-x 时，上式有明确定义。

要求出新坐标系),(21z z 中的状态方程，可通过逆变换，即用),(21z z 表示),(21x x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-a z x z x 2121
1sin
非线性控制：输入—输出反馈线性化
10 上式当a z a <<-2时有定义。

变换后的状态方程为
)(sin cos 2121221u z a z a z z z
+-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 当用变量代换)(x T z =将状态方程从x 坐标系变换到z 坐标系时，映射T 必须是可逆的，即必须存在逆映射)(1⋅-T ，使得对于所有)(D T z ∈，有)(1z T x -=，这里D 是T 的定义域。

此外，由于z 和x 的导数应该是连续的，因此要求)(⋅T 和)(1⋅-T 必须连续可微。

具有连续可微逆映射的连续可微映射称为微分同胚。

如果雅可比矩阵]/[x T ∂∂在点D x ∈0是非奇异矩阵，则根
非线性控制：输入—输出反馈线性化
11
据反函数定理①，存在一个0x 的邻域N ，使得限定在N 内的T 是N 上的微分同胚。

如果映射T 是n R 上的微分同胚，且n n R R T =)(，则称T 为全局微分同胚映射②。

至此我们可以给出可反馈线性化系统的定义。

定义13.1 一个非线性系统
u x G x f x
)()(+= (13.5) 其中n R D f →:和p n R D G ⨯→:在定义域n R D ⊂上足够光
① 参见文献[10]的定理7.5。

②
当且仅当对所有n
R x ∈，]/[x T
∂∂是非奇异矩阵，且T 是正则的，即
当∞=∞
→)(lim x T x 时，T 是全局微分同胚映射（证明参见文献[165]
或文献[212]）。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
12
滑①。

如果存在一个微分同胚映射n R D T →:，使得)(D T D x =包含原点，且可以通过变量代换)(x T z =将系统(13.5)转化为下形式：
)]()[(x u x B Az z
αγ-+= (13.6) 其中，),(B A 是可控的，且对于所有D x ∈，)x (γ为非奇异矩阵，则称系统(13.5)是可反馈线性化的（或可输入/状态线性化）。

当我们要关注某些输出变量时，例如在跟踪控制问题
①
所谓“足够光滑”是指后面出现的所有偏导数都有定义且是连续的。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
13
中，则可用状态方程和输出方程描述状态模型。

对状态方程线性化，没有必要对输出方程也线性化。

例如，如果系统
u x x
x a x
+-==21221sin
的输出为2x y =，则变量代换和状态反馈控制为
11x z =，22sin x a z =，v x a x u 2
21cos 1
+
=
可得
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14
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛===-a z y v z
z z 21221sin
虽然状态方程是线性的，但由于输出方程是非线性的，因此求解关于y 的跟踪控制问题仍然很复杂。

观察x 坐标系中的状态方程和输出方程可以发现，如果状态反馈控制采用v x u +=21，就能够将u 到y 的输入-输出映射线性化，此时线性模型为
2
2x y v x
==
非线性控制：输入—输出反馈线性化
15
现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题了。

上述讨论表明，有时对输入-输出映射进行线性化更有意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。

这种情况称系统为可输入—输出线性化的。

注意应用输入-输出线性化，线性化的输入-输出映射并不能说明系统的全部动态特性。

在前面例子中，整个系统表示为
2
221sin x y v x x a x
=== 注意，状态变量1x 和输出y 没有联系，换句话说就是线性
非线性控制：输入—输出反馈线性化
16
化反馈控制使得1x 由y 是不可观测的。

在设计跟踪控制时，应该保证变量1x 具有良好性能，即在某种意义上是稳定或有界的。

一个仅采用线性输入-输出映射的简单控制设计，可能会导致信号)(1t x 不断增长。

例如，假设设计一个线性控制器，使输出y 稳定在常数值r 上，则
r ta x t x sin )0()(11+=，当0sin ≠r 时，)(1t x 会变得无界，这类内部稳定问题可以用零动态概念解释。

13.2 输入-输出线性化
考虑单输入—单输出系统
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17
()()x
f x
g x u =+ (13.7) ()y
h x = (13.8)
其中f ，g 和h 在定义域n R D ⊂上足够光滑。

映射
n R D f →:和n R D g →:称为D 上的向量场。

导数y
为 [()()]()()f g h
y
f x
g x u L
h x L h x u x
∂=++∂ 其中
)()(x f x
h
x h L f ∂∂=
称为h 关于f 或沿f 的Lie 导数，这种表示方法类似于h 沿
系统)(x f x
= 轨迹的导数。

当重复计算关于同一向量场或
非线性控制：输入—输出反馈线性化
18
一新向量场的导数时，这种新表示法较为方便。

例如，要用到以下表示：
211
0()()(),()
()()(),()()()(),
()()
f g f f f
f f k f k k f f f f L h L L h x
g x x
L h L h x L L h x f x x L h L h x L L h x f x x
L h x h x --∂=
∂∂==
∂∂==∂= 如果的0)(=x h L g ，则)(x h L y
f = ，与u 无关。

如果继续计算y 的二阶导数，记为)2(y ，得
非线性控制：输入—输出反馈线性化
19
(2)
2()[()()]()()f f g f L h y
f x
g x u L
h x L L h x u x
∂=
+=+∂
同样，如果()0g f L L h x =，则(2)2()f y L h x =，且与u 无关。

重复这一过程可看出，如果()h x 满足
1()0i g f L L h x -=，1,2,,1i ρ=- ；1()0g f L L h x ρ-≠
则u 不会出现在(1),,,y y y ρ- 的方程中，但出现在()y ρ的方程
中，带一个非零系数，即
()1()()f g f y L h x L L h x u ρρρ-=+
上述方程清楚地表明系统是可输入-输出线性化的，因为由状态反馈控制
非线性控制：输入—输出反馈线性化
20
1()()
f g f L h x v u L L h x ρρ--+=
把输入-输出映射简化为
()y v ρ=
这是一个ρ积分器链。

这时，整数ρ称为系统的相对阶，下面是其定义。

定义13.2 如果对于所有0x D ∈，有
11()0,1,2,,1;()0i g f g f L L h x i L L h x ρρ--==-≠ (13.9)
则称非线性系统（13.7）~（13.8）在区域0x D ∈上具有相对阶ρ，1n ρ≤≤。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
21
例13.1 考虑受控Van der Pol 方程
1222112(1),0x
x x
x x x u εε==-+-+>
其输出为1y x =。

计算输出导数，得
1222112(1)y
x x y x
x x x u ε====-+-+
因此，系统在2 上的相对阶为2。

当输出2y x =时，有
2221122[(1)]y
x x x x x u ε=+-+-+ 系统在202{|0}D x x =∈≠ 上的相对阶为1。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
22
例13.2 考虑系统
11221
x
x x x u y x ==+= 计算y 的导数，得
11y
x x y === 因而，对于所有1n ≥，()1n y y x ==。

在这种情况下，系统不具有符合上述定义的相对阶,因为输出11()()e (0)t y t x t x ==与输入u 无关。

例13.3 一个场控直流电动机，若忽略轴阻尼，其模型为
非线性控制：输入—输出反馈线性化
23
状态方程（见习题1.17）：
112213312x
ax u x
bx k cx x x
x x θ=-+=-+-= 其中，1x 、2x 和3x 分别是场励磁电流、电枢电流和角速度，
a 、
b 、
c 、k 和θ是正常数。

对于速度控制，选择输出为3y x =，则输出导数为
31212122()y
x x x y x x
x x x u θθθθ===+=⋅+
这里()⋅中的各项为x 的函数。

系统在区域
302{|0}D x x =∈≠ 上的相对阶为2。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
24
例13.4 考虑一个线性系统，其传递函数为
110
110
()m m m m n n n b s b s b H s s a s a ----+++=+++
其中m n <且0m b ≠。

系统的状态模型可取为
x
Ax Bu y Cx
=+=
其中
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25
0122
10100
000100
000001
n n n n A a a a a a --⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-----⎢⎥⎣
⎦
，10001n B ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 011[00]m
n C b b b ⨯=
该线性状态模型是系统（13.7）-（13.8）的特例，其中
()f x Ax =，g B =，()h x Cx =。

为检验系统的相对阶，计算
输出的导数。

其一阶导数为
y
CAx CBu =+ 如果1m n =-，则10n CB b -=≠，系统的相对阶为1；否则
非线性控制：输入—输出反馈线性化
26
0CB =，继续计算二阶导数(2)y 。

注意，CA 是一个行向量，
由C 的元素右移一次得到，而2CA 由C 的元素右移两次得到，依次类推，可知
110,1,2,,1,0i n m m CA B i n m CA B b ---==--=≠
这样，u 首次出现在()n m y -的方程中，即
()1n m n m n m y CA x CA Bu ----=+
系统的相对阶是n m -，即()H s 的分母多项式与分子多项式的次数之差①。

①
非线性系统中“相对阶”一词与线性控制理论中的相对阶（定义为n-m ）是一致的。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
27
为了进一步研究可输入-输出线性化系统的控制和内部稳定问题，我们先讨论上例的线性系统。

传递函数()H s 可写为
()
()()
N s H s D s =
其中deg D n =，deg N m n =<，n m ρ=-。

由欧几里得除法法则可知
()()()()D s Q s N s R s =+
其中 deg Q n m ρ=-=，deg R m <，且()Q s 的首项系数是
1/m b 。

根据该()D s 的表达式，()H s 可重写为
非线性控制：输入—输出反馈线性化
28
1
()()
()1()
()()()1()()
N s Q s H s R s Q s N s R s Q s N s ==++
这样()H s 就可以表示为一个负反馈连接，1/()Q s 在正向通路，()/()R s N s 在反馈通路（见图13.1）。

ρ阶传递函数
1/()Q s 没有零点，可由ρ阶状态向量
(1)T []y y
y ρξ-= 实现，得到的状态模型为
T ()c c c m
c A B B b e y C ξλξξ
=++=
其中(,,)c c c A B C 是ρ积分器链的标准形表达式，即
非线性控制：输入—输出反馈线性化
29
010
00001
00,,[1000]0100001c c c A B C ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（13.10） 且ρλ∈ 。

设000(,,)A B C 是传递函数()/()R s N s 的最小实现，即
000A B y w C η
ηη
=+=
0A 的特征值是多项式()N s 的零点，也是传递函数()H s 的零
点。

从反馈连接可以看出，()H s 可由状态模型
00c A B C η
ηξ=+ （13.11）
非线性控制：输入—输出反馈线性化
30
T 0()c c m m
A B b C b u ξξλξη=+-+ （13.12） c y C ξ= （13.13）
实现。

利用(,,)c c c A B C 的特殊结构可直接验证
()T 0m m y b C b u ρλξη=-+
由（输入-输出线性化）状态反馈控制
T 01
]m m
u b C v b λξη=
-++ 可得系统
00c c c c A B C A B v y C η
ηξξξξ
=+=+=
非线性控制：输入—输出反馈线性化
31
其输入-输出映射是一个ρ积分器链，且其状态子向量η在输出y 是不可观测的。

假设希望把输出稳定为一个恒定参考信号r ，这就要求把ξ稳定在*T [00]r ξ= 处。

通过变量代换*ζξξ=-，把平衡点转移至原点，这样问题则简化为c c A B v ξξ=+ 的稳定性问题。

取*()v K K ζξξ=-=--，其
中c c A B K -是Hurwitz 矩阵，最后得到控制律
T *01()]m m
u b C K b λξηξξ=-+-- 相应的闭环系统为
*000()()c c A B C A B K ηηξζζζ
=++=-
非线性控制：输入—输出反馈线性化
32
因为c c A B K -是Hurwitz 矩阵，所以对任意初始状态(0)ζ，
当t →∞时，()0t ζ→。

因而，当t →∞时，()y t r →。

下面讨论η变化。

方程（13.11）以c y C ξ=为输入驱动，
为保证()t η对()y t 的所有可能波形和所有初始状态(0)η都有界，要求0A 必须为Hurwitz 矩阵，相当于()H s 的零点必
须位于左半开平面内。

所有零点都位于左半开平面的传递函数称为最小相位系统。

从极点配置的观点看，我们通过输入-输出线性化设计的状态反馈控制把闭环特征值分为两组：ρ个特征值分配在左半开平面内，作为c c A B K -的
非线性控制：输入—输出反馈线性化
33
特征值；，n ρ 个特征值分配为开环零点①。

对例13.4中线性系统的分析，使利用状态反馈控制把输入-输出映射简化为积分器链，以及如何描述系统内部稳定性的意义更明显。

使我们理解这一点的主要手段是状态模型（13.11）~（13.13）的非线性形式。

由于输入-输出映射仍是ρ个积分器链，因此可选取变量ξ与线性系统的相同，希望通过选择变量η得到系统（13.11）的非线性形式。

系统（13.11）的关键特征是没有控制输入u 。

若把系统（13.7）~（13.8）变换为模型（13.11）~（13.13）的非
① 应该注意，把输出稳定为恒定参考信号，不要求系统是最小相位的，这是由于我们将一些闭环特征值分配为开环零点。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
34
线性形式，可通过变量代换
11()()()()()()()n f x x x z T x h x x L h x ρρφφφηψξ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---==------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中选择1φ到n ρφ-，使()T x 为定义域0D D ⊂上的微分同胚映
射，且
0()0,1,i g x i n x D x
φρ∂=≤≤-∀∈∂ （13.15）
非线性控制：输入—输出反馈线性化
35
下一定理说明1n ρφφ--存在，至少局部存在。

定理13.1 考虑系统（13.7）~（13.8），假设其在D 内的相对阶为n ρ≤。

如果n ρ=，则对于每个0x D ∈，0x 的邻域N
存在，使得N 上的映射
1()()()()f n f h x L h x T x L h x -⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
是N 上的微分同胚映射。

如果n ρ<，则对于每个0x D ∈，存在0x 的一个邻域N 和光滑函数1(),,()n x x ρφφ- ，使得对于
非线性控制：输入—输出反馈线性化
36
所有x N ∈，式（13.15）成立，且限定在N 上的映射()T x 是N 上的微分同胚映射。

证明：见附录C.21。

条件（13.15）保证当计算
[()()]f x g x u x
φη∂=+∂ 时消去u 项。

容易验证，变量代换式（13.14）将系统（13.7）~（13.8）变换为
0(,)f η
ηξ= (13.16) ()[()]c c
A B x u x ξξγα=+- (13.17)
非线性控制：输入—输出反馈线性化
37
c y C ξ= (13.18)
其中ρξ∈ ，n ρη-∈ ，(,,)c c c A B C 是ρ个积分器链的标准
形表达式，且
10()
(,)()x T z f f x x φηξ-=∂=∂ (13.19) 11()()(),()()f g f g f L h x x L L h x x L L h x ρρργα--==- (13.20)
在方程（13.17）中保留了原坐标系下的α和γ，这些函数由式（13.20）唯一确定，是,f g 和h 的函数，与φ的
非线性控制：输入—输出反馈线性化
38
选取无关。

在新坐标中通过设定
10(,)(())T z αηξα-=，10(,)(())T z γηξγ-=
求出，当然此式取决于φ的选取。

在这种情况下，方程（13.17）可重写为
00
(,)[(,)]c c A B u ξξγηξαηξ=+- 如果*x 是方程（13.7）的开环平衡点，则由
****(),[()00]x h x ηφξ==
定义的**(,)ηξ是方程（13.16）和方程（13.17）的一个平衡点。

如果y 在*x x =为零，即*()0h x =，则可以通过选择()x φ使得*()0x φ=，把*x 变换到原点(0,0)ηξ==。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
39
方程（13.16）~（13.18）称为标准形（normal form ）。

这种形式把系统分解为外部ξ和内部η两部分。

通过状态反馈控制
()()u x x v αβ=+
使外部ξ线性化，式中1()()x x βγ-=，而该控制使内部η为不可观测的。

内部动态特性由方程（13.16）描述，在方程中令0ξ=，可得
0(,0)f η
η= (13.21) 该方程称为零动态方程。

对于线性系统，方程（13.21）由0A η
η= 给出，该名称与之很相称，因为这里0A 的特征值是
非线性控制：输入—输出反馈线性化
40 传递函数()H s 的零点。

如果方程（13.21）在所讨论的定义域内有一个渐近稳定平衡点，则系统被称为最小相位系统。

具体讲，如果选择()T x 使原点(0,0)ηξ==是方程（13.16）至方程（13.18）的一个平衡点，则当零动态系统（13.21）的原点渐近稳定时，系统为最小相位系统。

知道零动态系统可在原坐标系表达非常有用，这样不必求出正则形就可以判断系统是否最小相位。

注意
()0()0()(())y t t u t x t ξα≡⇒≡⇒≡
如果输出恒等于零，则状态方程的解一定属于集合
*10{|()()()0}f f Z x D h x L h x L h x ρ-=∈====
非线性控制：输入—输出反馈线性化
41
且输入一定为
*
*()()|x Z u u x x α∈=
系统的受限运动描述为
*
*()[()()()]x Z f x f x g x x α∈+
在n ρ=的特殊情况下，标准形（13.16）~（13.18）简化为
()[()]c c z
A z
B x u x γα=+- （13.22） c y
C z = （13.23）
其中1T [()()]n f z h x L h x ξ-== ，且变量η不存在。

此时系统不具有零动态，默认为是最小相位系统。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
42
例13.5 考虑受控Van der Pol 方程
12221122
(1)x
x x
x x x u y x ε==-+-+= 从例13.1已知系统在2 的相对阶为1。

取y ξ=，1x η=，
可看出系统已表示为标准形。

零动态由10x
= 给出，它不具有渐近稳定平衡点，因此系统不是最小相位的。

例13.6 系统
非线性控制：输入—输出反馈线性化
43
2
3
112
3233132
21x x x u
x x
x x
x x u y x +=-++==+= 在原点有一个开环平衡点。

输出的导数为
23313y
x x y x
x x u ====+
因此系统在3 上的相对阶为2。

在式（13.20）中应用
()1g f L L h x =和213()f L h x x x =，得
131,()x x x γα==-
为了描述零动态，把x 限制为
非线性控制：输入—输出反馈线性化
44
*323{|0}Z x x x =∈==
并取*()0u u x ==，由此可得
11x
x =- 表明该系统是最小相位的。

为了把它变成标准形，选择一个函数()x φ，使得
(0)0,
()0g x x
φ
φ∂==∂ 和
T 2
3()[()]T x x x x φ=
在包含原点的某定义域上是微分同胚映射。

偏微分方程
非线性控制：输入—输出反馈线性化
45
2
32133
201x x x x φφ+∂∂⋅+=∂+∂ 通过变量分离解出（如何求解？）
1133()tan x x x x φ-=-++
上式满足条件(0)0φ=。

映射()T x 是全局微分同胚映射，这是因为对于任意3z ∈ ，方程()T x z =有唯一解。

这样标准形
21
22222
212
12
2
2
2
1
2(tan )11(tan )u y ξηηξξξξξξξ
ηξξξξ--⎛⎫
+=-+++ ⎪+⎝⎭
==-+++=
非线性控制：输入—输出反馈线性化
46
就是全局定义的。

例13.7 例13.3的场控直流电机在302{|0}D x x =∈≠ 上的相对阶为2。

运用式（13.20），得
21121322
()()
,()x ax x bx k cx x x x x θθγθαθ-+-+-==-
为了描述零动态，把x 限制为
*0312031{|0,0}{|0,0}Z x D x x x x D x x =∈===∈==
并取*()0u u x ==，得
22x
bx k =-+ 该零动态系统在2/x k b =处有一个渐近稳定平衡点，因而
非线性控制：输入—输出反馈线性化
47
是最小相位系统。

为了将其转换成标准形，需要找到一个函数()x φ，使1[/]/0x g x φφ∂∂=∂∂=，且T 312[()]T x x x x φθ=是某定义域0x D D ⊂上的微分同胚映射。

选择2()/x x k b φ=-，则满足1/0x φ∂∂=，使()T x 是32{|0}x D x x =∈> 上的微分同胚映射，同时将零动态系统的平衡点变换到原点。

例13.8 考虑一个单输入-单输出非线性系统，表示为n 阶微分方程
()(1)(1)(1)(1)(1)
(1)
(1)
(1)
()
(,,,,,,,)
(,,,,,,,),n m n m n m y p z z z y y y q z z z
y y y
z m n
----=+< （13.24）
其中z 是输入，y 是输出，()p ⋅和()q ⋅是定义域上的足够光
非线性控制：输入—输出反馈线性化
48
滑的函数，且()0q ⋅≠。

非线性输入-输出模型简化为例13.4的线性系统的传递函数模型。

通过在输入端增加m 个积分器扩展系统的动态特性，并将()m u z =作为扩展系统的控制输入n m +①。

扩展系统为n m +阶。

取状态变量为
(1)(1)(1)(1),,m n z y z y x z y ςςξξ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
可得到扩展系统的状态模型
①
此例证明扩展系统是可输入-输出线性化的，这就允许我们用输入-输出线性
化技术设计反馈控制。

当该控制应用于原系统时，m 积分器链就成为控制器的动态部分。

非线性控制：输入—输出反馈线性化
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[()()]u u c c c A B u A B p x q x u y C ς
ςξξξ
=+=++= 其中(,,)c c c A B C 是n 积分器链的标准形表示，(,)u u A B 是表示
m 积分器链的可控标准形。

设n m D +⊂ 为定义域，在其上p
和q 足够光滑且0q ≠。

利用(,,)c c c A B C 的特殊结构，容易看出
()(),11,()()i i n c c y C A i n y p x q x u ξ=≤≤-=+
因此，系统的相对阶为n 。

为了求出零动态方程，注意到
1()i f i L h x ξ-=，从而*{|0}n m Z x ξ+=∈= 并可计算出
*()()/()u x p x q x =-在0ξ=时的值。

因此零动态系统为
非线性控制：输入—输出反馈线性化
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*()u u A B u x ς
ς=+ 回顾ζ的定义容易看出，1z ζ=满足m 阶微分方程
(1)(1)(1)(1)()
0(,,,,0,0,,0)(,,,,0,0,,0)m m m p z z z q z z z z --=+ （13.25）
该方程与由方程（13.24）中令()0y t ≡时得出的方程相同。

对于线性系统，方程（13.25）简化为一个线性微分方程，与传递函数的分子多项式一致。

通过研究方程（13.25），可确定系统的最小相位特性。

为了把系统转换为标准形，注意到ξ是y 及其直到1n -阶导数的向量，所以只需求一个函数(,):n m m φφζξ+=→ ，使得。