能量原理的应用 变分法 变分法数学基础

第七章能量原理及其应用

偏微分方程求解的困难

——应力函数解法的限制

能量原理的应用

变分法

变分法数学基础

目录

§7.1基本概念

§7.2虚功原理

§7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念

格林公式

§7.1基本概念

（密度）

外力功——变形体的能量关系变形能xz

xz yz

yz

xy

xy

z z y

y x

x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ∂∂=

∂∂=∂∂=∂∂=

∂∂=

∂∂=

000

ij

ij U εσd d 0=xz

xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝

注意

线弹性问题的变形能

)

(2

1

0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij

ij U εσ2

1

0=V

U U V

d 0⎰⎰⎰=

功－能关系

位移边界面力边界

V S u F V u F k

ij

s ij k

i

i k i

i d d d s b ⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。

位移给定表面S u 面力给定表面S σ

静力可能的应力与几何可能的位移

S =S u +S σ

b ,=+i j ij F σj

ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi

i u u =S u

S σ

s ij

σ

k i

u

k ij

ε

§7.2虚功原理

弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。

虚功原理

V

S u F V u F V

ij ij

V

S i

i

i

i

d d d s b ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+δεσ

δδσ

作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。例题

§7.2 虚功方程2

S

u F V u F S u F V u F i

i S

i i V

i i S

i i V

d d d d 12s 12b 21s 21b ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

+=+功的互等定理

§7.3最小势能原理

总势能——应变分量的泛函

又是位移分量的泛函

位移变分

S

u F V u F V U E i i S i i V

V

t d d d s b 0⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=σ

)(==+t E W U δδ真实的位移使得总势能取最小值

最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式

等价于平衡微分方程和面力边界条件

总势能概念

最小势能原理

基本思想

——构造一个位移试函数——几何可能

最小势能原理的应用

Rayleigh —Ritz (瑞利—里兹)法Гапёркин(伽辽金)法

通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。

•位移边界条件

•位移与面力边界条件

解：首先用瑞利—里茨法位移试函数

例1：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q 作用如图所示。试求解梁的挠度w （x ）。

满足梁的位移边界条件

在x=0，l 处，w=0总势能

∑=m

m l x

m C w πsin

x qw x x w EJ E l

l

t d d )d d (20

2

22

0⎰⎰-=∑∑-=2

4

4

2π

m m

t C ql

C

m EJ E

•根据

•则所以0=∂∂m t C E 为偶数）＝为奇数）m C m l

EJ m m

ql C m l EJ m m (02π(0π22π434434=-为偶数）

为奇数）m C m m

EJ ql C m m (0(0π4554===回代∑=554πsin 1π4l x m m

EJ ql w

•挠曲线表达式是无穷级数——精确解

•这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。

•如果取一项这一结果与精确值十分接近EI ql w 6.764

max

解：应用Гапёркин法

位移试函数

同时满足面力边界条件

根据Гапёркин法分析可得

∑=m

m l x m C w πsin ⎰=-l x l x m q x w EI 0440d πsin )d d (∑==Λ,5,3,1554πsin 1π4m l x m m

EJ ql w