2020年高考全国高考数学押题卷(全国I卷)
2020年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(考试版)
数学试题 第 1页（共 6页）
数学试题 第 2页（共 6页）
A．7
B．20
C．22
D．54
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 上单调递增，则（ ）
A． f 3 f log313 f 20.6 C． f 20.6 f log313 f 3
B． f 3 f 20.6 f log313 D． f 20.6 f 3 f log313
A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 从 日到 日 PM 2.5 日均值逐渐降低 C. 这 天中 PM 2.5 日均值的中位数是 D. 这 天中 PM 2.5 日均值最高的是 5 月 日 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． (M P) S
数学试题 第 4页（共 6页）
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（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
D1 A1
E C1
B1
D C
A
B
19．（本小题满分 12 分） 为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的 数学考试成绩，统计如下表所示：
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 {an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
2020高考押题卷及答案(数学)
2020届高三数学高考押题试卷数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{13,}A x x x Z =≤≤∈，B={2，m ，4}，若A ∩B={2,3}，则实数m= .2.若复数2(1a a +∈+iiR )的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于 . 3.两根相距6m 的木杆上系一根水平绳子，并在绳子上随机挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为 .4．为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为 .5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 .6. 已知数列是}{n a 等比数列，若456,1,a a a +成等差数列，且71a =，则10a = .则获利最大值为 百万元.(cm) 第4题图FEGHDCBAS 4S 2S 3S 113题图8.在△ABC 中，已知BC ＝4，AC ＝3，且cos(A －B)=1718，则cosC ＝ . 9.设向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a 与b 夹角的最大值为 . 10.若函数(0)y ax a =>的最小值为4，则a 的值为_______．11. 底面半径为2cm 的圆柱形容器里放有四个半径为1cm 的实心铁球，使得四个球两两相切，其中底层两球与容器底面也相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.12. 已知点12,F F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 为该双曲线左支上的任意一点．若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是 .13.如图，线段EF 和GH 把矩形ABCD 分割成四个小矩形，记四个小矩形的面积分别为(=1,2,3,4)i S i .已知AB=1，11S ≥，21S ≥，31S ≥，42S ≥，则BC 的最小值是 .14.若方程log x a a x =(1)a >有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 . 二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15．设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）． （1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式a c a c +<-．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点． （1）求证：1BD 面EAC ；（2）求四面体1EACB 的体积．17．如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E F 、分别在BC CD 、上），根据规划要求ECF ∆的周长为2km ． （1）试求EAF ∠的大小；（2）欲使EAF ∆的面积最小，试确定点E F 、的位置．18．如图，线段AB 两端点分别在x 轴，y 轴上滑动，且AB a b =+（a b >）．M 为线1D A1B D E1A 1CB C FE DCB A段AB 上一点，且MB a =，MA b =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）已知圆O ：221x y +=，设P 为轨迹C 上任一点，若存在以点P 为顶点，与圆O 外切且内接于轨迹C 的平行四边形，求证：22111a+=．19．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，81a =-．①求满足0n S <的n 的最小值；②是否存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．（2）设数列{}n a 的前6项均为正整数，公比为q ，且(1,2)q ∈，求6a 的最小值．20．已知函数2)(x x ae e x f -+=，2)(xx e e x g --=，(,)x a ∈∈R R .⑴当1=a 时，试用)(),(),(),(y g x g y f x f 表示)(y x f +；⑵研究函数)(x f y =的图象发现：取不同的a 值，)(x f y =的图象既可以是中心对称图形，也可以是轴对称图形（对称轴为垂直于x 轴的一条直线），试求其对称中心的坐标和对称轴方程；⑶设函数)(x h 的定义域为R ，若对于任意的实数y x ,，函数)(x h 满足)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++，且1)()(≤-x f x h ．证明：)()(x f x h =数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分） 21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，1O 和2O 外切于点P ，延长1PO 交1O 于点A ，延长2PO 交2O 于点D ，若AC 与2O 相切于点C ，且交1O 于点B. （1）PC 平分BPD ∠；（2）2PC PB PD =⋅.B ．选修4-2:矩阵与变换已知矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦将直线:10l x y +-=变换成直线l '. （1）求直线l '的方程；（2）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵1A -；若不可逆，请说明理由．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.D ．选修4-5：不等式选讲设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．22. 必做题（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．.①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．必做题已知抛物线x y =2的焦点为F ，点),(00y x M （与原点不重合）在抛物线上． （1）作一条斜率为021y -的直线交抛物线于H G ,两点，连接MH MG ,分别交x 轴于B A ,两点，（直线MH MG ,与x 轴不垂直），求证MB MA =；（2）设D C ,为抛物线上两点，过D C ,作抛物线的两条切线相交于点P ，（D C ,与M 不重合，与M 的连线也不垂直于x 轴），求证:PFC PFD ∠=∠．命题人员：鲍立华 王正军 陆明明图一图二数学试题参考答案 一、填空题1．3 2．0 3． 4． 75% 5．11 6．18 7．14．75 8．169．120 10．1 11．83π+12．(1,3] 13．3+．11e a e << 二、解答题15．（1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π， 所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分 当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分 当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分 16．（1）连接BD 交AC 于O 点，连接OE ． 由题知，O 为BD 中点．∴在1BDD 中，OE 为中位线，∴OE ∥1BD ………………………………4分 又OE ⊆面EAC ，1BD ⊄面EAC∴1BD ∥面EAC ．………………………………6分 （2）连接1OB ．∵O 为AC 中点，EA=EC ，11B A B C = ∴EO AC ⊥，1B O AC ⊥∴1B OE ∠为二面角1E AC B --的平面角由正方体的棱长为2，得EO =1OB 13EB = ∴22211EO OB EB +=，即12B OE π∠=∴EO ⊥面1AB C ，即EO 为四面体1E AB C -的高………………………………12分∴1113E AB C AB C V EO S -=⋅11232=⨯=………………………………14分17．解：（1）设,BAE DAF αβ∠=∠=，,(01,01)CE x CF y x y ==<≤<≤， 则tan 1,tan 1x y αβ=-=-，由已知得：2x y +=，即2()2x y xy +-=…………………………………4分tan tan 112()2()tan()11tan tan 1(1)(1)[22()]x y x y x y x y x y xy x y x y αβαβαβ+-+--+-++=====----+-++-+0,24ππαβαβ<+<∴+=，即.4EAF π∠=…………………………8分（2）由（1）知，1111sin 244cos cos 4cos cos AEF S AE AF EAF AE AF αβαβ∆=⋅∠=⋅=⋅==2111142cos (sin cos )sin 22cos sin 2cos 21cos cos()4πααααααααα⋅===++++-=1)14πα++．…………………………………………………12分04πα<<，242ππα∴+=，即8πα=时AEF ∆1．22tan8tan,tan 1481tan 8ππππ=∴=-，故此时1BE DF ==所以，当1BE DF ==时，AEF ∆的面积最小．………………………………14分 18．（1）点M 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=………………………………6分（2）显然圆O 外切的平行四边形为菱形，连接PO 并延长交椭圆C 于点Q ，过O 作PQ 垂线交椭圆于C ，D ，连接PC 与圆O 切于点H.当PO 斜率不存在时，可得22111a b+=………………………………8分 当PO 斜率存在时设为k ，PO 方程y kx =与22221x y a b +=联立解得222222a b x b a k =+，2222222a b k y b a k =+………………………………10分所以2222222222211b a k OP x y a b a b k +==++同理可求得2222222221a b k OC a b a b k+=+ 所以22221111OP OC a b +=+………………………………14分 又Rt POC ∆的斜边与圆O 切于点H ，故222111OP OC OH+= 所以22111a b +=………………………………16分 19.（1）①设数列{}n a 的前6项等比数列的公比为q ，从第5项起等差数列的公差为d ．由544a a q q ==，22644a a q q ==，则244d q q =-； 又285343(44)1a a d q q q =+=+-=-，解得12q =或16q =（舍，因为n a 为整数）， 所以12q =，1d =-．故61()(6,*)27(7,*)n n n n N a n n n N -⎧≤∈⎪=⎨⎪-≥∈⎩．……2分所以164[1()](6,*)2(7)(6)63(7,*)2n n n n N S n n n n N ⎧-≤∈⎪⎪=⎨--⎪-≥∈⎪⎩…………4分∵0n S < ∴7n ≥ 由(7)(6)6302n n ---<得17n >所以，满足0n S >的n 的最小值为18．……………………………6分②假设存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立， 即2(1)(1)0m m a a +-+= 由1m a =或21m a +=-得6m =所以，存在正整数6m =，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立．…………………10分 （Ⅱ）设11n n a a q -=，由1a ，…，6a 都是正整数，则q 必为有理数．设sq r =，其中s ，r 都是正整数，且(,)1s r =，22r s r ≤<<，则5615s a a r =．由(,)1s r =，得55(,)1s r =，所以1a 是5r 的整数倍．因此，5556153243s a a s r=≥≥=．……………14分 当2r =，3s =时，即32q =，512a =时，6a 取到最小值243．……16分 20．⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)(2)(x x xx ee x g e e xf 得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-)()()()(xg x f e x g x f e x x )()()()(2)(y g x g y f x f e e e e y x f yx y x +=+=+--……………………………4分 （2）设)(x f 关于点),(n m 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+n ae e ae e m x x m x x 422=+++---0)(4)(22222=++-+m m x m m x e a e e ne a e e 对R x ∈恒成立⎪⎩⎪⎨⎧==+04022m m ne a e 故当0<a 时存在对称点（)0),ln(21(a - …………………………7分 同理当0>a 时存在对称轴a x ln 21=……………………………9分 当0=a 时函数不存在对称点或对称轴 ……………………………10分 （3）设)()()(x f x h x G -=,假设存在实数a 使得0)(≠a G因为)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++所以)()()(x yG y xG xy G +=)()()(x aG a xG xa G += ……………………………12分 )()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥ 1a a G x -≥)()(1a G ax +≤ ……………………………14分即只有当)(1a G ax +≤时，)()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥不等式才能恒成立与R x ∈矛盾所以不存在实数a 使得G （a ）0≠,故)()(x f x h = ……………………………16分附加题部分21．A ．选修4-1：几何证明选讲（1）连结2O C ，AC 切2O 于点C ，2AC OC ∴⊥，又AP 是1O 的直径，90ABP AB PB ∴∠=∴⊥，2//PB O C ∴， (2)分2BPC O PC ∴∠=∠，又22O P O C =，22O PC O CP ∴∠=∠， (4)分PC∴平分BPD ∠.………………………………………………………………………5分（2）连结CD ，可得BCP D ∠=∠，…………………………………………………6分又BPC CPD ∠=∠，BPC CPD ∴∆∆，………………………………………………………………… 8分PB PC PC PD∴=， 2PC PB PD ∴=⋅. ……………………………………………………………… 10分B ．选修4-2:矩阵与变换（1）在直线l 上任取一点00(,)P x y ，设它在矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下变为(,)Q x y ．∵002113x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………………2分∴000023x x y y x y =+⎧⎨=-+⎩，即003727x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，……………………………………………………4分又∵点00(,)P x y 在直线:10l x y +-=， ∴321077x y x y -++-=， 即直线l '的方程为470x y +-=.…………………………………………………………5分（2）21013≠-，∴矩阵A 可逆． ………………………………………………7分设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………8分∴21203031a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解之得37171727a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，∴131771277A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ……………………10分 C ．选修4-4:坐标系与参数方程圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………… 2分直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=， (4)分设点,1)P αα-，则点到直线70x y +-=的距离d == (8)分∴min d ==max d ==……………………………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲2()13f x x x =-+， 22()()-=--+f x f a x x a a ……………………………………………………2分 1=-⋅+-x a x a ……………………………………………………………………4分 1<+-x a ，………………………………………………………………………… 5分 又1()21+-=-+-x a x a a …………………………………………………… 7分 21≤-+-x a a ………………………………………………………………………9分 1212(1)<++=+a a ．………………………………………………………………10分22. （1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．…………2分（2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………4分它们是等可能的。
2020年全国统一高考押题预测卷03(新课标Ⅰ卷)-文科数学(全解全析)
∵ DE EC ，∴ DC EF ，又 AB / /CD ，∴ AB EF ，
∵ BF EF E ，∴ AB 面 BEF ， AB Ì 面 ABE ，
∴平面 ABE 平面 BEF ................5 分
(2)∵ DE EC ，∴ DC EF ，又 PD / /EF ， AB / /CD ，∴ AB PD ，
ax,x 1
12．A【解析】根据题意，函数
f
x
x
2
4 x
a
ln
x,
x
在
1
R
上单调递增，
当 x 1, f (x) ax ，若 f x 为增函数，则 a 1①，当 x 1, f (x) x2 4 a ln x ，
x
若
f
x 为增函数，必有
f
( x)
2x
4 x2
a x
0
在[1, ) 上恒成立，变形可得： a
11
60.1，可得 $y
2.0x2
60.1 ...............12
分
18．（本小题满分 12 分）
【答案】(1)证明见解析；(2)
2
5 5
,
2
15 5
.
【解析】(1)∵ AB / /CD ， CD AD ， AD CD 2AB 2 ， F 分别为 CD 的中点，
∴ ABFD 为矩形， AB BF ，
0
1 2e
+ 单调递增
易知 f x 1 ..............4 分
min
2e
（Ⅱ）（i） f ' x x2 2lnx 1 a .令 g x x2 2lnx 1 a ，则 g ' x 4x lnx 1 .
2020年高考数学(理科)押题卷 新课标全国卷(一)
……外…………○…………装……学校:___________姓名：_……内…………○…………装……2020年高考数学(理科)金榜押题卷 新课标全国卷（一）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第1卷一、选择题1.已知集合2{|40},{|11}B x A x x x x =-≤-≤=<，则A B =U ( ) A ．[]1,1-B ．[)1,4-C ．(]0,1D ．()0,42.命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”,的否定为（ ） A.对任意R x ∈,都有20x <B.不存在R x ∈,使得20x <C.存在0R x ∈,使得200x ≥D.存在0R x ∈,使得 200x <3.已知复数3i12iz +=-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.执行如图的程序框图，输出的c 的值为( )A.5B.4C.-5D.-45.已知底面边长为2的正四棱锥S ABCD -的各顶点均在球O 的表面上，若球O 的表面积为25π2，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为( )试卷第2页，总16页○…………外…………○…○…………线…※题※※○…………内…………○…○…………线…A.1 B.2 C.2或126.图1是某宾馆地毯上的图案,它是一个轴对称图形.可从中抽象出一个正八边形,且在该正八边形中有一个边长和该正八边形的边长相等的正方形,如图2所示.若向图2的正八边形中任意地投掷一个点,则该点落在正方形内的概率是( )A.B.C.D.7.已知函数()cos2f x x =，将函数()sin 2g x x =的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到的函数图象与()f x 的图象重合，则m 的最小值为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（ ） A ．23nn a =B ．13n n a -=C ．312n n S -=D ．213n n S -=9.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()221,0126,1x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨--+>⎪⎩若关于x 的方程()()20()f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ,有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A.(4)9,B.(94)--,C.[]4,9D.[]94--,10.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π11.已知点()0,2R ，曲线()()24:0C ypx p =>，直线y m = (0m >且2m ≠)与曲线C 交于,M N 两点，若RMN △周长 的最小值为2，则p 的值为( ) A.8B.6C.4D.212.已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( ) A.(],1-∞- B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题13.设向量()(),1,1,2a m b ==,且222a b a b +=+r r r r ,则m =__________.14.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是___________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为________．16.若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .三、解答题17.在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，若222222a cb a bc +-+-.. (1)求B .(2)若1b =，求ABC △面积的最大值.18.如图,在四棱锥P ABCD -中, //AB CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒.试卷第4页，总16页………○…………………○……※※请※※不………○…………………○……(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,求二面角A PB C --的余弦值. 19.焦点在x 轴上的椭圆2222:1x y C a b +=经过点(，椭圆C ．1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M 为2OF 的中点（O 为坐标原点），过M 且平行于OP 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在实数λ，使得2||||OP MA MB λ=⋅；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．20.某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，,A B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员。
2020年高考押题密卷(全国一卷)理科数学
日增 d 尺，有人过限纳息 55 尺，其人过限几日.”
译文：债主拿借方的绢做抵押品，债Байду номын сангаас过期一天要纳利息 7 尺，过两天利息是 7 d 尺，
每天利息增多 d 尺，某人因过期共缴利息 55 尺，则这个人债务过期（ ）
A.5 天
B.6 天
C.8 天
D.7 天
7.如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，则该几何体
21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) ln x ax2 bx (其中 a,b 为常数且 a 0 )在 x 1 处取得极值.
(I) 当 a 1 时，求 f (x) 的单调区间；
(II) 若 f (x) 在 0,e 上的最大值为1 ，求 a 的值.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，
位”，求 P A ； （2）若抽到的 3 位同学数学成绩在区间60,80 内的人数为 ，求随机变量 的分布列
和数学期望. 19.（本小题满分 12 分）
如图所示，三棱锥 ABC A1B1C1 中，平面 ACC1 A1 ABC ， AA1 AC ， AA1 AB BC 2 ， D 、 D1分别为 AC 、 AC1 的中点，且 BAC 30 . （1）求证： DD1 BC ； （2）求二面角 B1 DA1 C1 的余弦值.
则按所做的第一个题目计分。
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程.
曲线 C
的极坐标方程为
2 sin
，
4
, 3 4
，且以坐标原点为极点， x
轴的正半轴
为极轴建立极坐标系。直线
l
的参数方程为
2020年高考数学临考押题卷(北京天津山东等)1(解析word版)
2020年高考临考押题卷（一）数学（北京卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =I ( ) A ．{}1 B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】由题意，{}2A x x =≥，{}1,2,3B =，则{}2,3A B =I . 故选：C.2．已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．43i - D ．43i + 【答案】D【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z =3a bi i +=+，所以31a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩ ，解得431a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即43z i =+，选D. 3．若向量,a b v v的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则向量2a b +v v 与向量a v 的夹角为（ ） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π【答案】B【解析】设向量2a b +r r 与a r 的夹角为α，因为,a b v v 的夹角为3π，且2a =v ，1b =v ，所以221(2)()22cos 4221632a ab a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=r r r r r r r r r gg g ，2a b +==r r==，所以(2)cos 2a a b a a b α+===+r r r g r r r ，又因为[0,]απ∈ 所以6πα=，故选B4．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D【解析】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D .6．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B【解析】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B.7．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．272π B ．283π C ．263π D ．252π 【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆半径为32sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为3R ===， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭. 故选：B.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP 且线段AP的长为2+，则该椭圆方程为（ ）A ．22142x y +=B ．22183x y +=C ．22154x y +=D ．22184x y +=【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段1F A 为直径的圆上，所以1AP PF ⊥. 又因为2//F B AP ，所以21F B BF ⊥.又因为21F B BF =，所以12F F B △是等腰直角三角形，于是1F AP △也是等腰直角三角形，21F B BF a ==，222cos 452OF c BF a ===o ，12F A =， 得222a c +=，解得22a =2c =2224b a c =-=，所以椭圆方程为22184x y +=.故选：D.10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
2020年全国高考数学押题试卷(文科)(全国ⅰ卷)(黑卷)
2020年全国高考数学押题试卷（文科）（全国Ⅰ卷）（黑卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x+2＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，则A∩B＝（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝4﹣2i，则＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．3﹣i D．3+i3．（5分）已知两非零向量，，满足⊥（﹣），且|，则|2﹣|＝（）A．1B．3C．4D．54．（5分）某公司为加强员工新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共30道题．已知甲，乙，丙，丁，30，25，29，则这五位员工答对题数的方差是（）A．3B．C．D．45．（5分）已知α∈（﹣，0），cos（α﹣）＝﹣（）A．B．C．﹣D．﹣6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）作倾斜角为135°的直线l2+y2﹣2x＝0交于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．7．（5分）曲线y＝﹣ax3+x在点P（1，0）处的切线方程是（）A．2x﹣y+2＝0B．2x+y+2＝0C．2x﹣y﹣2＝0D．2x+y﹣2＝0 8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长AB＝1，体对角线A1C＝，异面直线C1D与A1A所成的角为45°，则该长方体的表面积是（）A．6B．8C．10D．12．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）（1﹣x），则f（2018）+f（2019）（2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．210．（5分）若函数f（x）＝2sin（n＞0）2+y2＝n2上，则f（1）＝（）A．B．2C．﹣2D．﹣11．（5分）已知F是椭圆x2+＝1的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，O为坐标原点，则△AOB面积的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．（0，]D．[，1] 12．（5分）已知函数f（x）＝lg（9x2+1）+x2﹣1，则满足f（log3x）+f（log3）≤2的x的取值范围是（）A．（0，3]B．（0，）∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．[，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年泄露天机高考押题全国I卷 文科数学(二)(含解析)
绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设22i1iz -=+，则z =（ ） A ．2B ．2C ．5D ．32．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}1x x >-B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<3．若122a =，ln 2b =，1lg 2c =，则有（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．设a b ，是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>．其中能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．已知定义在R 上的偶函数()()e sin xf x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ<<π）的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos x ω=（ ）A．5B．5C ．35D ．456．从随机编号为0001，0002，L ，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．1466B ．1467C ．1468D ．14697．已知()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，则tan α=（ ）A ．6-B ．23-C ．23D ．68．设向量，，a b c 满足++=0a b c ，()-⊥a b c ，⊥a b ，若1=a ，则222++=a b c （ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1310．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28y x =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2215x y -= D ．2215y x -=11．在ABC △中，角,A B C ，所对的边分别为a b c ，，，6A =π，4B =π，a =b =（ ）A ．BC ．D ．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，离心率为2， 过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且2ABF △的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22184x y += B ．221164x y += C ．221816x y += D ．221168x y +=第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数ln y x x =+在1x =处的切线方程是 ．14．若数列{}n a 满足：11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），则n S = ．154cos 102sin10=︒-︒． 16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．18．（12分）等差数列{}n a的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数，求此数列的公差d及前n项和n S．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，2DC =，2AD =，2AB =，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离．20．（12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a <）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的()3,2a ∈--，1x ，[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知圆()221:232F x y ++=，点()22,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ．（1）求证12PF PF +为定值及求动点P 的轨迹M 的方程；（2）不在x 轴上的A 点为M 上任意一点，B 与A 关于原点O 对称，直线2BF 交椭圆于另外一点D ．求证：直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，并求出该定值．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设22i1iz -=+，则z =（ ）A B ．2C D ．3【答案】B【解析】∵22i1i z -=+，∴22i 22i 21i 1i z --====++． 2．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<【答案】B【解析】{}1A x x =≤R ð，{}12B x x =-<<，∴(){}11A B x x =-<≤R I ð． 3．若122a =，ln 2b =，1lg 2c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】122a =Q ，ln 2b =，1lg2c =，∴1221a ==>，0ln1ln 2lne 1b =<=<=，1lglg102c =<=， ∴a b c >>．4．设a b ，是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>．其中能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③【答案】D 【解析】若12a =，23b =，则1a b +>，但1a <，1b <， 故①推不出“a b ，中至少有一个大于1”；若1a =，1b =，则2a b +=，故②推不出“a b ，中至少有一个大于1”； 若2a =-，3b =-，则222a b +>，故④推不出“a b ，中至少有一个大于1”； 对于③，若2a b +>，则a b ，中至少有一个大于1， 假设1a ≤且1b ≤，则2a b +≤与2a b +>矛盾， 因此假设不成立，a b ，中至少有一个大于1，综上所述：能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是③．5．已知定义在R 上的偶函数()()e sin xf x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ<<π）的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos x ω=（ ）A B C ．35D ．45【答案】B【解析】依题意，函数()sin y x ωϕ=+为偶函数， 又0ϕ<<π，故2ϕ=π，由图象可知，3044f f π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎝⎭π⎭，可得2ω=， ∴()e cos2xf x x =，由函数()f x 为偶函数，故只需考虑0x ≥的情况，当0x ≥时，()e cos2xf x x =，()()()e cos22sin cos 2x x f x x x x β'=-=+，sin 5β=，cos 5β=， 当222x k βπ+=+π，k ∈Z 时，()f x 有极大值，故0cos 2cos sin 25x ββπ⎛⎫⎪⎭==⎝=-． 6．从随机编号为0001，0002，L ，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．1466B ．1467C ．1468D ．1469【答案】C【解析】样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068， 则样本间隔为681850-=，则共抽取15005030÷=， 则最大的编号为1850291468+⨯=．7．已知()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，则tan α=（ ）A ．6-B ．23-C ．23D ．6【答案】D【解析】由()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，得sin 22sin 3cos 5ααα=+， 即tan 22tan 35αα=+，tan 6α=．8．设向量，，a b c 满足++=0a b c ，()-⊥a b c ，⊥a b ，若1=a ，则222++=a b c （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵⊥a b ，1=a ，∴设()1,0=a ，()0,b =b ，(),x y =c ，且++=0a b c ， ∴()()1,0,0x y b ++=，∴1x =-，y b =-， ∴()1,b =--c ，且()1,b -=-a b ，()-⊥a b c ， ∴()210b -⋅=-+=a b c ，∴21b =，∴22222114b b ++=+++=a b c ．9．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．13【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得0i =，1S =，0P =； 满足条件4i <，执行循环体，1i =，1t =，1S =，1P =； 满足条件4i <，执行循环体，2i =，1t =，2S =，1P =； 满足条件4i <，执行循环体，3i =，2t =，3S =，2P =； 满足条件4i <，执行循环体，4i =，3t =，5S =，3P =， 此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为5．10．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28y x =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2215x y -= D ．2215y x -= 【答案】A【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0F ，可得双曲线221mx ny +=的右焦点为()2,0F ，化221mx ny +=为22111x y m n-=-，得21a m =，21b n =-，∴双曲线的一条渐近线方程为y x ==．由点F 到双曲线渐近线的距离等于11=，即= 又222a b c +=，即114m n-=，② 联立①②解得13m =，1n =-，∴双曲线的方程为2213x y -=． 11．在ABC △中，角,A B C ，所对的边分别为a b c ，，，6A =π，4B =π，a =b =（ ） A．B．2C．D．【答案】A【解析】利用正弦定理：∵sin sin a bA B=，∴sin 21sin 2a Bb A ===．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，离心率为2， 过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且2ABF △的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22184x y += B ．221164x y += C ．221816x y += D ．221168x y += 【答案】D【解析】根据题意，如图：2ABF △的周长为16，则有222121416AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==，则4a =，又由其离心率2c e a ==，则c =2221688b a c =-=-=， 又由其焦点在x 轴上，则其标准方程为221168x y +=．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数ln y x x =+在1x =处的切线方程是 ． 【答案】210x y --=【解析】∵ln y x x =+，∴11y x'=+，∴1|112x k y =='=+=， ∴函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为()121y x -=-，整理，得210x y --=．14．若数列{}n a 满足：11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），则n S = ． 【答案】21n - 【解析】∵11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），∴12n n a a +=， ∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴()1122112n n n S ⨯-==--．154cos 102sin10=︒-︒ ． 【答案】4 【解析】原式()2sin 10302sin 404sin 4042cos 20sin10cos10sin 20cos 20sin 40︒+︒︒︒=====︒︒︒︒︒︒．16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．【答案】5⎣ 【解析】取BC 中点N ，连结1B D ，1B N ，DN ，作CO DN ⊥，连结1C O ， ∵平面1B DN ∥平面1A BM ，∴点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P在底面正方形ABCD 内，不包括边界，故不含点N 和点D ），在1C DN △中，1C D =1DN C N ===∴112C DNS ==△， 过1C O DN ⊥，则当P 与O 重合时，1C P 长度取最小值，1C P ∴长度的最小值为12C O ==， 当P 与D 重合时，1C P 长度取最大值，∴1C P长度的最大值为1C D =∵P 与D 不重合，∴1C P长度的取值范围是⎣．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动． 现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）0.025a =，平均成绩为74；（2）列联表见解析，有99%的把握认为． 【解析】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =．∵450.05550.1650.2750.3850.25950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴估计这100名学生的平均成绩为74．（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K 的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．18．（12分）等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数， 求此数列的公差d 及前n 项和n S ．【答案】4d =-，2252n S n n =-．【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，d ∈Z ， 又由{}n a 的首项为23，第6项为正数，从第7项起为负数，则有7623602350a d a d =+<⎧⎨=+>⎩，解之得232356d -<<-，又由公差为整数，则4d =-， 则()11427n a a n d n =+-=-+，则()122522n na a n S n n +⨯==-．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，2DC =，2AD =，2AB =，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222DC AD AB ===，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．∴BC BD ===222BD BC CD +=，222PB BC PC +=，∴BD BC ⊥，PB BC ⊥，∵BD PB B =I ，∴BC ⊥平面PBD ， ∵PD ⊂平面PBD ，∴PD BC ⊥． （2）∵222BD PB PD +=，∴PB BD ⊥，以B 为原点，BC 为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，(P，()D，)C，(0,0,PB =u u u r，(PD =u u u r，PC =u u u r，设平面PDC 的法向量(),,x y z =n ，则00PD PC ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1z =，得()1,1,1=n ， ∴点B 到平面PCD的距离为3PB d ⋅===u u u r n n 20．（12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a <）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的()3,2a ∈--，1x ，[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）133m ≤-． 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()()2222221211212a x ax x ax a f x a x x x x -+--+-'=+-==， 令()0f x '=，得到12x =或1x a=-（0a <）， 借助分子函数的图象，我们可以轻松判断其单调性， 当112a -<且0a <，即2a <-时，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减；11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．当112a ->且0a <，即20a -<<时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减； 11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．当112a -=且0a <，即2a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≤恒成立， 当且仅当12x =时取得等号，故()f x 单调递减．综上所述，当2a <-时，函数()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；当20a -<<时，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增； 当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递减．（2）由（1）可知，当()3,2a ∈--时，()f x 在[]1,3上单调递减， 故()()()()()12max113212ln 363f x f x f f a a a -=-=+---- ()242ln 33a a =---+，由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立， 即()()()12maxln32ln3m a f x f x +->-，故()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->---+，整理，得到243ma a >-+， 由于0a <，即得到243m a <-+， 由于32a -<<-，故132384339a -<-+<-，故133m ≤-．21．（12分）已知圆()221:232F x y ++=，点()22,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ．（1）求证12PF PF +为定值及求动点P 的轨迹M 的方程；（2）不在x 轴上的A 点为M 上任意一点，B 与A 关于原点O 对称，直线2BF 交椭圆于另外一点D ．求证：直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，并求出该定值．【答案】（1）证明见解析，22184x y +=；（2）证明见解析，12-．【解析】（1）圆()221:232F x y ++=的圆心为()12,0F -，半径为，1112PF PF PF PQ QF R +=+===为定值．且124F F >=，可得动点P 的轨迹为椭圆，设标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），可得a =2c =，2224b a c =-=，故所求动点P 的轨迹M 的方程为22184x y +=． （2）证明：设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B y x --，2221212122212121DA DB y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=---⋅， ∵A D ，都在椭圆上，∴221128x y +=，222228x y +=， ∴()22222221212111144222y y x x x x -=---⎛⎫ ⎪=-⎭-⎝， ∴12DA DB k k =-⋅， 则直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，且为12-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=．（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于M ，N 两点，求22PMPN +的值． 【答案】（120y +-=，23x y =；（2）90． 【解析】（1）直线1C的参数方程为323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=．由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，代入cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=， 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=1218t t =-， ∴()2221212290PM PN t t t t +=+-=．。
2020年高考数学全国I卷(理)预测卷以及答案汇总
2020年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国I 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则3i(1i )-=（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i +2．已知集合{|lg 2}A x x =>，{|}B x x a =≥，且A B =R R ，则实数a 的取值范围是 （A ）2a > （B ）2a ≥ （C ）100a > （D ）100a ≥3．已知数列{}n a 的首项为1，且11n n n n a a a a +--=-对于所有大于1的正整数n 都成立，3592S S a +=，则612a a +=（A ）34 （B ）17 （C ）36 （D ）184．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；③224135%635636≈；④23789937532496.5%635636+≈．不正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．已知π()sin(2)3f x x =+，π()cos(2)3g x x =+，则下列说法中，正确的是（A ）x ∀∈R ，π()()2f x g x =- （B ）x ∀∈R ，π()()4f x g x =+ （C ）x ∀∈R ，π()()2g x f x =- （D ）x ∀∈R ，π()()4g x f x =+6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）(425)π+ （B ）(55)π+ （C ）(55)π+ （D ）(55)π+7．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且23PA PB PC ++=0，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论中：①向量PA 与PC 可能平行； ②向量PA 与PC 可能垂直； ③点P 在线段EF 上； ④::21PE PF =． 正确的个数为 （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）48．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点2(1,2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为（A ）2212x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155x y += 9．已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1．则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（A ）0.25 （B ）0.15 （C ）0.1 （D ）0.0310．如果2(25)310x a x a +-+-=在区间(1,3)内有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是（A ）716a <<（B ）716a ≤<或1621425a +=（C ）716a <≤ （D ）716a <<或1621425a +=11．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面1111A B C D 与下底面ABCD 相互平行，且ABCD 与1111A B C D 均为长方形．《九章算术》中，称如图所示的图形为“刍童”．如果AB a =，BC b =，11A B c =，11B C d =，且两底面之间的距离为h ，记“刍童”的体积为V ，则（A ）[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ （B ）[(2)(2)]3hV c a d a c b =+++ （C ）[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ （D ）[(2)(2)]3hV c a d a c b =+++12．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且11a =-，22a =，37a =．又已知当2n >时，112332n n n n S S S S +--=-++恒成立．则使得12111722()11155k k a a a -+++≥+++ 成立的正整数k 的取值集合为（A ）{|9,}k k k ≥∈N （B ）{|10,}k k k ≥∈N（C ）{|11,}k k k ≥∈N （D ）{|12,}k k k ≥∈N第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．14．已知α是第四象限角，且π3sin()35α+=，则πsin()12α+=_____________． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的一条直线与函数3()1f x x =-的图像交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ．16．双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，已知直线1PA ，2PA 的斜率之积为2425，1260F PF ∠=，1F 到一条渐近线的距离为6，则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△12PF F 的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB 边上的高为332． （1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值．18．（12分）如图，AB ，CD 分别是圆柱1OO 下底面、上底面的直径，AD ，BC 分别是圆柱的母线，ABCD 是一个边长为2的正方形，E ，F 都是下底面圆周上的点，且30EAB ∠=，45FAB ∠=，点P 在上底面圆周上运动．（1）判断直线AF 是否有可能与平面PBE 平行，并说明理由； （2）判断直线BE 是否有可能与平面P AE 垂直，并说明理由；（3）设平面P AE 与平面ABCD 所成夹角为θ（90θ≤），求cos θ的取值范围．19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x 和创新能力得分y ，所得数据如下表所示．x 31 33 35 38 39 42 45 45 47 49 52 54 57 57 60 y 6 6 7 9 9 9 10 12 12 12 13 15 16 18 19 x 63 65 65 68 71 71 73 75 77 80 80 80 83 83 84 y 21 24 25 27 31 33 36 40 42 44 46 49 51 57 54 x 84 85 86 87 90 90 91 92 93 95 y59 62 64 68 71 75 80 88 83 90根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．图2（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()0.0500.0100.001.3.841 6.63510.828P K k k ≥（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X 表示抽得的人中，知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人数，求(1)P X =．（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y 关于x 的回归方程为ˆ 1.2747.92yx =-： ①根据回归方程计算：当[50,70]x ∈时，ˆy的取值范围． ②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y 与x 关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．20．（12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，倾斜角为锐角的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 过点(2,0)-，||13AB =（1）求直线l 的方程；（2）如果C 是抛物线上一点，O 为坐标原点，且存在实数t ，使得()OC OF t FA FB =++，求||FC ．21．（12分）已知函数sin ()xf x x =． （1）求曲线()y f x =在ππ(,())22f 处的切线方程；（2）求证：2()16x f x >-；（3）求证：当0 1.1x <≤时，ln(1)()x f x x+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，且直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 与直线l 的一般方程，并求直线l 的斜率的取值范围； （2）设(2,2)P --，且::||||57PA PB =，求直线l 的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|21||1|f x x x =+--． （1）求不等式()3f x >的解集； （2）如果“x ∀∈R ，25()2f x t t ≥-”是真命题，求t 的取值范围．2020年高考等值试卷★预测卷 理科数学（全国I 卷）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A 12．B 二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 275 14. 210- 15. 26 16. （1）2241256x y -=，（2）27． 三、解答题：（一）必考题：共60分．17．（12分） （1）由三角形面积可知1318338sin 222B ⨯⨯=⨯⨯⨯， ………………………………2分3sin 2B =，又因为B ∠是锐角，所以π3B ∠=．………………………………5分（2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =．………………………………7分又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，………………………………9分因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=．………………………………12分18．（12分）（1）直线AF 不可能与平面PBE 平行，理由如下： 假设直线AF //平面PBE ，则因为AF ⊂平面ABE ，平面ABE平面PBE BE =，所以AF //BE ，从而可知45EBA FAB ∠=∠=，但是ABE ∆是个直角三角形，而且9060EBA FAB ∠=-∠=，矛盾，因此假设不成立．………………………………3分（2）当PA 或者PE 是圆柱的母线时，直线BE 与平面PAE 垂直，理由如下： 因为E 是圆周上一点，所以BE AE ⊥． 又因为PA AE A =，因此当PA 是圆柱的母线时，有PA BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………5分类似地，因为PE EB E =，因此当PE 是圆柱的母线时，有PE BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………7分（3）以O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，1OO 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，31(,,0)22E -，33(,,0)22AE =-，而且(1,0,0)=m 是平面ABCD 的一个法向量．………………………………8分设(cos ,sin ,2)P t t ，则(cos ,sin 1,2)AP t t =+，设(,,)x y z =n 是平面PAE 的一个法向量，则cos (sin 1)2033022AP x t y t z AE x y ⎧⋅=+++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 因此可取(23,2,3cos sin 1)t t =--++n ．………………………………10分从而可知2||23cos ||||163cos sin 1t t θ⋅==+++（）n m n m ，又因为3cos sin 2sin(60)[2,2]t t t +=+∈-，所以233cos 52θ≤≤． ………………………………12分19．（12分）（1）由题意可知22(24321624)(24241632)(2432)(1624)(2416)(3224)χ+++⨯⨯-⨯=+⨯+⨯+⨯+960.0781225=≈． ………………………………2分又因为195%5%-=，而且查表可得2( 3.841)0.05P χ≥=，因为0.078 3.841<，因此没有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．………………………………3分（2）因为测试结果为“优秀”的青少年共有40人，且知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人只有6人，因此11346240C C 17(1)C 65P X ===．………………………………6分（3）○1因为1.275047.9215.58⨯-=，1.277047.9240.98⨯-=，所以ˆy 的取值范围是[15.5840.98,]．………………………………9分○2图如下．描述y 与x 关系的更好的方案之一是：借助非线性函数进行描述．………………………………12分20．（12分）（1）设直线l 的方程为2x my =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则221212()()13x x y y -+-=，2212(1)()13m y y +-=．………………………………2分由242y xx my ⎧=⎨=-⎩可得2480y my -+=，因此 222121212()()4=1632y y y y y y m -=+--，因此22(1)(1632)13m m +-=，421616450m m --=，22(49)(45)0m m -+=，294m =，解得32m =．从而所求直线方程为322x y =-，即2340x y -+=． ………………………………5分（2）设AB 的中点为M ，则由()OC OF t FA FB =++可知2FC tFM =，因此F ，C ，M 三点共线．………………………………7分设00(,)M x y ，则由（1）知12032y y y +==，0353222x =⨯-=． ………………………………9分因此直线FC 的方程为3(1)2(1)512y x x =-=--．由242(1)y x y x ⎧=⎨=-⎩可得2310x x -+=，因此32x ±=，从而可知35||122FC ±=+=． ………………………………12分21．（12分）（1）因为2cos sin ()x x x f x x -'=，所以2π4()2πf '=-． 又因为π2()2πf =，所以切线方程为2224π42()ππ2ππy x x -=--=-+， 即244ππy x =-+． ………………………………3分（2）22sin ()1166x x x f x x >-⇔>-． 注意到()f x 与216x y =-都是偶函数，因此只需证明0x >时2sin 16x x x >-成立，即3sin 6x x x >-成立即可．………………………………5分设3()sin 6x g x x x =-+，0x ≥，则2()cos 12x g x x '=-+．………………………………6分设2()cos 12x h x x =-+，则()sin 0h x x x '=-≥，因此()h x 在0x ≥时递增，因此()(0)0h x h ≥=恒成立．从而可知()g x 在0x ≥时递增，因此()(0)0g x g ≥=，且等号只在0x =成立．因此当0x >时，3sin 06x x x -+>，即2sin 16x x x >-． ………………………………8分（3）当0 1.1x <≤时，ln(1)sin ln(1)()sin ln(1)x x x f x x x x x x++>⇔>⇔>+． 由（2）可知，当0 1.1x <≤时，3sin 6x x x >-恒成立，因此只需证明当0 1.1x <≤时，3ln(1)6x x x ->+即可．………………………………10分设3()ln(1)6x g x x x =--+，0 1.1x ≤≤，则 2221(2)(1)(2)()121122(1)2(1)x x x x x x x x x g x x x x x ---+'=--=-==++++，因此当01x ≤≤，()g x 递增；1 1.1x ≤≤，()g x 递减．………………………………11分又因为(0)0g =，31.1(1.1) 1.1ln2.16g =--，而且 331.1 1.11.1 1.10.833865->-=．又因为42.119.4481=，32.719.683=，所以4332.1 2.7e <<，从而342.1e <，因此3ln 2.10.754<=，从而 (1.1)0.83380.750g >->．因此可知，当0 1.1x <≤，()0g x >恒成立，即3ln(1)6x x x ->+． ………………………………12分（二）选考题：22．（10分） （1）曲线C 的一般方程为221x y +=．………………………………2分又因为直线l 过点(2,2)--且与圆C 相交，因此直线l 的斜率一定存在，因此其一般方程为2tan (2)y x θ+=+．………………………………3分设直线的斜率为tan k θ=，则直线方程为2(2)y k x +=+1<可知23830k k -+<k <<． ………………………………5分（2）设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由P 在圆C 外可知这两个参数均为正数，且12::57t t =．………………………………6分由2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩与221x y +=可得22(2cos )(2sin )1t t θθ-++-+=，24(cos sin )70t t θθ-++=，因此12124(cos sin )7t t t t θθ+=+⎧⎨=⎩………………………………7分从而121124(cos sin )5775t t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此cos sin θθ+=可解得sin θ==………………………………9分因此12k =或2k =，即所求斜率为12或2．………………………………10分23．（10分）（1）因为2,11()3,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………………2分当1x ≥时，由()3f x >可得23x +>，1x >，此时1x >． 当112x -<<时，由()3f x >可得33x >，1x >，此时无解． 当12x ≤-时，由()3f x >可得23x -->，5x <-，此时5x <-． ………………………………4分综上可知所求解集为(,5)(1,)-∞-+∞．………………………………5分（2）由（1）可算出()f x 的最小值为13()22f -=-. ………………………………7分因此23522t t -≥-． ………………………………8分22530t t -+≤，(23)(1)0t t --≤，解得312t ≤≤． ………………………………10分dx )x sin 1(i ⎰+i- 江西省第二次模拟理科数学一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中，只 有一项符合）1.已知全集，集合 为A. ( - 1, 3)B. ( - 1, 2]C.( - 4, 3)D. ( - 4, 2]2. 已知 （ 2 + i ）y = x + yi ，x, y ∈ R ，则xi y+=A.5B.3C.2D.23.已知等比数列{a n }的首项a 1＞0，公比为q ，前n 项和为S n ，则“q ＞1”是“S 3+S 5＞2S 4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图，在▱OACB 中，E 是线段AC 的中点，F 是线段BC 上的一点，且BC ＝3BF ， 若＝m，其中m ，n ∈R ，则m +n 的值为A ．1B ．C ．D ．5.函数12)4ln()(--+=x ex x f 的图象大致是A B C D6． 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一， 次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.源于问题所蕴 的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的结果为i ，则 等于A ．6B ．14C ．8D ．127．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．8．将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g （x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）＝4，且x 1，x 2∈[﹣π，π]，则x 1﹣2x 2的最大值为 A ．B ．C ．D ．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．9．已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 的直线L 与抛物线C 交于A 、B 两点，且直线L 与圆交于两点.若，则直线L 的斜率为A.B.C.D.11．已知双曲线E ：，点F 为双曲线E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|＝3|FQ|，若|OP|＝b ，则E 的离心率为A ．B ．C ．2D ．12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续第4题图第6题图第7题图第9题图偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是 A ．3972B ．3974C ．3993D ．3991二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）13.若实数x ，y 满足约束条件错误!未找到引用源。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)6月20日押题卷 文科数学 (一)解析版
·文科数学 第1页（共14页） 文科数学 第2页（共14页）绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|}2A x y x==-，{1,0,1,2,3}B =-，则()A B =R I ð（ ） A ．{2} B ．{1,0,1,2}-C ．{2,3}D ．{1,0,1}-【答案】C【解析】由题意得{|2}A x x =<，∴{|2}A x x =≥R ð，∴(){2,3}A B =R I ð． 2．i 是虚数单位，复数1i1iz -=+，则|1|z +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】1i=i 1iz -=-+，|1||1i|2z +=-=． 3．31()lg cos x f x x x-=+的定义域为（ ） A ．(0,3)B ．{|3x x <且π}2x ¹C ．ππ(0,)(,3)22UD ．{|0x x <或3}x >【答案】C【解析】由题得3030π0π2π,cos 02x x x x x k k x Z ìì-<<ïïïï>ïï揶<<眄镲??镲¹镲îî或π32x <<． 4．从A 、B 等5名学生中随机选出2人，则B 学生被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【解析】5名学生中随机选出2人有10种，B 学生被选中有4种，42105P ==．5．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-【答案】B【解析】由题意得，23(7,63)λ-=-m n ，∵(23)⊥-m m n ，∴(23)0⋅-=m m n ，即141890λ+-=，解得329λ=． 6．若π3cos()64α-=，则πsin(2)6α+=（ ） A ．18- B ．18 C ．716-D ．716【答案】B【解析】由题意得22ππ31cos(2)2cos ()12()13648αα-=--=⨯-=， ∴πππππ1sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)626338αααα+=-+=-=-=．7．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=【答案】B【解析】∵双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，∴5=c ，2ba=， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号文科数学 第3页（共14页） ·文科数学 第4页（共14页）∵222c a b =+，∴1a =，2b =，∴双曲线的方程为2214y x -=．8．某公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，右图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．用样本估计总体，则下列法错误的是（ ）A ．这批配件重量的平均数是101.30（精确到0.01）B ．这批配件重量的中位数是在[100,101]之间C ．0.125а=D ．这批配件重量在[96,100)范围的有15000个 【答案】B【解析】易得0.125a =，C 正确； 平均数970.10990.201010.301030.251050.15101.30=?????，A 正确；中位数是累计频率为0.5的数，[96,100)的累计频率为0.3，[96,102)的累计频率为0.6， 因此中位数在[100,102)内，又[100,102)的频率为0.3，需要找到其中频率为0.2的点， 所以中位数应在[101,102)内，B 错误；这批配件重量在[96,100)范围的有50000(0.100.20)15000?=个，D 正确．9．执行如图的程序框图，如果输出的13b =，则图中判断框内应填入（ ）A ．4?i >B ．5?i >C ．6?i >D ．7?i >【答案】C【解析】输入0a =，1b =，1i =，第1次循环，1c =，1a =，1b =，2i =，第2次循环， 2c =，1a =，2b =，3i =，第3次循环， 3c =，2a =，3b =，4i =，第4次循环，5c =，3a =，5b =，5i =，第5次循环， 8c =，5a =，8b =，6i =，第6次循环， 13c =，8a =，13b =，7i =，…，因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，故选C ．10．已知函数()2sin()(0,0π)f x ωx φωφ=+><<的部分图象如图所示，点A ，π(,0)3B ，则下列说法中错误的是（ ）A ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =向左平移π3个单位而得到 C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 在区间ππ(,)312-上单调递增 【答案】B 【解析】由(0)f =，可得sin 2φ=， 又0πφ<<，所以π3φ=或2π3，π()03f =，·文科数学 第5页（共14页） 文科数学 第6页（共14页）①当π3φ=时，πππ3133ωk ωk +=?-，k Z Î；②当2π3φ=时，π2ππ3233ωk ωk +=?-，k Z Î，由图可知，ππππ3(,3)432232T T ωωω<<?<尬，故π2()2sin(2)3ωf x x =?+，易知A ，C ，D 正确，B 错误．11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意p ，*q ∈N ，都有p q p q a a a +=⋅，则11(4)260n n nS S a --⋅++（1n >，*n ∈N ）取得最小值时，n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn a =，∴12(21)2221nn n S +-==--，∴122n n S -=-，∴211(4)(22)(22)24n n nn n S S --⋅+=-⋅+=-，∴211(4)260225625623222n nn n n nn S S a --⋅+++==+≥=， 当且仅当216n=，即4n =时，等号成立．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11C D 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（ ）A．B．CD【答案】C【解析】过B 作l AC ∥，分别交DA ，DC 的延长线于G ，H ，连接EG 交1AA 于M ，连接FH 交1CC 与N ，连接BM ，BN ，则所得截面为五边形EMBNF ．∵1A E AD ∥，∴1112A E A M AG MA ==，∴123A M =，43AM =，∴EM ==，MB ==，同理有FN =，NB =．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -的值为 ． 【答案】7-【解析】∵函数322()3f x x ax bx a =+++，∴2()36f x x ax b '=++， 又∵函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，∴2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，∴13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩， 当13a b =⎧⎨=⎩时，22()363(1)0f x x ax b x '=++=+≥，函数在R 上单调递增，不满足题意； 当29a b =⎧⎨=⎩时，2()363(1)(3)f x x ax b x x '=++=++，满足题意， ∴7a b -=-．14．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为12，则该球的表面积为________． 【答案】9π【解析】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为12， 所以两个棱锥的高之比也为12， 设两个棱锥的高分别为x ，2x ，球的半径为R ，则232x x x R +==，即32x R =， 所以球心到公共底面的距离是2x，。
2020年高考数学押题密卷(含解析)
2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。
高考数学押题卷理科新课标全国Ⅰ卷2020
x2 y2 + =1
C． 27 18
x2 y2 + =1
D． 18 9
11．设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意 x1，
x2∈S，当 x1＜x2 时，恒有 f(x1)＜f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是
（一） 必考题：共 60 分。 17．(本小题满分 12 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
（1）求角 A 的大小；
（2）若△ABC 的面积 S = 5 3 ，b＝5，求 sin Bsin C 的值．
18．(本小题满分 12 分)如图，在直棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD， BC＝1，AD＝ AA1＝3.
3
（1）证明：AC⊥B1D； （2）求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值． 19．(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆
心 P 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程；
（2）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 20．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3. 设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
2020届全国卷Ⅰ高考压轴卷(文数)
2020届全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{} 228023 A x x x B x x=+-≥=-<<，，则A∩B= ( ).A. (2,3)B. [2,3)C.[－4,2]D. (－4,3)2.已知(1i)(2i)z=+-，则2||z=（）A. 2i+B. 3i+C. 5D. 103.若向量ar＝13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，|br|＝23，若ar·(br－ar)＝2，则向量ar与br的夹角为()A.6πB.4πC.3πD.2π4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 245. 甲、乙二人参加普法知识竞答共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( )A．1115B．1315C．35D．10136.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A. 17?,,+1i s s i i i ≤=-=B. 1128?,,2i s s i i i ≤=-=C 17?,,+12i s s i i i≤=-=D. 1128?,,22i s s i i i≤=-=7.已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．49.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3,23,sin a c b A === cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则b=( ) A. 1B.2C.3 D.510.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b +的最小值是（ ）A. 9B. 4C.12D.1411.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x = C. 24y x =D. 28y x =12.已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A. (1,)+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知()0,θπ∈，且sin()410πθ-=，则tan2θ=________． 14. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______.15. 已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+，令()13log n a n b +=，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和2020S =__________．16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE⊥；②直线//BC平面PAE；③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD与BC所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10.其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知24sin4sin sin22 2A BA B-+=+（1）求角C的大小；（2）已知4b=，△ABC的面积为6，求边长c的值.18. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，12 2BC CD AB===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。
2020全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)含解析
17.（本小题 12 分）
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2
△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
2
（1）求角 C 的大小；
（2）已知 b 4 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题 12 分）
BC CD 1 AB 2
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），
上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ）
A. 二升
B. 三升
C. 四升
D. 五升
9.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a 3, c 2
3,bsinA
21. （本小题 12 分）
设函数 f x a2 ln x x2 ax a R .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）求使 e 1 f x e2 对 x 1, e 恒成立的 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a＞0，b＞0，可得
4 1 =（ 4 1 ）（a+b）=5+ 4b a ≥5+2
ab ab
ab
4b a 9 ab
e
e
e
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绝密 ★ 启用前2020年高考全国高考数学押题卷（全国I 卷）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列命题中： ①“”是“”的充分不必要条件 ②定义在上的偶函数最小值为5；此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号③命题“，都有”的否定是“，使得”④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，746．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）．A ．B ．C ．D ．22222正视图侧视图俯视图8．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．812．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0ω>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．的展开式中的系数为__________．14．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为__________．15．在中，，，边上的中线，则的面积为__________．16．已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则； ②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值； ③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积．其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）已知函数部分图象如图所示． （1）求值及图中的值；（2）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，求的值．ABC △2AB =3AC =BC 2AD =ABC △i j k θ0πθ<<π2θ≠a ()x y z x y z =++∈a i j k ，，R (),,x y z a O xyz-O ()x y z θ=a ，，()132θ=-a ，，()402θ=b ，，·0=a b ()π3,,0x y =a ()π30,0,z =b x y z x y =a b ()111x y z θ=a ，，()222x y z θ=b ，，()121212x x y y z z θ+=+++a b ，，()π3100OA =，，()π3010OB =，，()3001OC π=，，O ABC -S =()()π2sin 2()2f x x ϕϕ=+<ϕ0x ABC △A B C a b c c =()2f C =-sin 2sin B A =a18、（12分）19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，（1）求证：平面平面；（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程．21．（12分）已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；P ABCD -PA ⊥ABCD AD AB ⊥DC AB ∥1PA =2AB =PD BC ==PAD ⊥PCD PB E E AC P --AE ABCD C 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F )1P-12PF F △C l A B C C D CD AB λ=λ∈R λl ()ln f x ax x x=+2e x -=a（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点，且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线）．（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于，的值．23．（10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．()()()22ln F x x x x f x =+--()F x '()F x x ()1,0C x ()2,0D x 12x x <CD (),0N s s ()0F x '=xOy l t xC 56a >l C ()2,1P -l C M N a ()1f x x =-（1）解不等式：；（2）若，，且，求证：．2020年高考模拟试题（五）理科数学 答案及解析1、【答案】C 【解析】由题意得，，∴，∴．选C ．2、【答案】 C 【解析】由已知有，因为，所以在第三象限，所以，，故表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ．3、【答案】A 【解析】如图：()()48f x f x ++≥1a <1b <0a ≠()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭不妨设两个数为，，故，如图所示，其概率为，故选A．4、【答案】C【解析】①或，所以“”是“”的充分不必要条件；②因为为偶函数，所以，因为定义区间为，所以，因此最小值为5；③命题“，都有”的否定是“，使得”；④由条件得，，；因此正确命题的个数为①②④，选C．5、【答案】C【解析】执行程序：，，；，，；，，；，，，故输出的，分别为，．故选：C．6、【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，∴该几何体的体积是，故选：D．7、【答案】B【解析】设，，则，，等价于，即．作出不等式组对应的平面区域如图：B可知的面积为等腰直角三角形的面积，由解得，即，由解得，即，三角形的面积，故选B ．8、【答案】D【解析】，，，，故选D．9、【答案】B【解析】，当时，，，当关于轴对称的函数为，由题意得：，在时有解，如图：当时，，，则的取值范围是，故选B．10、【答案】D【解析】∵，，∴，即，即，故，由知，∴，，，；若对任意，恒成立，只需使，即，解得．本题选择D选项．11、【答案】C【解析】取线段中点，设在底面射影为，设，则，为二面角的平面角，，，，，故选C．12、【答案】B【解析】根据题意，对于函数，当时，，分析可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图象关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的级类周期函数，且；则在上，，则有，则函数在区间上的最大值为，最小值为；对于函数，有，分析可得：在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数， 则函数在上，得的最小值，若，，使成立，必有，即，得到范围为．故答案为：B ． 13、【答案】【解析】利用通项公式，令，，则展开式中的系数为．14、【答案】【解析】画出可行域，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得．15、【答案】【解析】由题意，延长至，使得，可证，其面积相等，B 20y x b x y =-+⎧⎨-=⎩2,33b b B ⎛⎫ ⎪⎝⎭22333b b ⨯+=94b =AD E 2DE AD ==BDE CDA △≌△故的面积等于的面积，由已知数据可得，，，在中由余弦定理可得， 所以，所以．16、【答案】②③【解析】由题意，①若，，则，则，所以不正确；②如图，设，，则点在平面上，点在轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，所以是正确的；③已知，，则，所以，所以是正确的；④由，，，则三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，所以不正确．故选②③．17、【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由图象可以知道：．∴， 又∵，∴，ABC △ABE △S 2AB =4AE =3BE AC ==ABE △2222341cos 2234ABE +-∠==-⨯⨯sin ABE ∠=1232S =⨯⨯()132θ=-a ，，()402θ=b ，，()()3242126612cos θ⋅=+-⋅+=⋅-⋅+⋅=a b i j k i k i j k i k j 0⋅≠a b OB =b OA =a A xOy B z x y =AOB ∠a b ()111x y z θ=a ，，()222x y z θ=b ，，()()()121212x x y y z z +=+++++a b i j k()121212x x y y z z θ+=+++a b ，，()π3100OA =，，()π3010OB =，，()3001OC π=，，O ABC -11412S =⨯=π6ϕ=07π6x =1a =()01f =1sin 2ϕ=π2ϕ<π6ϕ=∵，∴，，， 从而，．由图象可以知道，所以．（2）由，得，且．∴， ∵， ∴由正弦定理得，又∵由余弦定理得：，∴解得．18、（1）（i ）经过计算得：4x =，()2128nii x x =-=∑，所以()()()1216.49ˆ0.2328niii nii x x zz bx x ==--==≈-∑∑，ˆˆ 4.680.234 3.76az bx =-=-⨯= ………………3分 因此z 关于x 的线性回归方程为：ˆ0.23 3.76z x =+， 所以y 关于x 的指数型回归方程为：0.23 3.76ˆe x y+=． …………………………………………………5分 代入8x =，0.238 3.765.6ˆe e 270y⨯+==≈，故预测2月3号当天新增确诊病例人数为27018981-=人． ………………………………………6分（ii ）在y 关于x 的线性回归方程ˆ25.0719.43y x =+中，代入8x =，ˆ25.07819.43220y=⨯+≈， 以此预测2月3号当天新增确诊病例人数为22018931-=人．()02f x =0πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ππ22π62x k +=+k ∈Z 0ππ6x k =+k ∈Z 1k =07π6x =()2f C =-πsin 216C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()0,πC ∈2π3C =sin 2sin B A =2b a =2222cos c a b ab C =+-222π7422cos3a a a a =+-⨯1a =显然y 关于x的线性回归方程预测效果更好．…………………………………………………………8分（2）（i ）由正态分布的性质得，1(10100)10.9974(10)0.001322P P ξξ-<<-<===． ………………………9分根据题意，~(100,0.0013)B η，故1000.00130.13E η=⨯=…………………10分 （ii ）（开放式答案）例1：由于(2585)95.44%P ξ<<=，即25岁至85岁的感染者占所有感染者的90%以上，而小于10岁的感染者还不足0.2%，所以可以认为，相对而言儿童不易感染2019新型冠状病毒．例2：由于地区之间的年龄分布可能存在较大差异，如果所在地区儿童所占比例很小，则感染的比例小是正常的结果，所以并不能认为儿童不易感染2019新型冠状病毒，而应结合其它地区的数据再判断．……………………………………12分 19、【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：，，，平面，平面，，，平面， 平面，平面平面．（2）解:以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由点向作垂线，则，∴，AD AB ⊥CD AB ∥DC AD∴⊥PA ⊥ABCD DC ⊂ABCD DC PA ∴⊥ADPA A =DC ∴⊥PAD DC ⊂PCD ∴PAD ⊥PCD A AD AB AP x yz A xyz -1AD ==C AB CH 1BH ==1DC AH AB BH ==-=∴，，，，设． ∵在棱上，∴（）， ∴， 设平面的法向量，∴，，，取，则，则．设平面的法向量，∴，，，取， 则，．∴，∴，解得．∴，， 易知平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值．20、【答案】（1）；（2），直线的方程为． 【解析】（1）由的面积可得，即，∴．①()0,0,0A ()0,0,1P ()0,2,0B ()1,1,0C (),,E x y z E PB PE PB λ=01λ<<()0,2,1E λλ-PAC ()111,,x y z =μ·0·0AP AC ⎧=⎨=⎪⎪⎩μμ()()()()111111,,0,0,10 ,,1,1,00x y z x y z ⎧⎪⎨=⋅=⎪⎩⋅11100z x y =+=⎧⎨⎩11x =11y =-()1,1,0=-μEAC ()222,,x y z =v ·0·0AE AC ⎧⎪⎨⎪⎩==v v ()()()()222222,,0,2,10,,1,1,00x y z x y z λλ⋅-=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩()22222100y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩21x =21y =-222(0)11z λλλλ=>--21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭v cos 3θ⋅==v v μμ()21,1,01,1,λ⎛⎫-⋅- ⎪==12λ=10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABCD ()0,0,1=m AE ABCD 5sin AE AEα⋅==m m 22184x y +=λl y x =12PF F △12122c ⋅⋅=2c =224a b -=又椭圆过点，∴．②由①②解得，故椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得．将代入椭圆方程，得，由判别式，解得．由直线和圆相交的条件可得，也即，综上可得的取值范围是．设，，则，，由，得∵，∴，则当时，，此时直线的方程为．21、【答案】（1）；（2）不是的根． 【解析】（1）∵，∴，由已知得，，．∴，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，符合题意，故． （2）由（1）知函数．C )1P-22611ab+=a =2b =C 22184x y +=l y x m =+l d =AB ==y x m =+22184x y +=2234280x mx m ++-=()221612280m m ∆=-->m -<<d r <<22m -<<m ()2,2-()11,C x y ()22,D x y 1243m x x +=-212283m x x -=CD AB λ=CD AB λ===22m -<<2044m <-≤0m =λl y x =1a =s ()0F x '=()ln f x ax x x=+()ln 1f x a x =++'()2e 0f -'=2ln e10a -++=1a =()ln 2f x x ='+()f x ()20,e -()2e ,-+∞()f x 2e x -=1a =()22ln F x x x x=--∵函数图象与轴交于，两个不同点，∴，，两式相减整理得：．∵， ∴令，即．∵，∴，令，∵， ∴，∴，设，则．∵，∴， ∴在上是增函数， ∴，∴无解，即． ∴不是的根．22、【答案】（1），；（2）．【解析】()F x x C D 21112ln 0x x x --=22222ln 0x x x --=()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x -'=-()()121212112121212122122ln ln 24421ln 2x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=-⎢⎥ ⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦'1202x x F +⎛⎫= ⎪⎝⎭'()0F s '=1220x x ≠-()1212122ln 0x x x x x x --=+12x t x =120x x <<01t <<()21ln 01t t t --=+()()21ln 1t u t t t -=-+()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+01t <<()0u t '>()u t ()0,1()()10u t u <=()0u t =()0F s '≠s ()0F x '=3y x =-()()2222x a y a a -++=1a =（1为参数）消去参数可得，∴直线的普通方程为．，得，将，，代入上式，得， 即，∴曲线的直角坐标方程为．（2代入中，设，两点对应参数分别为，， ，，∴，∴，∴，即，解得，符合题意． ∴． 23、【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意，原不等式等价为，t t 30x y --=l 3y x =-()22cos sin a ρρθθ=-222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρθ=22220x y ax ay +-+=()()2222x a y a a -++=C ()()2222x a y a a -++=22220x y ax ay +-+=M N 1t 2t1256t t a=-120t t <()212126t t t t -=-()2121220t t t t ++=(()22560a +-=1a =1a =][(),53,-∞-+∞138x x -++≥令，所以不等式的解集是．（2）要证，只需证，只需证，而，从而原不等式成立．()22,3134,312+2,1x x g x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩][(),53,-∞-+∞()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭1ab b a ->-()()221ab b a ->-()()()()2222222211110ab b a a b a b a b ---=--+=-->。