平面及其方程word版
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第五节 平面及其方程
教学目的:介绍最简单也是非常这样的曲面——平面,为下学期学习重积分、线面积分打下基础.
教学重点:1.平面的方程
2.两平面的夹角
教学难点:平面的几种表示及其应用
教学内容:
一.平面的点法式方程
1.平面的法线向量定义:垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
2.平面的点法式方程
已知平面上的一点M 0(x 0,y 0,z 0)和它的一个法线向量n ={A ,B ,C },对平面上的任一点M (x ,y ,z ),有向量⊥M M 0n ,即
n 00=⋅M M
代入坐标式有:
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A (1)
此即平面的点法式方程.
1. 例子:求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)和M 3(0,2,3)的平面方程. 解:先找出这平面的法向量n ,
k
j i k
j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M
由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即: 015914=--+z y x
二.平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示.
平面的一般方程为:
0=+++D Cz By Ax
几个平面图形特点:
二. D =0:通过原点的平面.
三. A =0:法线向量垂直与x 轴,表示一个平行于x 轴的平面.
同理:B =0或C =0:分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面.
四. A =B =0:方程为Cz +D =0,法线向量{0,0,C },方程表示一个平行于xoy 面的平
面.
同理:Ax +D =0和By +D =0分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面.
五. 反之:任何的三元一次方程,例如:5x +6y -7z +11=0都表示一个平面,该平面
的法向量为n ={5,6,-7}
三.两平面的夹角
定义:平行于定直线并沿曲线定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面.
定曲线C :准线 动直线L :母线
四.几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为n 1={A 1,B 1,C 1}和n 2={A 2,B 2,C 2}
两平面垂直:0212121=++C C B B A A (法向量垂直) 两平面平行:212121C C B B A A == (法向量平行)
平面外一点到平面的距离公式:设平面外的一点P 0(x 0,y 0,z 0),平面的方程为 0=+++D Cz By Ax ,则点到平面的距离为
222000C B A D
Cz By Ax d +++++=
小结:平面是本书非常重要的一节,学生在学习时会各种平面的表示方法,了解平面与其法向量之间的关系等等.
§7.7 平面及其方程
一 平面的点法式方程
若一非零向量垂直于一平面,则称此向量是该平面的法线向量。
显然,平面上的任一向量均与平面的法线向量垂直。由于过空间一点可以作而且只能作一个平面垂直于一已知直线。
因此,当平面π上一点M x y z 0000(,,)和它的一个法线向量 n 给定之后,
平面的位置就确定下来了。
下面,我们来建立这种平面方程。 设M x y z (,,)是π上的任一点,那未,M M n 0⊥ ,即 M M n 0
0⋅= 而 M x x y y z z 0000=---{,,}
若设 n A B C ={,,},故
A x x
B y y
C z z ()()()-+-+-=0000 (1) 这表明:平面π上任一点M x y z (,,)的坐标满足方程(1)。
反过来,若点M x y z (,,)不在平面π上,向量M M 0就不垂直于 n ,从而
M n 00⋅≠ ,即 A x x B y y C z z ()()()-+-+-≠0000
亦即:不在平面π上的点M x y z (,,)的坐标不适合方程(1)。
故,方程(1)就是平面π的方程,而平面π便是方程(1)的图形。
因为方程(1)是由平面π上一点M x y z 0000(,,)及它的一个法线向量
n A B C ={,,}唯一确定的,因此,方程(1)也称之为平面的点法式方程。 二平面的一般方程
注意到,方程(1)是x y z ,,的一次方程,我们可断言:任一平面都可以用三元一次方程来表示。
这是因为任一平面都可以由它的法线向量与它上面的一点唯一决定,而平面的点法式方程本身就是三元一次方程。
反过来,若有三元一次方程
Ax By Cz D +++=0 (2)
任取满足该方程的一组数x y z 000,,,即
Ax By Cz D 0000+++=
两式相减得
A x x
B y y
C z z ()()()-+-+-=0000 (3)
显然,方程(3)是过点M x y z 0000(,,)且以 n A B C ={,,}为法线向量的平面方
程,而方程(2)与方程(3)是同解的,由此可知, 三元一次方程(2)所代表的图形是平面。
方程(2)称为平面的一般方程 ,该平面的法向量是由x y z ,,的系数所作成的向量 n A B C ={,,}。
对于一些特殊的三元一次方程,它们所代表的平面具有一些特殊性。
1、当D =0时,(2)式成为Ax By Cz ++=0,它表示一个通过原点的平面,因为O (,,)000的坐标显然适合该方程。
2、当A =0时,(2)式成为By Cz D ++=0,法线向量为 n B C ={,,}0,因
prj n n x ==0cos α,( n ≠0),故cos α=0,α=90
n x ⊥轴,从而平面 By Cz D ++=0平行于x 轴。
类似地,方程Ax Cz D ++=0表示平行于y 轴的平面;方程