高考数学复习专题02函数与导数函数的奇偶性与周期性考点剖析

函数的奇偶性与周期性

主标题：函数的奇偶性与周期性

副标题：为学生详细的分析函数的奇偶性与周期性的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：函数，奇偶性，周期性

难度：3

重要程度：5

考点剖析：

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

命题方向：高考对本内容的考查主要有：①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题；②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；③求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；④在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等．

规律总结：1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．

2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －x f x

＝±1(f (x )≠0)．

3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

知 识 梳 理

1．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝

f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝

－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

2.奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．