探索图形的面积等分
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问题情境
如图所示，在一块矩形土地 上，有一平行四边形水池，怎样修 一条水渠把土地面积分成相等的两 部分？ A D
H B E F
G C
困惑与思维突破
困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是 不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？ 思维突破：原有土地是矩形，水池是平行 四边形，这是两个基本图形的组合图形. 要解决怎么平分组合图形的面积， 我们先来研究基本图形平分面积的情况.
有一块三角形花园，现在物业公 司要对其进行绿化，要求用一条直线为 分界线把这块三角形空地分成面积相等 的两块，一块用来种花，一块用来植绿 色植被，如果你是设计师，你应该怎样 设计，才能满足要求？
A
B
C
Leabharlann Baidu
如果花园形状是矩形，要求用 一条直线为分界线把这块矩形空地 分成面积相等的两块，应该怎样设 计，才能满足要求？
问题情境一反思
A D
H
G F
B
E
C
因为ＡＤ∥ＨＧ且所作直线和Ａ Ｄ、ＨＧ均相交.，利用上述方法也可 作无数条直线平分面积
问题情境一反思修改
A D G F C
H B E
这是不会出现情境一的情况. 本图只能作一条直线平分土地面积.
如图，甲、乙两家的地被一条小 路ABC分开，地的两边是两条平行的道 路，现在为方便行走，想把弯道ABC改 成直道(改后两家的地以这条直道为 界)，且不能改变两家的土地面积，你 能帮他们改一下吗？
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
割补 原理
A E
O F B
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
A
E
A
O E F B
过矩形中心的任意一条直线都 等分矩形的面积。 F B
O O′
如果花园形状是平行四边形， 用一条直线为分界线把这块空地分 成面积相等的两块，怎么分？
A
● ●
B
●
C
D
过平行四边形中心的任意 一条直线都等分它的面积。
A
D E
B
C
A
B
C
A
B
C
A
D E
D E
D G E
B
C
B
C B
F
C
A
D G E
B
F
C
平分组合图形的面积
问题情境的解决
连接AC和BD 交于O1，连接EG和 FH交于O2，作直线 O1O2，沿O1O2修水 渠可把土地平分.
A
O1
D
H B
O2
G F C
E
思考：问题就这样轻易解决吗？ 你发现水渠的位置有什么特点？
A
M
O1
E D
O2
A
M
E
D
B
N
C
B
N
C
过MN的中点任画一条直线， 只要与AE相交都满足条件。
如果花园是任意四边形，一条 直线将其分成等积的两块，有几种 分法？怎么分？直线可以任意角度 A 吗？
D
B
C
运用转化的思想，将其变形 为等积的三角形.
解题策略： 任意四边形变形为 等积的三角形.
A
D
A
D
A E
O ● 1
甲
D
B
乙
●O2
C
F
A
E B
甲
C
●
乙
F
A
E
D O
B C
F
课后思考： 如果花园形状是任意四边形ABCD，四 边形内部有一条折线小路AEC刚好平分 四边形面积，现在小区的物业公司想把 折线小路修成直线小路，由于各种条件 限制，小路要通过点A，并且只能修在 AC和点E之间，同时还要平分四边形面 积，请你帮助设计？
如果花园形状是梯形呢？又怎么分？
A D
B
C
A
E
D
A O
E
D
B
F
C B
F
C
E、F分别为梯形上、下底的中 点，只要过EF的中点且与上、下底 相交的直线都可平分梯形面积。
如果花园是矩形缺一个角，一 条直线将其分成等积的两块，有 几种分法？怎么分？直线可以任 意角度吗？ A E
D B
C
运用转化的思想，将其转化 为已解决的矩形和梯形。
1.知识点
小结
(1)平分三角形面积：找中线； (2)平分平行四边形面积：找过对称中心的直线； (3)平分梯形面积: ①找两底中点所在直线； ②等积变形成三角形； ③等积变形成平行四边形； (4)平分一般四边形：变形成等积的三角形。
2.处理四边形面积问题：把四边形变形成一 个等积的三角形； 3.遇到实际问题时应该找对应的数学模型， 并用所学的数学知识去解决问题；
如图所示，在一块矩形土地 上，有一平行四边形水池，怎样修 一条水渠把土地面积分成相等的两 部分？ A D
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G C
困惑与思维突破
困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是 不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？ 思维突破：原有土地是矩形，水池是平行 四边形，这是两个基本图形的组合图形. 要解决怎么平分组合图形的面积， 我们先来研究基本图形平分面积的情况.
有一块三角形花园，现在物业公 司要对其进行绿化，要求用一条直线为 分界线把这块三角形空地分成面积相等 的两块，一块用来种花，一块用来植绿 色植被，如果你是设计师，你应该怎样 设计，才能满足要求？
A
B
C
Leabharlann Baidu
如果花园形状是矩形，要求用 一条直线为分界线把这块矩形空地 分成面积相等的两块，应该怎样设 计，才能满足要求？
问题情境一反思
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H
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因为ＡＤ∥ＨＧ且所作直线和Ａ Ｄ、ＨＧ均相交.，利用上述方法也可 作无数条直线平分面积
问题情境一反思修改
A D G F C
H B E
这是不会出现情境一的情况. 本图只能作一条直线平分土地面积.
如图，甲、乙两家的地被一条小 路ABC分开，地的两边是两条平行的道 路，现在为方便行走，想把弯道ABC改 成直道(改后两家的地以这条直道为 界)，且不能改变两家的土地面积，你 能帮他们改一下吗？
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
割补 原理
A E
O F B
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
A
E
A
O E F B
过矩形中心的任意一条直线都 等分矩形的面积。 F B
O O′
如果花园形状是平行四边形， 用一条直线为分界线把这块空地分 成面积相等的两块，怎么分？
A
● ●
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C
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过平行四边形中心的任意 一条直线都等分它的面积。
A
D E
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C
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B
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B
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B
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平分组合图形的面积
问题情境的解决
连接AC和BD 交于O1，连接EG和 FH交于O2，作直线 O1O2，沿O1O2修水 渠可把土地平分.
A
O1
D
H B
O2
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思考：问题就这样轻易解决吗？ 你发现水渠的位置有什么特点？
A
M
O1
E D
O2
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C
过MN的中点任画一条直线， 只要与AE相交都满足条件。
如果花园是任意四边形，一条 直线将其分成等积的两块，有几种 分法？怎么分？直线可以任意角度 A 吗？
D
B
C
运用转化的思想，将其变形 为等积的三角形.
解题策略： 任意四边形变形为 等积的三角形.
A
D
A
D
A E
O ● 1
甲
D
B
乙
●O2
C
F
A
E B
甲
C
●
乙
F
A
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B C
F
课后思考： 如果花园形状是任意四边形ABCD，四 边形内部有一条折线小路AEC刚好平分 四边形面积，现在小区的物业公司想把 折线小路修成直线小路，由于各种条件 限制，小路要通过点A，并且只能修在 AC和点E之间，同时还要平分四边形面 积，请你帮助设计？
如果花园形状是梯形呢？又怎么分？
A D
B
C
A
E
D
A O
E
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F
C B
F
C
E、F分别为梯形上、下底的中 点，只要过EF的中点且与上、下底 相交的直线都可平分梯形面积。
如果花园是矩形缺一个角，一 条直线将其分成等积的两块，有 几种分法？怎么分？直线可以任 意角度吗？ A E
D B
C
运用转化的思想，将其转化 为已解决的矩形和梯形。
1.知识点
小结
(1)平分三角形面积：找中线； (2)平分平行四边形面积：找过对称中心的直线； (3)平分梯形面积: ①找两底中点所在直线； ②等积变形成三角形； ③等积变形成平行四边形； (4)平分一般四边形：变形成等积的三角形。
2.处理四边形面积问题：把四边形变形成一 个等积的三角形； 3.遇到实际问题时应该找对应的数学模型， 并用所学的数学知识去解决问题；