函数极限存在的夹逼准则(课件全).

时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
x 1 cos x ～ 1 2
2
例 . 当 x 0 时, 3 x 2
x 是
的几阶无穷小?
解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数
3
x x
2
3
3
1
3 1
x (1 x 2 ) x 6 (1 x 2 ) 3
3
lim
x 0
x x
2
x
1 6
lim
第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x ( x0 , ) 时, g ( x ) f ( x ) h ( x ) , 且

( x X 0)
x x0 ( x )
lim g ( x ) lim h( x ) A
x x0 ( x )
10 lim(1 ) x x3
7 1 x 或 lim x 3 1 x
x 0
x 3 103 10
10 x lim(1 ) e 10 x x3
x 7 7
x
7 7 (1 ) e 10 x 3 e lim 3 x e x x3 (1 ) 3
x x0 ( x )
lim f ( x ) A
证明
证 : 当 x 0 时, 设 n x n 1 , 则
(1
1 )n n 1
(1
1 ) x (1 1 ) n 1 x n
n 1 (1 n1 ) 1
n n
n lim lim (1 n1 ) 1
0.5 1.5 0.25 0.48
0.1 0.3
0.01 0.03
0.001 0.003
0 0 0 0
sin x lim 2 x 0 x
0.01 0.0001 0.000001 0.01 0.01 0.001
x2 lim 0 x 0 3 x
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
lim(1 tan x) cot x
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
BC AB AD
1 x A o C
BD
即
sin x x tan x
(0 x 2)
sin x cos x 1(0 x 2) x
令t x
用于含三角或 0 反三角的 型 0
从而有
t ) (t 1) 1) t 1 lim ( t lim ( 1 1 t t t t 1)] lim (1 1 ) t lim (1 1 ) lim [(1 1 ) ( 1 e t t t t t t t
lim
t (t 2) t 0 sin t
lim t ( t 2 ) t 0 t

2

第七节 无穷小的比较 第一章
引例 . x 0 时 , 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
x 3x x s inx
2
1 3 1 0.84
x 0
x (1 x ) x
1 6
1 6
3 1 2 3
lim(1 x ) 1
x 0
3 1 2 3
思考题：当 x 0时， x x x 是 x的几阶无穷小量？
例. 证明: 当
证:
时,
～
n
a b (a b) (a
n n
n 1
a
x 2

2
1 2 1 2
3、 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim 1 t 0 sin t
例：lim
x 1
1 x sin x
令t x 1
2
t (t 2) lim t 0 sin ( t 1)
n
1
1 n 1
e
n 1 1)n 1） e lim (1 1 ) lim [( 1 （ 1 ] n n n n 1) x x
x
lim (1
e
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 ) (t 1) lim (1 t 1 t
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 2 x 0 x
x 2 o ( 3x ) ; sin x
～ x
又如 ，
2 x 2 sin 1 cos x 1 2 lim lim 2 2 x x 0 x 0 4( ) x 2 2
故
x
lim (1
1) x x
e
也可写为
lim(1 x ) e
x 0
1 x
lim(1 无穷小）
无穷大
1 e (无穷小= ） 无穷大
用于1 型

例： 1、求
原式 lim (1
x 1 ( x ) ( 1 ) x
)
lim (1
x
1 x x
)

1
[ lim (1
x
1 x 1 x
) ]
e 1
公式：
2 x5 2、 lim （1 ) x x 2 x 2 5 2 e 原式 lim （1 ) lim （1 ) x x x x
x7 x 3、 lim （ ) x x 3
例. 1、求
sin x 1 解: 原式 lim x 0 x cos x
sin x lim 1 lim 1 x 0 cos x x 0 x
2、 求
x 2 sin 2 2
解: 原式 = Biblioteka Baiduim
x 0
x2
sin 1 lim x 2 x 0 2
定义：
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
0
是 的高阶无穷小 记作 o( ) 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小
是 的等价无穷小 记作 ~ 或 ~ 是 的 k 阶无穷小
例如 , 当 x 0 时
x2 lim 0 x 0 3 x