椭圆焦点三角形的面积

综上所述，点 P 到 x 轴的距离 9 或 9
45
课堂总结
椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的焦点三角形的面积为：
S△PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin
S△PF1F2
b2
tan
2
S△PF1F2 c y0 .（ y0 为 P 点的纵坐标）
作业：
椭圆的焦点三角形练习（二）
谢 谢！
椭圆焦点三角形的面积：
在椭圆
C： x2
a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）中，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上任意一点， F1PF2 ，则焦点三角形的面积为
S△PF1F2
b2
tan
2
证明：
记 | PF1 | m, | PF2 | n
m
n
在 F1PF2 中，由余弦定理有：
m2 n2 2mn cos | F1F2 |2 4c2
|
1 2
,求
F1PF2 的面积。
PF1 . PF2 | PF1 | . | PF2
|
cos
1 2
60
,
tan
2
tan 30
3 3
SPF1F2
b2
tan
2
3
3
例 3：已知椭圆 x2 y2 1的左、右焦点分别是
25 9
F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直
角三角形的三个顶点，求点 P 到 x 轴的距离。
椭圆的焦点三角形
(第二课时）
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 周长问题 2 面积问题 3 顶角问题 4 离心率问题 5 形状问题
温故知新
椭圆的定义：平面内动点P到两定点F1和F2的距离 和为常数（这个常数大于|F1F2|）,点P的轨迹叫做 椭圆
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
(m n)2 2mn(1 cos ) 4c2
又由椭圆定义有： m n 2a 2mn(1 cos ) 4(a2 c2 ) 4b2
2b2
mn 1 cos
又
1
SPF1F2 2 mn sin
b2 sin SPF1F2 1 cos
b2
2sin
2
cos
1
2
cos2
2
2
1
b2
tan
2
例
1：设
P
是椭圆
x2 100
y2 64
1 上的一点，
F1,
F2 是其焦点，
且 F1PF2 60 ,求 F1PF2 的面积。
SPF1F2
b2
tan
2
64 tan 30
64 3
3
例
2：设
P 是椭圆 x2 25
y2 9
1 上的一点，
F1,
F2 是其焦点，若
|
PF1 . PF2 PF1 | . | PF2
情形1
情形2
解：
若 F1 或 F2 是直角顶点
则点 P 到 x 轴的距离为通径的长 b2 9
a5
若 P 是直角顶点
h
设 P 到 x 轴的距离 h
则S
F1PF2
b2
tan 2
9 tan 45
9
1

又
S
F1PF2
.2c.h 4h 2
4h 9, h 9
4
1，降低难度，快速切入 2，简化计算，提高准确度