割圆术

如果说万有引力是牛顿的小苹果，那么圆周率一定是砸中祖冲之爷爷的那只小苹果，因为祖冲之的家喻户晓主要源于“圆周率”π。

祖冲之到底是采用什么样的方法获得这个π值（3.1415926~3.1415927）的呢？

根据古籍记载，三国时期伟大的数学家刘徽利用“割圆术”把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值。

圆周长在古代就是多边形的周长：2000多年前，希腊的阿基米德就用上述的方法测算出圆周长。他测量圆周长所用的尺子，是一个圆内接正多边形的边长，用Sn表示，测量几次，就表明正多边形有几条边，用n表示，那么首尾相接测量n次，其周长就是nSn，这也就是用长为sn的尺子测量出来的圆周长。当内接正多边形的边数n越来越多时，其边长Sn 就会越来越短，也就是测量圆周的尺长越来越短，它测量出的圆周长就会越来越精确，假如让n变得没法再大，或者尺长Sn几乎就是个0时，测量出的长度就成了圆的精确长度。

我们上学的时候都知道圆的内接正多边形，“正”的意思就是多边形的每条边都相等。

除了圆的内接正三角形、正六边形，还会有圆的内接正七边形、内接正八边形、内接正九边形，以致无限。

正八边形旋转一周是360度，所以每条边对应的内角就是45度。而每个顶角到正八边形中心的直线恰好平分这个顶角。

所得到的角就是135度的一半，也就是67.5度，她的对顶角也是67.5度，Scratch里竖直朝上是0度，往右旋转是正数角度，因此，画正八边形的初始角度也是67.5度。

割圆术就是利用了“随着内接正多边形边数的增加，内接正多边形的周长和面积也会无限接近圆的周长和面积”这一原理。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。通过对内接正多边形周长和面积的计算，依据公式求得π值。

科普完毕，接下来小酷就和大家一起看看如果祖冲之大师穿越，他将如何用Scratch如何简单方便地画出圆以及圆的内接多边形。

我们这次需要用Scratch模式画出几个圆作为背景，同时在这些背景上绘制出相应的内接正多边形。

首先导入角色：两个画笔

新增三个变量：边数、直径及圆周率。

在程序开始初期，增添清空所有画笔模块（清楚舞台上所有笔记和图章）

问：如果用割圆术去测量，难免太繁琐耗时又不精确。那如何来达到精确地测量曲线长度的呢？

答：找一个细线，将细线精确的沿着曲线摆上去,然后将细线拉直,再用刻度尺精确测量,即测得被量物长度。也可以用圈尺，或让轮子在滚动一圈，来测量一圈的长度来知道轮子的周长。轮子越大，测距仪一次性可以测量的最长距离就越大！

知识拓展——π的由来：

众所周知，π=3.141592653…可以说，它是世界上最有名的无理常数了，代表的是一个圆的周长与直径之比或称为“圆周率”。公元前250年左右，阿基米德给出了“圆周率”的估计值在223/71~22/7之间，也即是在3.140845~3.142857之间。

中国南北朝时期的著名数学家祖冲之(429-500)首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“密率与约率”对数学的研究有重大贡献。直到15世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才以“精确到小数点后17位”打破了这一纪录。祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之对圆周率数值的精确

推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

圆周率的应用很广泛，尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。中国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。

东汉张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428，皮延宗求出圆周率值为22/7≈3.14。

祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。在上文割圆术讲解，得出以下图标的结论：

为什么所有圆的周长和直径之比为一个定值，这一点似乎并不能够自然而然地就得到。因此在寻找这个常数之前，先要做的应当是证明“圆的周长与直径之比确实是一个常数”。

完美主义者可能会纠结于没有找到精确的π，但要知道，发现π是一个永远都不会停止的

过程，这也是其魅力之所在。没有最精确，只有更精确。

寻找π的过程就是这样神奇，一开始它的模型看起来很“粗糙”，随着边数的增多，边长的细化，计算结果越发逼近理想值，其实这就是“微积分”思想的雏形。而且有意思的是，微积分的出现最后又导致了很多更好的计算π的公式的出现。

这就是π的由来与求得π的过程。