数学八年级上册第11章三角形全章-PPT

第十一章 三角形
1
11.1与三角形有关的线段
2
3
4
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形。
•组成三角形的线段叫做三角形的边。
c •相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
•相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
B
A b
a
C
顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三 角形ABC”。
∴∠ACD=∠A+∠B.
D
51
例题
外角和一般是每个顶点只取 一个外角计算而得。
三角形外角和等于360°。
52
课堂练习 说出下列图形中∠1和∠2的度数
53
阶段小结
1、三角形外角的定义 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角
形的外角。
2、三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
47
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角 形的外角。
A
1
B
C
D
48
哪些是三角形的内角?哪些是三角形的外角?
3
4
2
1 6
5
7 8
12 9 10 11
三角形每个顶点处有2个外角(互为对顶角)，共有6个外角。
49
思考
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，能求出∠ACD吗？
∠ACD与∠A， ∠B有什么关系？
4+2x=18 解得x=7 ②如果长为4 ㎝的边为腰，设底边长为x ㎝，则
“有一边的长为4 ㎝”是什么意思？
2× 4+x=18
解得x=10
因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4
㎝的等腰三角形。
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 ㎝的等腰三角形。
12
课堂练习 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
从六边形一个顶点出发，可以作___3___对角线，它们将六边形分为__4____ 个三角形，六边形的内角和等于180°×___4____；
2
B
3
C
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
36
你还有其它方法证明三角 形内角和定理吗？
37
38
39
课堂练习
40
课堂练习
41
思考 直角三角形的两个锐角有什么关系?
如图，在Rt△ABC中，∠C=90 °，由三角
形内角和定理，得
∠A+ ∠B+∠C=180 °
即
∠A+ ∠B+90°=180 °
66
11.3.2 多边形的内角和
思考：三角形的内角和是多少度？ 四边形的内角和多少度？ 你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和为360°吗？
D
C 4
3
2 1
A
B
类比上面的过程，你能推导出五边
67
形、六边形的内角和各是多少度吗？
五边形
六边形
从五边形一个顶点出发，可以作___2___对角线，它们将五边形分为__3____ 个三角形，五边形的内角和等于180°×___3____；
探究：n边形有几条对角线？
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
从同一顶点引出的对角线条数：
0
1
2
3
5
n边形共有对角线 n ( n 3 条) （n≥3） 2
n边形
n-3
61
你能说出这两个图形的异同点吗？
凸四边形
凹四边形
画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形 都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。 62
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 从△ ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，
垂足为D，所得线段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的高。 连结△ ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D，所得线段AD
叫做△ ABC 的边BC 上的中线。 画∠ A 的平分线AD ，交∠ A 所对的边BC 于点D，所得线段
A
c
b
B
C
15
a
阶段小结
11.1.1 三角形的边
II. 三角形的分类
锐角三角形 三角形 直角三角形
钝角三角形
三 边 都 不 相 等 的 三 角 形 三 角 形 等 腰 三 角 形 底 等 边 边 和 三 腰 角 不 形 相 等 的 等 腰 三 角 形
III. 三角形三边之间的大小关系
三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边
锐角； （4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60°。
44
课堂练习
45
课堂练习
46
阶段小结
1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 证明+应用
2、由三角形内角和定理，可得出： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一个三角形最多有一个直角或钝角，最少有两个锐角； （4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60°。
所以
B
∠A+ ∠B=90°
也就是说，直角三角形的两个锐角互余。
A
C
42
思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个 三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三 角形是直角三角形吗？说说理由。
有两个角互余的三角形是直角三角形
43
由三角形内角和定理，可得出： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一个三角形最多有一个直角或钝角，最少有两个
B
C
三角形的内角和等于180°
34
你能发现证明的思路吗？
35
已知△ ABC ，求证：∠ A+∠B+∠C=180°。
证明:过点A作线l，使 l∥BC.
Al
∵ l∥BC ∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
4 1
5
同理∠3=∠5
∵ ∠1， ∠4，∠5组成平角， ∴ ∠1+ ∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+ ∠2+∠3=180°（等量代换）
29
阶段小结 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 三角形的稳定性和四边形的不稳定性都在生产和生
活中都有广泛的应用。
30
本节小结
三角形相关概念及表示方法 三角形按边分类
三角形三边之间的关系
概念、画法、交点
31
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性
11.2与三角形有关的角
32
33
A
如何证明？
5
按照三个内角的大小分类
锐角三角形 三角形 直角三角形
钝角三角形
6
三边都相等的三角形叫做等边三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
A
顶角
A
腰
腰
B
CB
底角
C
B
底边
底角
A C
7
按边的相等关系分类
三 边 都 不 相 等 的 三 角 形 三 角 形 等 腰 三 角 形 底 等 边 边 和 三 腰 角 不 形 相 等 的 等 腰 三 角 形
x+2x+2x=18
为x ㎝，则腰长是
解得x=3.6
多少？
所以，三边长分别为3.6 ㎝， 7.2 ㎝， 7.2 ㎝。
11
例题 用一条长为18 ㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边长的2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 ㎝的等腰三角形吗？为什么？
（2）①如果长为4 ㎝的边为底边，设腰长为x ㎝，则
D A
E
B
C
13
课堂练习 2. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10.
14
阶段小结
11.1.1 三角形的边
I. 三角形及相关概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边。 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。
如果一个多边形由 n 边形。 （n ≥ 3）
n
条线段组成，那么这个多边形就叫做 59
A
顶点
B
边 对角线
C
A 内角 E
外角
B
CD
三组形三边角角成的角的，形的内形延叫相角角一长做邻叫。边线三两做与组角边三另成形所角一的的
外角。
D
F
➢多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 ➢多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 ➢连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线60。
3、三角形外角和 三角形外角和等于360°。
54
本节小结
与三角形 有关的角
内角和
定义 性质 外角和
55
11.3 多边形及其内角和
56
57
58
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形。
A B 2 _ _ _ _ _ ,B D _ _ _ _ _ ,A E 1_ _ _ _ _ . 2
(2)如图(2),AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则 ∠ 1 _ _ _ _ _ ,∠ 3 1 _ _ _ _ _ ,∠ A C B 2 _ _ _ _ _ . 2
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阶段小结
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否
都有这种关系？
A
70°
60°
B
C
如何证明？
D
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
50
A
已知：∠ACD 是△ABC的外角. 求证：∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
证明：在△ABC中
∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理)，
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∠ACB+∠ACD=180°（平角定义），
16
从△ ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线， 垂足为D，所得线段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的高。
A
高与垂线不同，高是
线段，垂线是直线。
B
C
D
17
从△ ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线， 垂足为D，所得线段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的高。
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三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
如图， 画∠ A 的平分线AD ，交∠ A 所对的边BC 于点 D，所得线段AD 叫做△ ABC的角平分线。
你能画出另两条角平
A
分线吗？
F
E
B
C
D
21
三角形的三条角平分线相交于一点。
课堂练习 填空: (1)如图(1),AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则
A
B
A CB CA B
移项
A BB CA C
C
B CA BA C B CA CA B
三角形两边的差小于第三边
10
例题 用一条长为18 ㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边长的2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 ㎝的等腰三角形吗？为什么？
解：（1）设底边长为x ㎝，则腰长2x ㎝等特。腰点三 ？角若形设有底什边么长
AD 叫做△ ABC的角平分线。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位 置规律。
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形 的内部。
锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三
条高的交点在直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三
角形的外部。
23
工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋 顶钢架，其中的道理是什么？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
63
课堂练习
在书21页画一画
64
课堂练习 2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五
边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们 将五边形分成几个三角形？
65
阶段小结
1.多边形的相关概念
在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成 的封闭图形叫做多边形。
盖房子时，在窗框未安装之前，
木工师傅常常先在窗框上斜钉 一根木条，为什么要这样做呢？
24
探究
扭动它，它的形状会改变吗?
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
25
三角形的稳定性有广泛的应用。
26
四边形的不稳定性也有广泛的应用。
27
课堂练习 1.下列图形中哪些具有稳定性？
28
课堂练习 2.要使下列木架不变形，分别至少要再钉上几根木条？
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
2.多边形的对角线条数
n边形共有对角线 n ( n 3 条) （n≥3） 2
3.多边形的分类
凸多边形 凹多边形
三边都不相 等腰三角形 等的三角形
等边三 角形
8
探究
任意画一个△ ABC，假设有一只小虫要从B 点出发， 沿三角形的边爬到C点。 （1）它有几种路线可以选择? （2）各条路线的长有什么关系?为什么？
A BA CB C
A
两点之间线段最短
A CB CA B
A BB CA CB
C
9
三角形两边的和大于第三边
A
B
D CB
A C(D) B
A
CD
18
你能画出另两条边上 的高吗？
三角形的三条高所在的直线相交于一点。
A
A
A
B
D CB
C(D) B
CD
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连接△ ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D，所得线 段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的中线。
你能画出另两条边上
A
的中线吗？
F
E
B
C
D
三角形的三条中线相交于一点。