《等比数列的性质》公开课课件
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11
等比数列的性质练习
1.在等比数列 an ，已知 a1 5, a9 a10 100 ，求 解：∵ a1a18 a9 a10
a9 a10 100 a18 20 a1 5
a18
b4 3 ，求该数列前七项之积。 2.在等比数列 bn 中，
解： b1b2b3b4b5b6b7 b1b7 b2b6 b3b5 b4
an a1 q n1 (a1 q 0)
an 的通项公式为
an am qnm (am q 0)
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
5
等比数列的性质
如果一个数列
a1 , a2 , a3 , …，an , …，
等比数列的性质
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a1 表示， …， 第2项用 a2 表示， 第n项用 an 表示，…， 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …， 简记作：
4
复习等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an 1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an
既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 由此可知，等比数列
an1 an d (是与n无关的数或式子）
Sn Sn
n（a1 an ) 2 n（n 1) na1 d 2
Sn
n（n 1) na n d 2
当公差d=0时，Sn na1 ， d 2 d , 当d≠0时， S n n (a1 )n 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.
3
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 当d≠0时，这是 an 关于n的一个一 an a1 (n 1)d 次函数。 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， ab 那么A叫做a与b的等差中项。 A 等差数列 an 的前n项和 2 等差数列 的通项公式为
所以an bn 是一个以
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 . 它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
q1q2 为公比的等比数列
9
等比数列的性质例题3
例3 已知 an 是等比数列，且 an 0 , a2 a4 2a3 a5 a4 a6 25
an
百度文库
2
复习数列的有关概念2
如果数列 an 的第n项 an 与n之间的关 系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
b4 b1b7 b2b6 b3b5
∴前七项之积
2
3 3 3
2 3
7
2187
12
等比数列的性质练习
3.在等比数列 an ，已知a2 2, 解：
m1
是等比数列，它的公比是q，若m+n=p+k，则那么 aman a p ak
am 由定义得：
a1 q
an a1 q n1
p1
a p a1 q
ak a1 q
k 1
am an a1 q
2
mn2
a p ak a1 q
2
p k 2
am an a p ak
a1 ，公比为 q1 的首项为 b1 ，公比为 q2 ，那么数列 an bn
证明：设数列
bn
an 的首项是
的第n项与第n+1项分别为：
n1
a1 q1
n1
b1 q2 与a1 q1 b1 q2
n
n1
n
n
即为a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
解：∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, 又 a ,1, c 成等比数列，∴ 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾， ∴ ac＝－1,
2 2
a c 1
2 2
a 2 c 2 (a c) 2 2ac 6
ac 1 2 2 3 a c
ac b
abc 3 a b c 3 3 ab b 2 bc ab bc ca 2 abc b ( ) 3 3 3 3
∴
a b c ab bc ca 3 , , abc 3 3
也成等比数列
8
等比数列的性质例题2 例2 已知
求证
an , bn 是项数相同的等比数列， an bn 是等比数列.
6
判断等比数列的方法
定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an
中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
7
等比数列的性质例题1
例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： a b c , ab bc ca , 3 abc 也成等比数列。 3 3 2 解：证明：由题设 得：
求 a3 a5 解：∵ ∴ ∴ ∴
an
2
是等比数列，an 0 , a2 a4 2a3 a5 a4 a6 25
2
a3 2a3a5 a5 25
(a3 a5 )2 25
a3 a5 5
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等比数列的性质例题4
例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列， a 2 ,1, c 2 成等比数列， ac 求 a2 c2
等比数列的性质练习
1.在等比数列 an ，已知 a1 5, a9 a10 100 ，求 解：∵ a1a18 a9 a10
a9 a10 100 a18 20 a1 5
a18
b4 3 ，求该数列前七项之积。 2.在等比数列 bn 中，
解： b1b2b3b4b5b6b7 b1b7 b2b6 b3b5 b4
an a1 q n1 (a1 q 0)
an 的通项公式为
an am qnm (am q 0)
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
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等比数列的性质
如果一个数列
a1 , a2 , a3 , …，an , …，
等比数列的性质
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a1 表示， …， 第2项用 a2 表示， 第n项用 an 表示，…， 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …， 简记作：
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复习等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an 1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an
既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 由此可知，等比数列
an1 an d (是与n无关的数或式子）
Sn Sn
n（a1 an ) 2 n（n 1) na1 d 2
Sn
n（n 1) na n d 2
当公差d=0时，Sn na1 ， d 2 d , 当d≠0时， S n n (a1 )n 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.
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复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 当d≠0时，这是 an 关于n的一个一 an a1 (n 1)d 次函数。 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， ab 那么A叫做a与b的等差中项。 A 等差数列 an 的前n项和 2 等差数列 的通项公式为
所以an bn 是一个以
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 . 它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
q1q2 为公比的等比数列
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等比数列的性质例题3
例3 已知 an 是等比数列，且 an 0 , a2 a4 2a3 a5 a4 a6 25
an
百度文库
2
复习数列的有关概念2
如果数列 an 的第n项 an 与n之间的关 系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
b4 b1b7 b2b6 b3b5
∴前七项之积
2
3 3 3
2 3
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2187
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等比数列的性质练习
3.在等比数列 an ，已知a2 2, 解：
m1
是等比数列，它的公比是q，若m+n=p+k，则那么 aman a p ak
am 由定义得：
a1 q
an a1 q n1
p1
a p a1 q
ak a1 q
k 1
am an a1 q
2
mn2
a p ak a1 q
2
p k 2
am an a p ak
a1 ，公比为 q1 的首项为 b1 ，公比为 q2 ，那么数列 an bn
证明：设数列
bn
an 的首项是
的第n项与第n+1项分别为：
n1
a1 q1
n1
b1 q2 与a1 q1 b1 q2
n
n1
n
n
即为a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
解：∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, 又 a ,1, c 成等比数列，∴ 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾， ∴ ac＝－1,
2 2
a c 1
2 2
a 2 c 2 (a c) 2 2ac 6
ac 1 2 2 3 a c
ac b
abc 3 a b c 3 3 ab b 2 bc ab bc ca 2 abc b ( ) 3 3 3 3
∴
a b c ab bc ca 3 , , abc 3 3
也成等比数列
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等比数列的性质例题2 例2 已知
求证
an , bn 是项数相同的等比数列， an bn 是等比数列.
6
判断等比数列的方法
定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an
中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
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等比数列的性质例题1
例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： a b c , ab bc ca , 3 abc 也成等比数列。 3 3 2 解：证明：由题设 得：
求 a3 a5 解：∵ ∴ ∴ ∴
an
2
是等比数列，an 0 , a2 a4 2a3 a5 a4 a6 25
2
a3 2a3a5 a5 25
(a3 a5 )2 25
a3 a5 5
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等比数列的性质例题4
例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列， a 2 ,1, c 2 成等比数列， ac 求 a2 c2