二次函数图像中的信息
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经典题型
题型1 从二次函数的图像中获取信息
神归纳:
1、根的判别式:△=ac b 42-
△0>,一元二次方程有2个不相等的实数根,二次函数图像与x 轴有两个交点。
△0=,一元二次方程有2个相等的实数根,二次函数图像与x 轴有一个交点。
△0<.一元二次方程没有实数根,二次函数图像与x 轴没有交点。
二次函数的对称轴与顶点坐标:对称轴:a
b x 2-=,顶点坐标:)44,2(2a b a
c a b -- a 决定二次函数图像的开口:0>a ,图像开口向上,a 0<,图像开口向下。
c 决定二次函数图像与纵坐标的交点:0>c ,与y 轴上半轴相交,0=c ,与原点相交,0<c ,与y 轴下半轴相交。
记做几组特殊值:1=x 时,c b a y ++= 或 1-=x 时,c b a y +-=
2=x 时,c b a y ++=24或2-=x 时,c b a y +-=24
3=x 时,c b a y ++=39或3-=x 时,c b a y +-=39
二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 二次项系数a
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中,a 作为二次项系数,显然a ≠0.
⑴ 当a 0>时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;
⑵ 当a 0<时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.
(2)一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在a 0>的前提下,
当0>b 时,02<-
a
b ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0=b 时,02=-a b ,即抛物线的对称轴就是y 轴;
当0<b 时,02>-a
b ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在a 0<的前提下,结论刚好与上述相反,即
当b 0>时,02>-
a
b ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当b 0=时,02=-a
b ,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当b 0<时,02<-a b ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴a
b x 2-=在y 轴左边则ab 0>,在y 轴的右侧则ab 0<, 概括的说就是“左同右异”
总结:
(3) 常数项c
⑴ 当c 0>时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当c =0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;
⑶ 当c 0<时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
总之,只要a 、b 、c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图,给出下列四个结论:①042>-ac b ;②024<+-c b a ;③02=-b a ;④)1(2-≠-<+m b a bm am ,其中正确结论的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图,给出下列四个结论:
①042<-b ac ; ②b c a 24<+; ③023<+c b ; ④)1()(-≠<++m a b b am m ,
其中正确结论的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,给出下列四个结论:
①042<-b ac ; ②当2-<x 时,y 随x 的减小而减小; ③0<c ; ④a b 2=.
其中正确结论的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2、已知:如图,关于x 的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为直线1=x ,点B 坐标为)0,1(-.则下面的四个结论:①02=+b a ;②024<+-c b a ;③0>ac ;④1=x 是关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根.其中正确的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3、如图,二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点B 坐标)0,1(-,且对称轴是1=x .下面的四个结论:①3=OA ;②0<++c b a ;③0>ac ;④042>-ac b .
其中正确的结论是( )。
4、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴为直线1=x ,则下列结论:
①024<++c b a ;②方程02=++c bx ax 两根之和小于零;③当1≥x 时,y 随x 的增大而增大;④0>abc . 其中正确的是哪几个___________.
5、如图,二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象开口向上,对称轴为直线1=x ,且图象经过点)0,3(,下列结论中,正确的是
①0>+-c b a ;②02<+b a ;③03=+c a ;④042<-b ac ;⑤025<++c b a .
6、如图,二次函数)0(2>++=a c bx ax y 图象的顶点为D ,其图象与x 轴的交点为A 、B ,对称轴为直线1=x ,与y 轴负半轴交于点C ,且2>=OC OB ,下面五个结论:①0<bc ;②024>++c b a ;③02=+b a ;④一元二次方程22-=++c bx ax 必有两个不相等的实数根;⑤21-=+c a
.那么,其中正确的结论是_____。
7、如图,二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象开口向上,对称轴为直线1=x ,图象经过(3,0),下列结论:①0>abc ,②0=+-c b a ,③02<+b a ,④042<-ac b ,其中正确的有哪几个________。
8、如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的一部分,图象过点A (3,0),且对称轴为1=x ,给出下列四个结论:①042>-ac b ;②0<bc ;③02=+b a ;④0=++c b a ,其中正确结论的序号是______
9、如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的一部分,它经过点A (3,0),对称轴是1=x ,给出四个结论:①02=+b a ;②024>++c b a ;③0<bc ;④0=+-c b a .其中正确结论有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
10、如图,是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的一部分,对称轴是直线1=x .
①ac b 42>;②024<+-c b a ;③不等式02>++c bx ax 的解集是x ≥3.5;
④若(-2,1y ),(5,2y )是抛物线上的两点,则1y <2y .上述四个判断中正确的是________.
10、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的x 、y 的部分对应值如下表:
下列结论中正确的有( )个
①a >0;②抛物线的对称轴是直线2
3=x ;③不等式012<-++c bx ax 的解集是30<<x ;④1是方程0)1(2=+++c x b ax 的根.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
11、如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的一部分,直线1-=x 是对称轴,有下列判断:①a b 2=;②024<+-c b a ;③a c b a 9-=+-;④若(-3,1y ),(
2
3,2y )是抛物线上两点,则21y y >, 其中正确的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
12、如图所示的抛物线是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象,则下列结论:①02=+a b ;②抛物线与x 轴的另一个交点为(4,0);③b c a >+;④若(-1,1y ),(
2
7,2y )是抛物线上的两点,则21y y <。
其中正确的结论有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
13、如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的一部分,对称轴x=1,给出四个结论:
①0>abc ;②02=+b a ;③ac b 42>;④0<+-c b a .其中正确结论个数是( )
A.0个
B.3个
C.2个
D.1个
14、如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为直线1-=x ,给出四个结论:①ac b 42>;②02=+b a ;③0=++c b a ;④b a <5.
其中正确的个数有( )
A.0个
B.3个
C.2个
D.1个
②02=+b a ;③042<-ac b ;④024>++c b a ;⑤c b 23<,其中正确的是______。
16、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示.对称轴为直线1=x ,给出下列结论:①0<abc ;②02=+b a ;③0<+-c b a ;④039>++c b a .其中正确的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
17、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴是直线1=x .下列结论:①0>abc ;②02=+b a ;③042<-ac b ;④024>++c b a .其中正确的有哪几个_______。
02=+b a ,③042<-ac b ,④2=x 与0=x 时的函数值相等.其中正确的结论有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
19、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,给出的下列结论:①ac b 42-0>;②02<+b a ;③024=+-c b a ;④c b 23=;其中正确的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
20.对于二次函数x x y 22+-=.有下列四个结论:①它的对称轴是直线1=x ;②设12112x x y +-=,
22222x x y +-=,
则当12x x >时,有12y y >;③它的图象与x 轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当20<<x 时,0>y .其中正确的结论的个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
21. 如图,抛物线122+++-=m x x y 交x 轴于点A (a ,0)和B (B ,0),交y 轴于点C ,抛物线的顶点为D .下列四个判断:①当0>x 时,0>y ;②若1-=a ,则4=b ;③抛物线上有两点P (1x ,1y )和Q (2x ,2y ),若211x x <<,且221>+x x ,则21y y >;④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ,点G ,F 分别在x 轴和y 轴上,当2=m 时,四边形EDFG 周长的最小值为26,其中正确判断的有哪些_______
22. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,下列说法:①02=+b a ,②当31≤≤-x 时,0<y ,③若),(11y x 、),(22y x 在函数图象上,当21x x <时,21y y <,④039=++c b a ,其中正确的是( )
A.①②④
B.①④
C.①②③
D.③④
23.如图是抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 图象的一部分,抛物线的顶点坐标A (1,3),与x 轴的一个交点
B (4,0)
,直线)0(2≠+=m n mx y 与抛物线交于A ,B 两点,下列结论: ①02=+b a ; ②0>abc ; ③方程32=++c bx ax 有两个相等的实数根;
④抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当41<<x 时,有12y y <, 其中正确的有_______
24.已知二次函数22+++=c bx ax y 的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结论:①0<abc ;②042=-ac b ;③2>a ;④024>+-c b a .其中正确结论的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
25.如图,已知抛物线c bc ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点,顶点C 的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线1121c x b x a y ++=,则下列结论正确的是_______.(写出所有正确结论的序号) ①0>b ; ②0<+-c b a ; ③阴影部分的面积为4; ④若1-=c ,则a b 42=.。