电磁场镜像法

R
q
P
R
q q ( ) 4 0 R R 1
q
问题：d ? q ? 方法：利用导体球面上电位为零确定 d 和q′。
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解 P a a d' R' q' d R
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令r＝a，由球面上电位为零，
即 ＝0，得 q q =0 R R
S r
r a
q(d 2 a 2 ) 4 a(a 2 d 2 2ad cos )3 2
导体球面上的总感应电荷为
q(d 2 a 2 ) 2 a 2 sin d d a qin S dS q 2 2 3 2 S 0 0 (a d 2ad cos ) 4 a d
场力来源于导体板上的感应电荷。可以先
求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。 由镜像法，感应电荷的电场可以
x q
用像电荷q‘＝－q 替代。当电荷q 移至
x时，像电荷q'应位于－x，则有
0 =∞
d -d q'
q 2 We qE ( x) dx d 4 0 2 q Wo We 16 0 d
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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球外的电位函数为
q 1 a 4 r 2 d 2 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos (r a )
球面上的感应电荷面密度为
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导体平面上总感应电 荷等于镜像电荷！
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
l 2 x, z h , z 0; 原问题 z 0, 0 ,
镜像线电荷： l
电位函数
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
非均匀感应电荷
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
S r
r a
q(a 2 d 2 ) 4 a(a 2 d 2 2ad cos )3 2
导体球面的内表面上上的总感应电荷为
q(a 2 d 2 ) 2 a 2 sin d d qin S dS q 2 2 32 S 0 0 4 a (a d 2ad cos )
5
4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定 像电荷的个数、位臵及其电量大小——“三要素” ； 等效求解的“有效场域”。
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 像电荷的个数、位臵及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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q
该如何分析？
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解 P r a O d R q
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2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
点电荷q 位于一个半径为a 的不
接地导体球外，距球心为d 。
导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面；
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q
q 该如何分析？
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2. 点电荷对接地空心导体球壳的镜像
如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q
位于球壳内，与球心相距为d ( d < a )。
由于球壳接地，感应电荷分布在 球壳的内表面上。镜像电荷q 应位于 导体空腔外，且在点电荷q与球心的
2
3.8.1 镜像法的基本原理 1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会 出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分 布。 几个实例
非均匀感应面电荷
q
接地导体板附近有
一个点电荷 ，如图所 示。
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代
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显然可将感应电荷的作用用位于－h的像电荷q′＝－q替代。 z z P q
有效区域

=∞
h
x


q h O -h
R
R′
x
q′ 考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于 z<0 区域，原方 程不变，且有
q 1 1 因为 z 0 z 0 0 4 R R 结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解。
a q q q，d 0 a 球外任意点的电位为
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球壳内的电位
q 1 a 4 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos (r a)
感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为
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上半空间( z≥0 ）的电位函数
q 1 1 ( x, y , z ) [ ] 2 2 2 2 2 2 4 x y ( z h) x y ( z h)
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
q
6个电荷两两成对地分别构 成两个平面（包括平面的延伸 部分）的镜像关系，缺一不可
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例3.8.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移 至无穷远处，需要做多少功？ 解 ： 移动电荷 q 时，外力需要克服电场力做功，而电荷 q 受的电
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
3.8
镜像法
3.8.1 镜像法的基本原理 3.8.2 接地导体平面的镜像
3.8.3 导体球面的镜像
3.8.4 导体圆柱面的镜像 3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.8.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像
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有效区域
l
l , h h
h
R
R
l R ln ( z 0) 2 R
h
l
当z=0时， r r
0
满足原问题的边界条件，所得的解正确。
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3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。 只有在(－d1, －d2 )处再设臵一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 q1 1 d1 R1
可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。
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用计算机模拟的，接地空心导体球壳中有一个点电荷 q时， 球内空间的电位、电场分布图
由图可知，点电荷 q 在内球面将产生电量为 －q的非均匀感应电荷 感应电荷的总量不等 于镜像电荷，也就是说， 用镜像电荷替代感应电 荷，只是作用上的等效
R q = =常数 R q
q
此式应在整个球面上都成立。
条件：若 oqP
oqP
a2 d d
R d a 常数 R a d
像电荷的位臵 像电荷的电量
镜像电荷小于原电荷！
q q R a 0 q q q R R R d a 1 q q d

q E ( x) e x 4 0 (2 x) 2


d
1 q2 dx 2 (2 x) 16 0 d
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3.8.3 导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像 如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。 球面上的感应电荷可用镜像电荷 q'来等效。q'应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d'。则有 r a d' R' q' d
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如果两导体平面不是相互垂直、而是相交成一定角 度，只要 / n (n为整数)，就可以用镜像法求解， 镜像电荷数为(2n-1)。
当夹角为60°的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电 荷q时，镜像电荷的位臵示意图
由图可知，点电荷 q 共有 5 个像电荷
球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。 采用叠加原理来确定镜像电荷 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为 q'的感应电 荷分布，则 a a2 q q, d d d
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然后断开接地线，并将电荷－q‘加于导体球上，从而使总电 荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷－q’ 应均匀分布 在导体球面上，可用一个位于球心的镜像电荷q"来替代，即
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3.5.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 原问题 2 q x , y, z h , z 0; z 0, 0

计算机模拟的接地导体板附近 有一个点电荷时的电场分布图
z q

h
x
=∞
由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直 导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应 电荷共同作用的结果。
可见，导体球面上的总感应电荷也与所设臵的镜像电荷相等。
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用计算机模拟的，接地导体球旁有一个点电荷 q时，空间 的电位、电场分布图
由图可知，点电荷 q 产 生的电力线只有一部分 终止在导体球上，另一 部分延伸至无穷远。所 以 q q
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2. 镜像法的原理 方法： 在求解域外设臵等效电荷，集中代表边界上分布电
荷的作用
目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题 3. 镜像法的理论基础 —— 解的惟一性定理
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z 0
qh 2 ( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2 ( x 2 y 2 h2 )3 2
qh 2 d d q 2 2 32 0 0 2 ( h )
d1
R
q d2
d2
d2 q3
2
R3 R2 d1 d2 q2
1 1 1 1 ( ) 电位函数 4 R R1 R2 R3
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q
d1
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1
d1 q d 60° 2
1 d1 2
75°
q d2
2
1
q d1
120°
d2
2
可得出什么结论？
b
a a o
r
d
R q
R'
q'
连线的延长线上。与点荷位于接地导
体球外同样的分析，可得到
d'
a q q , d
a2 d d
1 q q ( ) (r a) 4π R R
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位臵和电量与外半径 b 无关（为什么？）