火车弯道缓和曲线模型

火车弯道缓和曲线模型

摘要

火车行驶过程中会不可避免的遇到弯道问题，我们可以根据物理上的方程

sin tan l h

mg

mg mg F =≈=αα，火车m 很大，v 大多数情况也会超过100km/h ，故F 是一个很大的值，同时，m ，v 不变的情况下，R 的增长虽然使F 降低，但在现实生活中，R 不可能无限扩大，按照我国规定，R 一般稳定在4000m 以内，故为了降低F ，需抬高外轨，来平衡离心力。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F ，外轨超高也从零逐渐增大到h 。所加曲线称为缓和曲线。

问题一我们求的是变速前后的缓和曲线，显而易见，在半径、时速和缓和曲线长度都为定值的条件下， 我们可以直接通过方程求解得出缓和曲线的方程。根据以上要求，我们先建立回旋线模型。

问题二，车速由120km/h 提速到200km/h ，而外轨超高不改变，这就是说为了平衡离心力，我们必须扩大转弯半径，同时，缓和曲线也一并延长。和第一题相同，我们仍采用回旋线模型。

对于问题三，由于外轨超高的改变，所以转弯半径和外轨超高成为不确定值， 在此，我们先定义欠超高/过超高，即实际中内外轨不受压力时的高度与速度恒定对应的高度的差值，然后假设火车的速度v 为一个误差在5%的值，可得R 、k ， 然后通过matlab 软件进行模拟，以求出最优解。综合考虑了内外轨受压程度和曲线长度，由已知的0θ值和0h 处超高差和欠高差均值与曲线长度的方程。并设定权数，找出两个方程“权值和”最小时的k ，从而使内外轨受压程度和曲线长度都得到优化，使其更符合实际情况。

在我们建立的模型中，我们假设火车的运行速度、转弯半径、外轨超高和缓和曲线是影响列车安全运行的主要因素。经过分析可得到列车在过弯道时安全系数与外轨超高、缓和曲线及列车速度有关的表达式，及弯道设计和列车安全运行有关因素之间的关系。

一．问题重述、

火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到F，会损坏线路和车辆，并使乘车人感到不适，甚至发生危险。为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线称为缓和曲线。

二．问题分析

火车的过弯道受各方面因素的限制，运行速度、转弯半径、外轨超高和缓和曲线是影响列车安全运行的主要因素。火车过弯道时的安全性受外轨超高、转弯半径、速度、缓和曲线、等因素的影响，超高差和欠高差越小，内外轨受压越小，故我们的目标是超高差与欠高差最小。我们在这里要凸显主要因素，忽略次要因素，对弯道中缓和曲线的设计进行分析。

因此，对这些因素进行分析和研究是很有意义的。

三．模型假设

；

1、假设该弯道地处平原，没有火车的爬坡和下坡过程；

2、假设当火车弯道半径大于350m 时，转弯轨道宽度不变化；

3、假设弯道最大半径不超过4000m。

四．主要符号说明

R——为曲线半径（m）；

l——内外钢轨中心距（mm）；

F 、N ——为轨道对列车的作用力（N）；

h

——未被平衡的超高（mm）;

h——标准超高（mm）；

m ax h ——最大超高（mm ）；

2h ∆——最大欠超高（mm ）；

1h ∆——最大过超高（mm ）

v ——火车运行的速度（m/s ）；

0v ——火车运行的理想速度（m/s ）；

θ ——弯道倾角； k ——回旋线定值；

g ——为标准自由落体加速度；

五、问题分析

问题一分析：

问题一属于解析几何的问题，对于解决此类问题，我们根据计算分析，采用回旋线模型。

在R

v m l h mg 2

0=中，g v l 20为定值的条件下，h 与R 成反比。

在根据假如缓和曲线所上升的高与转弯总的缓和长度成正比，则可得出：

0s h s h = h ∈],0[0h s ]200,0[∈ ① 可知在v 不变情况下，s 与R 成反比。可设1k R s =⋅ ② 即所求为回旋线。

由几何约束知⎰=θ

θθθ0

)()(d r s

即为

)(θθ

R d ds

= ③ 由②③积分可得，θ12k s = ④ θθ

22221

11k k k R ==

⑤ 其中2180000400200m k =⋅=

由Rg v l h 20=和⑤式可得 0

0202R s g v l h θ

⋅

= 我们将以上的回旋线方程转化成直角坐标下的方程：

θθ

θsin 2sin k

R x =

= )cos 1(2)cos 1(θθ

θ-=

-=k

r y 得2

tan sin cos 1θθθ=-=x y

即x

y arctan 2=θ

x x y x y

x

y

k =+⋅⋅2212arctan

212

即

1arctan 2

2=+⋅y x y

k θ 222arctan

2)(ky x

y

y x =+