中考压轴题解题策略

中考第二轮复习“中考压轴题”专题讲解
一、内容简述
中考压轴题，也就是第25题，很多同学都认为是非常难的，在平时的训练中就有很多学生放弃了.但是实际上这道问题也是有方法可寻的，在本期复习中对于25题进行了归类和给出了相应的解题策略，希望能够帮助同学们一起来克服对于压轴题的恐惧心理，并帮助同学们找到解决此题的方式方法，从而来提高同学们的自信心.
二、真题再现
下面是近几年上海中考卷中的第25题.我们先一起来分析一下.
例1 （2010年上海中考第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，联结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，联结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若tan∠BPD=1
3
，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图1 图2（备用）图3（备用）分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；
（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证
△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；
（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．
解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°.
∵AD=AE，∴∠AED＝60°=∠CEP，∴∠EPC＝30°.
∴△BDP为等腰三角形.
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1.
∴在Rt △ECP 中，EC=12EP=12
; （2）如图4，过点D 作D Q ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x.
∵AE=1，EC=2，∴QC=3-a.
∵∠ACB ＝90°，∴△ADQ 与△ABC 相似. ∴AD AQ AB AC =，即113a x =+，∴31
a x =+. ∵在Rt △ADQ 中，2
222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭
. ∵
DQ AD BC AB
=，∴228111x x x x x +-+=+， 解得x=4，即BC=4.
过点C 作CF//DP ，∴△ADE 与△AFC 相似， ∴AE AD AC AF
=，即AF=AC ，∴DF=EC=2，∴BF=DF=2. ∵△BFC 与△BDP 相似，∴
2142BF BC BD BP ===，即BC=CP=4. ∴tan ∠BPD=2142
EC CP ==；
图4
（3）∵D Q ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似，设AQ=a ，则QE=1-a. ∴
QE DQ EC CP =且tan ∠BPD=13
，∴DQ=3（1-a ）. ∵在Rt △ADQ 中，根据勾股定理，得AD 2=AQ 2+DQ 2， 即12=a 2+［3（1-a ）］2，解得a=1（舍去）或a=45
. ∵△ADQ 与△ABC 相似,∴4
45155AD DQ AQ AB BC AC x x
====++， ∴5533,44
x x AB BC ++==. ∴三角形ABC 的周长y=AB+BC +AC=
553344
x x ++++1+x=3+3x. 即y=3+3x ，其中
x>0
注：2011年上海中考第25题，在12期“分类讨论”专题讲解中已经讲过，这里我们不在重复.
（2012年中考25题）如图5，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB 上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
图5
分析：（1）由OD⊥BC，根据垂径定理，可得出BD=1
2
BC=
1
2
，在Rt△BOD中利用勾股定
理即可求出OD的长；
（2）联结AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据
三角形中位线定理可得出DE=1
2
AB=；
（3）由BD=x，可知OD=.由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°.过D 作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，即可求得y关于x的函数关系式.
解：（1）∵OD⊥BC，∴BD=BC=，
∴OD==；
（2）如图6，存在，DE是不变的．
联结AB，则AB==2.
∵D和E是中点，
∴DE=AB=；
图6
（3）如图7，∵BD=x，∴OD=.
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°.
过D作DF⊥OE．
∴DF=，EF=x，
∴y=DF•OE=（0＜x＜）．
图7
大家看了上面这些问题后，可能会觉得压轴题确实是比较有难度的，那么接下来就请同学们看看后面的解题策略吧，希望对同学们解压轴题有所帮助.
三、解题策略
一般来说，中考压轴题都是几何的动态问题，而动态问题比较经典的三个问题：（1）求解一个不变的量（线段相等、角相等、线段之间的数量关系等等）；（2）建立函数关系（某两条线段之间的函数关系、涉及到图形面积周长的函数关系、某些角之间的函数关系等等）；（3）点在移动过程中产生了一种特殊的情况（相似三角形、等腰三角形、圆与直线相切、圆与圆相切等等.），然后去求解某条线段长度或者某个量.要想解决压轴题，首先我们要学会如何去对待动态问题.在这里，我给出了一定的思考方向.
动态问题的解题策略：
第一：读题（结合图形）并在图上标记已知条件及简单可推出的结论.
第二：动态问题中肯定有动点，所以一定要先找到动点及由已知动点产生的其他动点并要注意的是这些动点的移动范围（比如说直线AB、射线OP、线段CD、边AB等），可以在图中把一些涉及到直线的线段补成直线（两头延长一点），同样射线也可以补出一段.不要
小看这一点，这一点是决定了函数解析式的定义域哦.
第三：画图.一般题目中给你的图是一种特殊情况，也是同学们比较能够接受的一种情况，但是由于题目中动点移动的范围可能导致另外一种或者多种情况，所以你必须要把动点移动的过程中其他的情况也要画出来，不然最后小问的多解情况你就遗漏哦.在你画图的过程中，你会发现不同的图之间会有一种特殊情况（两种情况同时成立），而这种情况下的x 的值就是两种情况的定义域的分界值，这一点你也要注意，要把这个分界值求出来.
当你完成了上面这三步工作后，你大致地对题目已经做到心中有数了，接下来就是如何去做题了，一般动态问题中第一小问的难度不会很难，我们主要来讲讲下面两个小问吧.第二小问一般是建立函数关系式（就是在几何背景下找等量关系），此题是关键性问题，因为本题如果没有解决，直接会影响到第三问的解答.所以在下面的复习中专门有建立函数关系这个内容来帮助大家解决这个困难.第三小问主要是在动点移动过程中所产生的某一种特殊情况，我们主要以相似三角形为例来谈解题的具体方法.
首先我们来研究压轴题中的建立函数关系问题.
例1 如图1，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，AC =4，∠BOD =∠A ，OB 与⊙O 相交于点E ，设OA =x ，CD =y ．
（3）求BD 长；
（4）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（5）当CE ⊥OD 时，求AO 的长．
分析：（1）利用相似三角形的性质可以建立等量关系求出BD ；
（2）利用已求的相似三角形得到对应角相等，再得到另外一对相似三角形，利用相似三角形的相似比来建立函数关系式；
（3）通过垂直三线合一得到等角，通过等角对等边建立等量关系.
解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OAC =∠ODB ．
∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴
AC OD OC BD =， ∵OC =OD =6，AC =4，∴4
66=BD ，∴BD=9； （2）∵△OBD ∽△AOC ，∴∠AOC =∠B ．
又∵∠A =∠A ，∴△ACO ∽△AOB ．∴AC
AO AO AB =. ∵AB=AC+CD+BD=y+13，∴4
13x x y =+， O A C D
B E 图1
∴y关于x的函数解析式为y=1
4
x2-13，定义域为213<x<10；
（3）∵OC=OE，CE⊥OD，∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO，∴y+4=x，∴1
4
x2-13+4=x．
∴x=2+210（负值不符合题意，舍去）．∴AO =2+210．
例2 已知：如图2，半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上的一点，过线段OP的中点B作垂线交⊙O于点C，射线PC交⊙O于点D，联结OD．
（1）若=
AC CD，求弦CD的长；
（2）若点C在AD上时，设PA=x，CD =y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF =1时，请直接写出tan ∠P的值．
分析：（1）通过等弦得到圆心角相等，再得到相似三角形建立等量关系；
（2）通过相似三角形的相似比来建立等量关系；
（3）D的位置需要分类讨论.
解：（1）联结OC，当AC=CD时，有∠DOC=∠POC.
∵BC垂直平分OP，∴PC=OC=4，∴∠P=∠POC=∠DOC，
∴△DOC∽△DPO，∴DO DC DP DO
=.
设CD=y，则16=（y+4）y，解得y=2-25. 即CD 的长为252
-；
（2）作OE⊥CD，垂足为E.可得CE=DE=1
2 y.
∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，∴△PBC∽△PEO，
∴PB PC
PE PO
=，∴
4
4
2
4
4
2
x
y x
+
=
+
+
，∴
2816
4
x x
y
+-
=（42-4<x<4）；
（3）若点D 在AC外时，tan∠P=
15
5 OE
PE
=；
若点D在AC上时，tan∠P=
15
3 OE
PE
=.
C A O
P D B E
图2 图3
例3 如图3，已知在△ABC 中，AB=4，BC=2，以点B 为圆心，线段BC 长为半径的弧交边AC 于点D ，且∠DBC=∠BAC ，P 是边BC 延长线上一点，过点P 作PQ ⊥BP ，交线段BD 的延长线于点Q ．设CP=x ，DQ=y ．
（1）求CD 的长；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ =2∠BAC 时，求CP 的值．
分析：（1）通过相似三角形的相似比来建立等量关系；
（2）构造平行线得到比例式建立等量关系；（需要添设辅助线，难度稍微有些大）
（3）通过角与角之间的转化，最后利用解斜三角形的方法来求解.
解：（1）∵∠DBC =∠BAC ，∠BCD =∠ACB ，∴△BDC ∽△ABC ．
∴
AB
BC BD CD =．∵AB=4，BC=BD=2，∴CD=1； （2）∵BC =BD ，∴∠BCD =∠BDC ．
∵∠DBC =∠BAC ，∠BCD =∠ACB ，∴∠ABC =∠BDC ．
∴∠ABC =∠ACB ．∴AC =AB =4．
作AH ⊥BC 于H ．∴BH =CH =1．
作DE ⊥BC 于E ，则DE ∥AH ． ∴CA
CD CH CE =，即411=CE ． ∴CE=14，47=BE ． 又∵DE ∥PQ ，∴BE EP BD DQ =，即47
412+=x y ．
整理，得7
278+=
x y ，定义域为x >0； （3）∵∠DBC +∠DCB =∠DAQ +∠DQA ，∠DCB =∠ABD +∠DBC ，
∴2∠DBC +∠ABD =∠DAQ +∠DQA ．
∵∠DAQ =2∠BAC ，∠BAC =∠DBC ，
∴∠ABD =∠DQA ．∴AQ =AB =4．
作AF ⊥BQ 于点F ，可得QF=22y +，DF=22
y -．
∴2222)22(4)22(
3+-=--y y ．解得y=72
． ∴277278=+x ．解得x=4516，即CP=4516.
最后我们来研究压轴题中的相似三角形的问题.
例1 如图1，△ABC 中，AB=BC=5，AC=6，过点A 作AD ∥BC ，点P 、Q 分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且AP=BQ ，过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于点O ，联结PQ ，设△POQ 的面积为y ，AP=x ．
（1）用x 的代数式表示PO ；
（2）求y 与x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）联接QE ，若△PQE 与△POQ 相似，求AP 的长．
图1
分析：（1）通过平行四边形的对边平行得到比例式，建立等量关系；
（2）由相似三角形的相似比建立函数关系式；
（3）通过对问题的分析，可以知道相似的情况只有一种，利用相似比得到数量关系从而求解.
解：（1） ∵AD ∥BC ，PE ∥AC ，
∴四边形APEC 是平行四边形.
∴A C ∥EC ，AC =PE =6 ，AP =EC =x ∴PA PO BE OE =，即556PO x PO
=--，解得PO=65x ； （2）∵AB =BC =5，
∴∠BAC =∠BCA .
又∠APE =∠BCA ，∠AOP =∠BCA ，
∴∠APE =∠AOP ，∴AP =AO =x.
∴当0<x<52
时，OQ=5-2x. 如图2，作BF ⊥AC ，QH ⊥PE ，垂足分别为点F 、H ， B
P
D Q
C A O E
则易得AF =CF =3，A B=5，BF =4.
由∠OHQ =∠AFB =90°，∠QOH =∠BAF ，得△OHQ ∽△AFB . ∴QH OQ BF AB =，∴5245
QH x -=， ∴()4528455
x QH x -==-+. 所以y 与x 的函数关系式是22412255y x x =-
+（0<x<52）；
图2
（3） 当0<x<52时，可得OH=3-65
x . 于是得PH=3，QH=4-85x ，∴PQ=228345x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭. 由于∠QPO =∠EPQ ，∴若△PQE 与△POQ 相似，
只有△PQE ∽△POQ ，∴PQ 2
=PO ·PE ， 即32
+（4-85x ）2=65
x ×6， 解得x 1=2516，x 1=254
（不合题意，舍去）. ∴若△PQE 与△POQ 相似，AP 的长为2516.
例2 如图2，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB =90º，点C 是AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC =x ，BD =y ．
（1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（2） 如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD =3
1OB 时，求⊙O 1的半径；
（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要B
P D
Q C A O E F H
B D
C A O 图3
说明理由
分析：（1）通过相似三角形的相似比建立函数关系式；
（2）O 1的位置需要分类讨论；
（3）首先需要从相似入手得到C 为AB 的中点时，再通过证明两角相等得到相似. 解：（1）过⊙O 的圆心作OE ⊥AC ，垂足为E .
∴AE =x AC 2
121=， OE =2224125x AE AO -
=-． ∵∠DEO =∠AOB =90º，
∴∠D =90º–∠EOD =∠AOE ，∴△ODE ∽△AOE . ∴
AE AO OE OD =.∵OD =y+5， ∴254
12552x x y =-+． ∴y 关于x 的函数解析式为x
x x y 510052--=， 定义域为0<x<52；
（2）当BD =31OB 时，y=53
， ∴x
x x 51005352--=，解得x=6． ∴AE =12
x =3，OE =2253-=4． 当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE-OO 1=2， O 1A=222212313O E AE +=+=．
当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6.
O 1A=22
2216335O E AE +=
+=．
∴⊙O 1的半径为13或53；
（3）存在.当点C 为AB 的中点时，△DCB ∽△DOC ． 证明如下：∵当点C 为AB 的中点时，∠BOC=∠AOC=2
1
∠AOB=45º. 又∵OA=OC=OB ，∴∠OCA=∠OCB =
︒=︒
-5.672
45180， ∴∠DCB =180º–∠OCA –∠OCB=45º．
∴∠DCB =∠BOC ．又∵∠D =∠D ，∴△DCB ∽△DOC ． ∴存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ．
同步训练:
1．如图1，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A ．联结MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1处，直线M B 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ．． （1）当∠CMF =120°时，求BM 的长；
（2）设BM=x ，CMF y ANF ∆=∆的周长
的周长
，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）联结NO ，与AC 边交于点E ，当△FMC ∽△AEO 时，求BM 的长．
图1
2．梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =α（0°<α<90°），AB =DC =3，BC =5．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且∠APE =α．记∠P AB =∠1，∠EPC =∠2，BP =x ，CE =y ．
（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=1
3
，试用x 的代数式表示y ．
图
2
O
A B
C
M
D N
B 1 F
备用图
3．如图3，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°． （1）求DE ︰DF 的值； （2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由．
4．如图4，正方形ABCD 的边长是4，M 是AD 的中点．动点E 在线段AB 上运动．联结
EM 并延长交射
线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，联结EG 、FG ． （1）求证：△GEF 是等腰三角形；
（2）设AE=x 时，△EGF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）在点E 运动过程中△GEF 是否可以成为等边三角形？请说明理由．
错误！未找到引用源。

图4
图3 B
C D E F A
备用图1 B C D 备用图2 B C D A A G
M F E D C B
A。