中考压轴题解题策略

中考第二轮复习“中考压轴题”专题讲解

一、内容简述

中考压轴题，也就是第25题，很多同学都认为是非常难的，在平时的训练中就有很多学生放弃了.但是实际上这道问题也是有方法可寻的，在本期复习中对于25题进行了归类和给出了相应的解题策略，希望能够帮助同学们一起来克服对于压轴题的恐惧心理，并帮助同学们找到解决此题的方式方法，从而来提高同学们的自信心.

二、真题再现

下面是近几年上海中考卷中的第25题.我们先一起来分析一下.

例1 （2010年上海中考第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，联结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B＝30°时，联结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=1

3

，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

图1 图2（备用）图3（备用）分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；

（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证

△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；

（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．

解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°.

∵AD=AE，∴∠AED＝60°=∠CEP，∴∠EPC＝30°.

∴△BDP为等腰三角形.

∵△AEP与△BDP相似

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，

∴AE=EP=1.

∴在Rt △ECP 中，EC=12EP=12

; （2）如图4，过点D 作D Q ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x.

∵AE=1，EC=2，∴QC=3-a.

∵∠ACB ＝90°，∴△ADQ 与△ABC 相似. ∴AD AQ AB AC =，即113a x =+，∴31

a x =+. ∵在Rt △ADQ 中，2

222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭

. ∵

DQ AD BC AB

=，∴228111x x x x x +-+=+， 解得x=4，即BC=4.

过点C 作CF//DP ，∴△ADE 与△AFC 相似， ∴AE AD AC AF

=，即AF=AC ，∴DF=EC=2，∴BF=DF=2. ∵△BFC 与△BDP 相似，∴

2142BF BC BD BP ===，即BC=CP=4. ∴tan ∠BPD=2142

EC CP ==；

图4

（3）∵D Q ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似，设AQ=a ，则QE=1-a. ∴

QE DQ EC CP =且tan ∠BPD=13

，∴DQ=3（1-a ）. ∵在Rt △ADQ 中，根据勾股定理，得AD 2=AQ 2+DQ 2， 即12=a 2+［3（1-a ）］2，解得a=1（舍去）或a=45

. ∵△ADQ 与△ABC 相似,∴4

45155AD DQ AQ AB BC AC x x

====++， ∴5533,44

x x AB BC ++==. ∴三角形ABC 的周长y=AB+BC +AC=

553344

x x ++++1+x=3+3x. 即y=3+3x ，其中

x>0

注：2011年上海中考第25题，在12期“分类讨论”专题讲解中已经讲过，这里我们不在重复.

（2012年中考25题）如图5，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB 上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

图5

分析：（1）由OD⊥BC，根据垂径定理，可得出BD=1

2

BC=

1

2

，在Rt△BOD中利用勾股定

理即可求出OD的长；

（2）联结AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据

三角形中位线定理可得出DE=1

2

AB=；

（3）由BD=x，可知OD=.由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°.过D 作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，即可求得y关于x的函数关系式.

解：（1）∵OD⊥BC，∴BD=BC=，

∴OD==；

（2）如图6，存在，DE是不变的．

联结AB，则AB==2.

∵D和E是中点，

∴DE=AB=；