求值域的7类题型和16种方法

2、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴 x （1）若
b b m, n ,则当 a 0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 2a 2a b ) 是函数的最大值，最大值为 中较大者；当 a 0 时， f ( 2a
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求函数值域的 7 类题型和 16 种方法
一、函数值域基本知识 1．定义：在函数 y f ( x ) 中，与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数 值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合） 。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数 y f ( x ) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合； ②当函数 y f ( x ) 用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合； ③当函数 y f ( x ) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确 定； ④当函数 y f ( x ) 由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义 域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数 y kx b k 0 的值域为 R. 2.二次函数 y ax bx c a 0 ，当 a 0 时的值域为
0 1 即要满足 f 1 0 或 2 y 1 解得： 0 y ……② 8 2 y 1 1 综合①②得：原函数的值域为： 0, 8 题型五：形如 y ax b cx d 的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某
区间上求值域问题，然后求其值域。 例 10： 求函数 y 2 x 4 1 x 在 x 8,1 时的值域 题型六：分段函数的值域：
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4, 4
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一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各 个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例 11： y x 1 x 2 例 12： y x 4 x 1
1 ,4 4 73 , 8
例 3：求函数 y 2x2 5x 6 的值域。
（4）反函数法（逆求或反求法） ： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系， 通过求反函数的定义域， 得到原函 数的值域。即通过反解，用 y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取 值范围。对于形如 y
f (m), f (n) 中较小者。
（2）若
b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是 a, , , b , a, , , b 等时，要结合图像来确函数 的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨 论。 例 1：已知 f x 2 x 的定义域为 3, ，则 f x 的定义域为
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2x 3 1 例 3：函数 y 的值域为 , x 3 2 1 3
, 3
；若 x 1, 2 时，其值域为
1 1 。 , 5 11
例 4：当 x 3, 1 时，函数 y
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比较它们的大小即可。若区间的形式为 , n 或 m, 等时，需结合函数图像来确定函 数的值域。 题型二：二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 的值域（最值） 1、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) ， 当其 定义域为 R 时，其值域为
求原函数在区间 1, 上的值域， 即求使上述方程在 1, 有实数解时系数 y 的取 值范围 当 y 0 时，解得： x 1 1, 也就是说， y 0 是原函数值域中的一个值 …①
当 y 0 时，上述方程要在区间 1, 上有解，
1 3x 的值域 2x 1
3 4, 2
。 （2）已知 。
f x 1
x3 ，且 x 3, 2 ，则 f x 的值域为 2 x
6 , 5
例 5：函数 y
2sin x 1 1 3 的值域为 , 3, ；若 x , 3sin x 2 5 2 2
cx d 的值域： ax b
（1）若定义域为 x R x 时，其值域为 y R y

b a

c a
（2）若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 有界性），便可求出函数的值域。
d by ，然后利用 x m, n （即 x 的 ay c
2、一次函数 y ax b a 0 在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并
4ac b y 4a 2 y 4ac b 4a
2
a 0 a 0
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
2
1,0,3
[1, )
例 2：求函数 y 例 3： 求函数 y 例 4：求函数 y
x 1 的值域。
x 1 x 1, x ≥ 1 的值域。 x 2 6 x 10 的值域。
2,

1,
（2）配方法： 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解， 但在转化的过程中要注意等 价性，特别是不能改变定义域。对于形如 y ax bx c a 0 或
，其值域为
1 2 , 。 2 3
题型四：二次分式函数 y
dx 2 ex c 的值域 ax 2 bx c
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系 数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边 界值也要考查达到该值时的 x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。 例 6： y 例 7： y
x2 x 1 ； x2 x 6
2
1, ,

2 7
x x2 ； y R y 1 x2 1 3x 3 3 例 8： y 2 ； , x 4 4 4 x 1 x 1, 的值域 例 9：求函数 y 2 x 2x 1 2 解：由原函数变形、整理可得： yx 2 y 1 x y 1 0
2
F x a f x bf x c a 0 类的函数的值域问题，均可使用配方法。
2
例 1．求函数 y
2 x x 2 3 的值域。
( x 1) 2 4 ，于是：
2 分析与解答：因为 2 x x 3 0 ，即 3 x 1 ， y
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1 4 1 x 2 时，函数 y x 2 是单调减函数，所以 6 y 18 ； 4 x 4 4 当 2 x 4 时，函数 y x 2 是单调增函数，所以 6 y 7 。 x 1 1 所以函数在区间 x [ ,4] 的值域是 6 y 18 。 4 4
2
4ac b 2 , ，当 a 0 时 4a
的值域为 ,

4ac b 2 .， 4a
k k 0 的值域为 y R y 0 . x
3.反比例函数 y 4.指数函数 y a
x
a 0且a 1 的值域为 y
y 0 .
5.对数函数 y log a x a 0且a 1 的值域为 R. 6.正，余弦函数的值域为 1,1 ，正，余切函数的值域为 R. 三、求解函数值域的 7 种题型 题型一：一次函数 y ax b a 0 的值域（最值） 1、一次函数： y ax b a 0 当其定义域为 R ，其值域为 R ；
2


,1
。
。
例 2：已知 f x 1 x 1 ，且 x 3, 4 ，则 f x 的值域为
2
1 , 1 7
题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数 y 2、形如： y
k (k 0) 的定义域为 x x 0 ，值域为 y y 0 x
四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法） ： 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 即从自变量 x 的范围出发，推出 y f ( x ) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直 观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。 例 1： 已知函数 y x 1 1 ，x 1,0,1,2 ，求函数的值域。
0 ( x 1) 2 4 4 ， 0 y 2 。
例 2．求函数 y
x 2 2x 4 1 在区间 x [ ,4] 的值域。 x 4
2
x 2 2x 4 4 2 x 分析与解答：由 y 配方得： y x 2 6， x x x
cx d (a 0) 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过 ax b
求反函数的定义域从而得到原函数的值域。 例 1：求函数 y
1 2x 的值域。 1 2x
1 y 1 2x x 解：由 y 解得 2 ， x 1 y 1 2
∵ 2 0 ，∴
x
1 y 0 ，∴ 1 y 1 1 y
2
3, ,5
题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是： 首先求出该函数的定义域， 然后在定义域的范围内由 内层函数的值域逐层向外递推。 例 13： y 例 14： y
x 1 1 x 1 2 x
x 2 3x 4
0, 2
5 0, 2
当 （3）最值法： 对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。 解：由 3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］ 。 函数 y 在［-3，1］内是连续的，在定义 域内由 3-2x-x2 的最大值为 4，最小值为 0。 ∴函数的值域是［0,2］ 例 2：求函数 y 2x ， x 2, 2 的值域。
∴函数Hale Waihona Puke Baiduy