常微分方程(1,2章)

例3 R – L – C 电路 如右下图设电感 L、电容 C 和电阻 R 都是常数，电源 e ( t )是时间的 t 的函数，试建立：当K合上时电流 I 满足的微分方程 .
解：由基尔霍夫定律有
e(t)LdIR IQ (1.10)
dt
C
其中 Q 为电量 . 注意 I d Q 将上式对 t 求导得 dt
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例5 传染病模型 设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数 n，开始
时染病人数为x0，在时刻 t 时健康人数为 y ( t )，染病人数为x ( t ) .
基本假设: 单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比
强迫微小振动 若单摆还受到一个始终与运动方向相同的力F ( t )，则单摆 的运动微分方程为
d2kdgF(t) (1.19)
dt2 mdt l lm
初始状态 要确定摆的某一特定运动时，还应该给出摆的初始状态，即当 t = 0 时，
0,
d
dt
0
它们分别代表摆的初始位置和初始角速度.
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mdvmgsin (1.15)
dt
d2gsin
dt2 l
(1.16)
vl ddt
wk.baidu.com
dv dt
l
d2
dt2
注意，若摆 只作微小振动时 sin dd2t2 gl0 (1.17)
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阻尼振动 如果单摆是在粘性介质中运动，受到与运动速度成正比的阻力，
则
d2kdg0 (1.18)
dt2 mdt l
微分方程是反映事物变化过程的最常用也是最重要的数学 模型之一 .
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例1 物体冷却过程的数学模型
将某物体置于空气中，在时刻 t = 0 时，它的温度u0 = 150°C，10分钟后测得 温度为u1 = 100°C，求决定此物体的温度 u 和 t 的关系，并计算20分钟后物体的 温度 . 假定空气的温度保持为ua = 24°C
求出的 I = I ( t )应该满足 I ( 0 ) = 0
若合上K后某时刻 t = t0 时，I = I0，电源E突然短路（即E = 0），此后一直 保持为零，这时电流I满足的方程应为
LdIRI0 (1.9) dt
求出的 I = I ( t ) 应该满足 I ( t 0 ) = I 0
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例2 R – L 电路
右图的电路中R为电阻，L为电感，E为电源，设 t = 0 时，电路中没有电流. 要求建立：当开关K 合上后，电流 I 应该满足的微分方程. 设 R、L、E 都是常数.
解： 由基尔霍夫定律：在闭合回路中，所有 支路上的电压的代数和等于零. 有
ELdIRI0 (1.8) dt
例5 人口模型（Malthus）
人口模型的基本假设是：人口在自然增长条件下，净相对增长率（单位时 间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，设为 r （生命系数）.
设人口数量为 N = N( t )，由基本假设有 dN rN ( t ) 即 dt
dNrN (1.20) dt dN rdt lnNrtc% N ertc% N N c e rt (c e c % ) (1 .2 1 )
de d(tt)Ld dt22 IRd dItC I (1.11)
即
d dt22 IR Ld dI tL ICL 1de d (tt) (1.12)
若e ( t )是常数，则
ddt22 IR LddItLIC0 (1.13)
若又加上 R = 0 ，则
d2I dt2
I 0 LC
(1.14)
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(1 .4 )
u u a c e k t
(1 .5 ) 将t = 0 时u = u0 代入得 c u0 ua
u u a (u 0 u a )e k t (1 .6 )
将 u0 = 150， ua = 24， t = 10 时, u = 100代入得
k1ln150240.051 u 2 4 1 2 6 e 0 .0 5 1 t (1 .7 ) 10 10024
例4 数学摆
数学摆是系在一根长度为 l ，质量可忽略不计的细线 上，质量为m 的质点M，在重力作用下，在垂直于地面的 平面上沿圆周运动，试确定摆的运动方程
解：取反时针方向为计算摆 与铅垂线所成的角的正方向. 质点M沿圆周的切向速度为v.
质点所受重力的切向分力为 mgsin
重力的纵向分力与所受细线的拉力抵消，所以由牛顿第二定律得
解： 由牛顿冷却定律：
热量总从高温物体向低温物体传导，温度冷却的速度与二物体温差成正比.
设时刻 t 时物体的温度为u，则此时温差为 u – ua , 所以
ddu t k(uua)
(1.1)
ln (u u a ) k t c %(1 .3 )
d(uua)kdt
(1.2)
u (u u a u a)e k t c % c e k t
常微分方程
第一章 绪 论
§1.1 微分方程 过程的数学模型 §1.2 微分方程的基本概念
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§1.1 微分方程 – 变化过程的数学模型
函数是反映事物变化过程中的量与量之间的关系， 但是现 实中稍微复杂一点的关系，一般都是很难直接找到的，而却比 较容易找到这些量和这些量与量之间的导数（变化率）的关系 式 . 这种联系着自变量、未知函数和它的导数（微分）的关系 式称为微分方程 .
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logistic 模型
人类的生存空间是有限的，自然资源、环境条件只能提供一定数量人口的
生活，因此 Verhulst 引入了环境最大容纳量Nm 这个常数，并认为人口的净增长 率为
N (t)
r 1
Nm
（r 为生命系数，即自然增长率）
所以人口关于时间的微分方程为
dN N dt r1NmN (1.23)
设 t = 0 时，N ( t ) = N0，代入(1.21)求出： c N0ert0
所以方程 (1.20) 的满足上述初值条件的解为
N (t)N 0er(t t0) (1.22)
在上述模型中，人口呈指数增长 . 如以一年或十年把它离散化，则人口是 以 e r 为公比的几何级数增长 . 荷兰生物学家 Verhulst 对它进行了改进，得到 著名的logistic 模型.