第三讲：函数逼近与计算
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数值分析讲义第三章 函数逼近
* n k
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
(整理)数值分析课件 第3章 函数逼近与曲线拟合
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图11.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间.所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间.在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.定义1 设X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数，即对于任意,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件(1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =；(2) 齐次性：x x αα=；(3) 三角不等式：x y x y +≤+；称为X 上的范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理.对n X 上的任一种范数，n X ∀∈x,y ，显然有±≥-x y x y .n R 上常用的几种范数有：(1) 向量的∞-范数：1max i i nx ∞≤≤=x(2) 向量的1-范数：11n i i x ==∑x(3) 向量的2-范数：12221()n i i x ==∑x (4) 向量的p -范数：11()n p pi p i x ==∑x其中[1,)p ∈∞，可以证明向量函数()p N x x ≡是nR 上向量的范数. 前三种范数是p -范数的特殊情况（lim p p ∞→∞=x x ）.我们只需表明(1).事实上1111111max max max n n p pp p i i i i i n i n i n i i x x x x ≤≤≤≤≤≤==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑及max 1p →∞=，故由数学分析的夹逼定理有1l i m ma x i p p i nx ∞→∞≤≤==x x 。
数值分析课件第3章1-2节
8
对连续函数 f ( x) C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p( x) H n 逼近，使误差
max f ( x) p( x)
a x b
( 为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.
j 1 j 1 n n
即 u1 , u2 ,, un 线性无关. 在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于 n u 1u1 2u2 nun 0 u X j j ,记
9
定理1
设 f ( x) C[a, b] ， 则对任何 0 ，总存在一
个代数多项式 p (x) ， 使
f ( x) p ( x )
在 [a, b] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
k Bn ( f , x) f ( ) Pk ( x), n k 0
27
从以上等价关系知，det G 0 等价于从（1.8）推出
1 2 n 0,
而后者等价于从（1.9）推出 j 1 0, k , n（1.8） ( j u j , uk ) (u j , uk ) 2 1,2, n 0,
（1.5）
函数逼近问题就是对任何 f ( x) C[a, b]， 在子空间Φ中
* * 找一个元素 ( x) ， 使 f ( x) ( x)在某种意义下最小.
14
3.1.2
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 R n空间中向量长度概念的直接推广.
对连续函数 f ( x) C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p( x) H n 逼近，使误差
max f ( x) p( x)
a x b
( 为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.
j 1 j 1 n n
即 u1 , u2 ,, un 线性无关. 在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于 n u 1u1 2u2 nun 0 u X j j ,记
9
定理1
设 f ( x) C[a, b] ， 则对任何 0 ，总存在一
个代数多项式 p (x) ， 使
f ( x) p ( x )
在 [a, b] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
k Bn ( f , x) f ( ) Pk ( x), n k 0
27
从以上等价关系知，det G 0 等价于从（1.8）推出
1 2 n 0,
而后者等价于从（1.9）推出 j 1 0, k , n（1.8） ( j u j , uk ) (u j , uk ) 2 1,2, n 0,
（1.5）
函数逼近问题就是对任何 f ( x) C[a, b]， 在子空间Φ中
* * 找一个元素 ( x) ， 使 f ( x) ( x)在某种意义下最小.
14
3.1.2
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 R n空间中向量长度概念的直接推广.
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
想）
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
第3章 函数逼近1 (最佳一致逼近)
v4
上求切比雪夫交错组 在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组 t1, …, tn+1 } 。 上求切比雪夫交错组{
最佳一致逼近多项式
目标： 目标：
要在H n中求Pn ( x )逼近f ( x ) ∈ C [a , b], 使其误差 || f ( x ) Pn ( x ) ||∞ = inf || f ( x ) Pn ( x ) ||∞
定理 3.3 的最佳逼近多项式,则 若P ( x ) ∈ H n 是 f ( x ) ∈ C [a , b] 的最佳逼近多项式 则P ( x ) 同时存在正、负偏差点. 同时存在正、负偏差点 证明：用反证法，设只有正偏差点。 证明：用反证法，设只有正偏差点。 设 || Pn y || ∞ = max ] | Pn ( x ) y ( x ) | = E n x∈[ a , b 而对于所有的 x∈[a, b] 都有 Pn ( x ) y ( x ) > E n ∈
-En≤pn*(x)-f(x)≤ En， -En≤qn(x)-f(x)≤ En (x)(x)所以- ≤(p 所以-En≤(pn*(x)+qn(x))/2 -f(x)≤En * 这说明 pn ( x) + qn ( x) pn ( x) = 2 也是对函数f(x)∈C a,b］的最佳一致逼近元. f(x)∈C［ 也是对函数f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元. 现设误差曲线函数pn(x)-f(x)在区间［a,b］ 在区间［ 现设误差曲线函数 (x)-f(x)在区间 a,b］ 上的一个交错点组为{x 上的一个交错点组为{x1, x2,…, xn+2} ，为此 , En=|f(xk)-pn(xk)| =1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk))|.
上求切比雪夫交错组 在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组 t1, …, tn+1 } 。 上求切比雪夫交错组{
最佳一致逼近多项式
目标： 目标：
要在H n中求Pn ( x )逼近f ( x ) ∈ C [a , b], 使其误差 || f ( x ) Pn ( x ) ||∞ = inf || f ( x ) Pn ( x ) ||∞
定理 3.3 的最佳逼近多项式,则 若P ( x ) ∈ H n 是 f ( x ) ∈ C [a , b] 的最佳逼近多项式 则P ( x ) 同时存在正、负偏差点. 同时存在正、负偏差点 证明：用反证法，设只有正偏差点。 证明：用反证法，设只有正偏差点。 设 || Pn y || ∞ = max ] | Pn ( x ) y ( x ) | = E n x∈[ a , b 而对于所有的 x∈[a, b] 都有 Pn ( x ) y ( x ) > E n ∈
-En≤pn*(x)-f(x)≤ En， -En≤qn(x)-f(x)≤ En (x)(x)所以- ≤(p 所以-En≤(pn*(x)+qn(x))/2 -f(x)≤En * 这说明 pn ( x) + qn ( x) pn ( x) = 2 也是对函数f(x)∈C a,b］的最佳一致逼近元. f(x)∈C［ 也是对函数f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元. 现设误差曲线函数pn(x)-f(x)在区间［a,b］ 在区间［ 现设误差曲线函数 (x)-f(x)在区间 a,b］ 上的一个交错点组为{x 上的一个交错点组为{x1, x2,…, xn+2} ，为此 , En=|f(xk)-pn(xk)| =1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk))|.
第3章 - 函数的数值逼近
0 a=x0 x1 x2
x3
xn=b
y
6
研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？
（2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？
（3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
7
2、插值多项式的存在唯一性 定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
yk
( x xk 1) ( x xk 1) ( xk xk 1) ( xk xk 1) ( x xk 1) ( x xk ) ( xk 1 xk 1) ( xk 1 xk )
y
1
yk 1
y
1 0
y
1
xk-1 xk
xk+1 x
0
xk-1
xk
xk+1 x
1.2
1.4
1.6
1.8
2
4
三、插值的定义与存在性
定义： 设 f(x)∈C [a , b], 取点 a ≤x0＜x1＜·＜xn≤b · · 若存在一简单函数P(x)，使得
P xi yi , i 0,1,, n (1)
成立，则称 P( x )为 f (x) 的插值函数 点 x0 , x1, ⋯, xn 为插值节点 (1)式为插值条件 f ( x ) 为被插函数 [a , b] 为插值区间 求 P(x) 的方法就是插值法。
y
1 0
称为节点上线 性插值基函数
l k ( xk ) 1, l k ( xk 1) 0 满足 l k1( xk) 0 , l k1( xk 1) 1
第三章 函数逼近与计算
其中，H n 表示由所有次数不超过n的代数多项式
构成的线性空间。
这就是
C a,b
空间中的最佳一致逼近问题。
四、C a , b 上最佳一致逼近多项式的存在性
定理2（Borel定理)
对任意的 f x C a , b , 在 H n 中都存在对
* f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn x ,使得
对于函数类 A 中给定的函数 f x ，要求在另一类较简
单的且便于计算的函数类 B A 中寻找一个函数 P x ，使
P x 与
f x 之差在某种度量意义下最小。
A 通常为区间
注：本章中所研究的函数类
a,b
上的连续函数，记做 C a , b ;而函数类 B 通常是代数多项式或三角多项式。
采用
b
a
f x P x dx f x P x
2
2
作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平 方逼近或均方逼近。
§2
定义
最佳一致逼近
对于任意 设函数 f x 是区间 a , b 上的连续函数， 给定的 ，如果存在多项式 P x ，使不等式
4、交错点组
定义 若函数 f x 在其定义域的某一区间 a , b
上存在 n 个点
xk , k
1, 2 , ..., n ,
f
使得
,
1
f
xk
f
max f
f
x
x
k 1, 2,..., n;
2
xk
xk 1 , k
数值分析第三章Ch3
则 ρ(x) 称为 [a, b] 上的一个权函数。
数值逼近
数值分析
. . . .... .... .... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
15/88
. .. . .. .. ..
则 ρ(x) 称为 [a, b] 上的一个权函数。
10/88
. .. . .. .. ..
设 S 是一个内积空间，u1, . . . , un ∈ S，
矩阵
G
=
((uu11,,...
u1) u2)
(u2, u1)
(u2, u2) ...
··· ···
(un,
(un, ...
uu12))
(u1, un) (u2, un) · · · (un, un) 称为格拉姆 (Gram) 矩阵。
间
[−π, π]族。 . . . .... .... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
数值逼近 数值分析
19/88
. .. . .. .. ..
称多项式序列{φn}∞ n=0 是带权 ρ(x) 正 交的，如果每个 φn 是首项系数 an ̸= 0 的 n 次多项式，且 {φn}∞ n=0 是带权 ρ(x) 的正交函数族。
. .. . .. .. ..
. .四、最佳逼近
函数逼近主要讨论给定 f ∈ C[a, b]，求最
佳逼近多项式。若 P ∗(x) ∈ Hn，使误差 ∥f (x) − P ∗(x)∥ = min ∥f (x) − P (x)∥，则
P ∈Hn
称 P ∗(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上的n 次最佳逼
第三章函数逼近及最小二乘法
第三章 函数逼近及最小二乘法 §1 内积空间及函数的范数定义1 设)(x ρ是定义在(a,b)上的非负函数，且满足：1）dx x x nba )(ρ⎰存在 （n=0,1,2,…）2）对非负的连续函数g(x)，若0)()(=⎰dx x x g ba ρ则在(a,b)上有g(x)=0，则称)(x ρ为(a,b)上的权函数。
定义2 设f(x),g(x)为[a,b]上的连续函数，)(x ρ为(a,b)上的权函数，称),(g f =dx x x g x f ba)()()(ρ⎰为函数f(x)与g(x)在[a,b]的内积。
特别当)(x ρ=1时，上式变为 ),(g f =dx x g x f ba⎰)()(设],[b a C 表示在区间[a,b]上连续函数的全体，那么定义了内积之后，],[b a C 就变成了一个内积空间。
显然有),(f f =dx x x f ba)()(2ρ⎰为一个非负值，因此我们有定义3 对],[)(b a C x f ∈，称),()(2f f x f = 为)(x f 的欧氏范数（又称2-范数）。
其实，我们还经常用到函数的其他范数。
比如，)(max)(xfxfbxa≤≤∞=dxxxfxf ba)()()(1ρ⎰=n维向量空间中两个向量正交的定义也可以推广到连续内积空间],[baC中.定义4 若],[)(),(baCxgxf∈,满足),(gf = dxxxgxf ba)()()(ρ⎰=0则称函数f(x)与g(x)在[a,b]上带权)(xρ正交.若函数族),(,),(),(1xxxnϕϕϕ满足⎰⎩⎨⎧=>≠==bakkjkj kjAkjdxxxx)()()(),(ϕϕρϕϕ则称函数族{})(xkϕ是[a,b]上带权)(xρ的正交函数族.特别地,若1=kA,就称之为标准正交函数族.由高等数学的知识，我们知道, Foureir级数展开中函数族1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……即为],[ππ-上带权)(xρ=1的正交函数族.如同线性代数中的向量组线性无关概念一样,在此也有函数组的线性无关概念.定义5设函数组)(,),(),(11xxxn-ϕϕϕ 在[a,b]上连续,若)()()(1111=+++--xaxaxannϕϕϕ当且仅当011====-naaa 时成立,则称函数族)(,),(),(11xxxn-ϕϕϕ 在[a,b]上是线性无关的.否则称为线性相关函数组。
计算方法第三章函数逼近与快速傅里叶变换
间中找一个元素*(x)∈，使f(x)-*(x)在某种意义
下最小.
12
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引 进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直接 推广.
定义2 设S为线性空间，xS，若存在唯一实 数·，满足条件：
(1) x0;当且仅当x＝0时, x=0; (正定性) (2) x=||x, R; (齐次性) (3) x+yx+y, x,yS. (三角不等式) 则称·为线性空间S上的范数，S 与·一起称 为赋范线性空间，记为X.
第3章 函数逼近与快速傅里 叶变换
§3.1 函数逼近的基本概念 §3.2 正交多项式 §3.3 最佳平方逼近
§3.4 曲线拟合的最小二乘法 §3.5 有理逼近 §3.6 三角逼近与快速傅里叶变换 1
§3.1 函数逼近的基本概念
问题的提出 –在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计 算基本初等函数及其它特殊函数；当函数只在有限 点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公 式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a, b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是 函数逼近问题. 第二章讨论的插值法就是函数逼 近的一种.
5
线性无关
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素 x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P， 使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0, (3.1)
则称x1,x2,…,xn 线性相关，否则称x1,x2,…,xn 线性无关， 即只有当a1=a2=…=an=0时等式(3.1)才成立.
13
向量的常用范数
对Rn上的向量 x＝(x1,x2,…,xn)T, 三种常用范数为：
下最小.
12
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引 进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直接 推广.
定义2 设S为线性空间，xS，若存在唯一实 数·，满足条件：
(1) x0;当且仅当x＝0时, x=0; (正定性) (2) x=||x, R; (齐次性) (3) x+yx+y, x,yS. (三角不等式) 则称·为线性空间S上的范数，S 与·一起称 为赋范线性空间，记为X.
第3章 函数逼近与快速傅里 叶变换
§3.1 函数逼近的基本概念 §3.2 正交多项式 §3.3 最佳平方逼近
§3.4 曲线拟合的最小二乘法 §3.5 有理逼近 §3.6 三角逼近与快速傅里叶变换 1
§3.1 函数逼近的基本概念
问题的提出 –在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计 算基本初等函数及其它特殊函数；当函数只在有限 点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公 式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a, b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是 函数逼近问题. 第二章讨论的插值法就是函数逼 近的一种.
5
线性无关
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素 x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P， 使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0, (3.1)
则称x1,x2,…,xn 线性相关，否则称x1,x2,…,xn 线性无关， 即只有当a1=a2=…=an=0时等式(3.1)才成立.
13
向量的常用范数
对Rn上的向量 x＝(x1,x2,…,xn)T, 三种常用范数为：
数值分析第三章函数逼近与快速傅立叶变换 ppt课件
由〔x-(a0+a1x)〕′x１＝０，可得
45
x１＝1/(2a１)２. 因为x=0,1为交错点，由〔x-(a0+a1x)〕x=0＝〔x-(a0+a1x)〕 得 a1=1
将a１＝１代入x１＝1/(2a１)２得x１＝1/4.
〔x-(a0+a1x)〕x1=1/4＝-〔x-(a0+a1x)〕x2=1 得a０＝1/8
说明n次多项式Q(x)至少在［a,b］上有n+1个根， 矛盾.
‖f(x)- pn(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.
36
三、关于最佳一致逼近多项式的求解
定理 在区间1,1] 上所有最高次项系数为1的n次多项式中，
n(x)21n1Tnx 与零的偏差最小，其最小偏差为
1 2 n1
对任意首一n次多项式f(x)，Chebyshev多项式 对零的一致误差最小
13
3.2 正交多项式
定义1：设
f(x )g ( ,x ) c a ,b ,称 a b(x )f(x )g (x ) d 为 x
f(x),g(x)关于权(x)的内积，记为(f, g).
定义2 如果函数f(x), g(x) 在[a,b]上连续,满足
a b(x)f(x)g(x)d x0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权 (x)正交,如果[a,b]
第三章 函数逼近与 快速傅立叶变换
1
3.1 函数逼近的基本知识
第三章 第一节
函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）
对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近， 逼近函数是不同的.
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
45
x１＝1/(2a１)２. 因为x=0,1为交错点，由〔x-(a0+a1x)〕x=0＝〔x-(a0+a1x)〕 得 a1=1
将a１＝１代入x１＝1/(2a１)２得x１＝1/4.
〔x-(a0+a1x)〕x1=1/4＝-〔x-(a0+a1x)〕x2=1 得a０＝1/8
说明n次多项式Q(x)至少在［a,b］上有n+1个根， 矛盾.
‖f(x)- pn(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.
36
三、关于最佳一致逼近多项式的求解
定理 在区间1,1] 上所有最高次项系数为1的n次多项式中，
n(x)21n1Tnx 与零的偏差最小，其最小偏差为
1 2 n1
对任意首一n次多项式f(x)，Chebyshev多项式 对零的一致误差最小
13
3.2 正交多项式
定义1：设
f(x )g ( ,x ) c a ,b ,称 a b(x )f(x )g (x ) d 为 x
f(x),g(x)关于权(x)的内积，记为(f, g).
定义2 如果函数f(x), g(x) 在[a,b]上连续,满足
a b(x)f(x)g(x)d x0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权 (x)正交,如果[a,b]
第三章 函数逼近与 快速傅立叶变换
1
3.1 函数逼近的基本知识
第三章 第一节
函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）
对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近， 逼近函数是不同的.
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
计算物理学：第三章 函数逼近(插值和拟合)
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
y(x)
=
(x− (x0 −
x1)(x− x2) x1)(x0 −x2)
y0
+
(x− (x1 −
x0)(x− x2) x0)(x1 −x2)
y1
+
(x− (x2 −
x0)(x− x1) x0)(x2 −x1)
y2
y(7) = (7− 4)(7− 9) ×1+ (7 −1)(7 − 9) ×2+ (7−1)(7 − 4) ×3 (1− 4)(1− 9) (4−1)(4− 9) (9−1)(9− 4)
xn ) − xn
)
Language 插值程序
1. function f = Language(x, y, x0) ：x0 待求点的坐标
2.
3. f = 0.0;
4. for(i = 1:n)
5. l = y(i);
6. for(j = 1:i-1)
7.
l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
0858724127582961113拟合曲线与实验点的关系321可化为线性拟合的情形一些非线性关系可以通过变换变为线性关系我们更关心的是关于系数ab是否线性关系lnlnlnlnlnlnln在某化学反应里测得生成物浓度y与时间t的数据如下试建立y关于t的经验公式t12345678910111213141516y40064080088092295097098610001020103210421050105510581060画出时间与浓度
反插值方法
+ ( y + 2.0)( y + 0.8)( y − 0.4) × 2.0 (1.2 + 2.0)(1.2 + 0.8)(1.2 − 0.4)
第3章 函数逼近与计算1-1
Bn ( f , x) = ∑
k =0
k f Pk ( x) n
n
其中
n k Pk ( x) = x (1 − x) n − k k
，且
∑
k =0
Pk ( x) = 1
这不但证明了定理1， 这不但证明了定理 ，而且给出了 f ( x) 的一个逼近 多项式 Bn ( f , x) 。多项式 Bn ( f , x) 有良好的逼近 性质，但它收敛太慢， 性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得 实际中很少被使用。 多，实际中很少被使用。 6
通常是区间上的实连续函数， 函数类 A通常是区间上的实连续函数，记作 C[a, b] ；函数类B通常是代数多项式，分式有 函数类B通常是代数多项式， 理函数或三角多项式。 理函数或三角多项式。 C[a, b] 中函数 f ∈ C[a, b] 的 ∞ -范数定义为 范数定义为: 范数定义为
f
∞
= max f ( x)
Pn ( x) = a0 + a1 x + L + an x
n
为任意实数。 其中 a0 , a1 , L , an 为任意实数。要在 H n 中求 7 Pn* ( x) 逼近 f ( x) ∈ C[a, b] ，使其误差
f ( x) − P ( x)
* n
∞
= min f ( x) − Pn ( x)
a ≤ x ≤b
∞ -范数，它满足范数的三个性质： 范数，它满足范数的三个性质：
I） f ≥ 0，当且仅当 f ≡ 0 时才有 f = 0 ； II） 成立， II） af = a f 对任意 f ∈ C[a, b] 成立，a为 任意实数； 任意实数； III）对任意 f , g ∈ C[a, b]，有 f + g ≤ f + g . ） 3
k =0
k f Pk ( x) n
n
其中
n k Pk ( x) = x (1 − x) n − k k
，且
∑
k =0
Pk ( x) = 1
这不但证明了定理1， 这不但证明了定理 ，而且给出了 f ( x) 的一个逼近 多项式 Bn ( f , x) 。多项式 Bn ( f , x) 有良好的逼近 性质，但它收敛太慢， 性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得 实际中很少被使用。 多，实际中很少被使用。 6
通常是区间上的实连续函数， 函数类 A通常是区间上的实连续函数，记作 C[a, b] ；函数类B通常是代数多项式，分式有 函数类B通常是代数多项式， 理函数或三角多项式。 理函数或三角多项式。 C[a, b] 中函数 f ∈ C[a, b] 的 ∞ -范数定义为 范数定义为: 范数定义为
f
∞
= max f ( x)
Pn ( x) = a0 + a1 x + L + an x
n
为任意实数。 其中 a0 , a1 , L , an 为任意实数。要在 H n 中求 7 Pn* ( x) 逼近 f ( x) ∈ C[a, b] ，使其误差
f ( x) − P ( x)
* n
∞
= min f ( x) − Pn ( x)
a ≤ x ≤b
∞ -范数，它满足范数的三个性质： 范数，它满足范数的三个性质：
I） f ≥ 0，当且仅当 f ≡ 0 时才有 f = 0 ； II） 成立， II） af = a f 对任意 f ∈ C[a, b] 成立，a为 任意实数； 任意实数； III）对任意 f , g ∈ C[a, b]，有 f + g ≤ f + g . ） 3
函数逼近最佳平方逼近ppt课件
9
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
7
只要给定[a,b]上的权函数(x ), 由{1,x , x n ,}利用逐个
(2.5) (2.6)
11
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (Βιβλιοθήκη x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 的p1(x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1(x)‖２
=(∫01[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x)
第三章 函数逼近 (Approximating Function)
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
7
只要给定[a,b]上的权函数(x ), 由{1,x , x n ,}利用逐个
(2.5) (2.6)
11
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (Βιβλιοθήκη x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 的p1(x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1(x)‖２
=(∫01[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x)
第三章 函数逼近 (Approximating Function)
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《数值分析》第三讲
函数的逼近与计算
理学院
函数的逼近与计算
§1.1 引言
1、算例
e
x
e
1 2 1 x x 2
0.8
1 x
函数的逼近与计算
1 2 1 3 1 4 1 x x x x 2 6 24 1 2 1 3 1 x x x 2 6
函数的逼近与计算
1 2 1 x x 2
pn H n
即 max | f ( x ) pn * ( x ) | min max | f ( x ) pn ( x ) |
a xb pn H n a x b
是十分困难的
函数的逼近与计算
▲ 1837年，切比雪夫进入莫斯科大
学，在哲学系学习物理数学专业。 ▲ 1846年，切比雪夫任彼得堡大学助 教，1860-1882年任彼得堡大学教授。 ▲ 1853年任彼得堡科学院候补院士， 1856年任副院士，1859年任院士。 ▲ 1877年、1880年、1893年分别任伦 敦皇家科学院、意大利皇家科学院、
I (a0 , a1 ,, an ) a ( x )[S ( x ) f ( x )] dx
2
b
a ( x )[ a j j ( x ) f ( x )]2 dx
b j 0
n
函数的逼近与计算
则 n b I 2a ( x )[ a j j ( x ) f ( x )] k ( x )dx a k j 0
使得
2 || f ( x ) S * ( x ) ||2 inf || f ( x ) S ( x ) || 2 2 S ( x )
inf
S ( x )
2 ( x )( f ( x ) S ( x )) dx a
b
则称 S * ( x ) 是 f ( x ) 在 中的最佳平方逼近函数。 令
函数的逼近与计算
1 1 0.45512 0.4551 0.414 0.955 2 2 所求一次最佳逼近多项式为 p1 ( x ) 0.414 x 0.955
函数的逼近与计算 Matlab程序 x=0:0.1:1; y1=sqrt(1+x.*x); y2=0.414*x+0.955; plot(x,y1); hold on plot(x,y2);
2a ( x )[a00 ( x ) an n ( x ) f ( x )] k ( x )dx 2a a0 ( x )0 ( x ) k ( x )dx 2a an ( x ) n ( x ) k ( x )dx 2a ( x ) f ( x ) k ( x )dx
又 所以 唯一 则
?
由Chebyshev定理可知 a , , b 是 g( x ) 的极值点
f ' ( ) a1
单调增（减）
g'' ( x ) f '' ( x ) 不变号，
函数的逼近与计算
例3.1（p50）
求函数 f ( x ) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。
函数的逼近与计算
4、以最佳一次逼近多项式为例
2 f ( x ) C [a , b], 且 f ' ' ( x ) 不变号, 设
令 p1 ( x ) a1 x a0
由Chebyshev定理 存在 (a, b) 使得
p1 ( x )
a
b
p1 (a ) f (a ) f ( ) p1 ( ) p1 (b) f (b)
即 a1a a0 f (a ) f ( ) a1 a0 a1b a0 f (b)
由 a1a a0 f (a ) a1b a0 f (b)
f (b) f (a ) 得 a1 ba
函数的逼近与计算
a1a a0 f (a ) f ( ) a1 a0 a1b a0 f (b)
b
b
2 2 ( f ( x ), f ( x )) ( x )( f ( x )) dx || f ( x ) || 记内积 2 a
则称 || f ( x ) ||2
2 ( x )( f ( x )) dx ( f ( x ), f ( x )) a
b
为函数 f ( x ) 的2范数或Euclid范数。 关于内积、范数的详尽内容可参见《高等代数》或 《线性代数》等相关书籍。
瑞典皇家科学院外籍院士。
▲ 学生：马尔科夫、李雅普诺夫、伯恩斯坦、辛钦等。
函数的逼近与计算
5、最佳平方逼近 设 f ( x ), g( x ) C[a , b], ( x ) 为区间[a,b]上的权函数
定义内积
( f ( x ), g( x )) a ( x ) f ( x ) g( x )dx
p1 ( x ) 0.414 x 0.955
f ( x) 1 a1 x an x } 中找 pn * ( x ) H n ,
n
满足 || f ( x ) pn * ( x ) || min || f ( x ) pn ( x ) ||
函数的逼近与计算 ▲ 他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论，引进了 现今分析学上通用的ε-δ定义，奠基了分析学的算术化。
▲ 在变分法中，给出了带有参数的函数的变分结构，研究
了变分问题的间断解。 ▲ 在微分几何中，研究了测地线和最小曲面； ▲ 在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵。 ▲ 魏尔斯特拉斯一生中培养了很多有成就的学生，其中著
f ( x) p( x )
a
b
b
2 ( f ( x ) p ( x )) dx a
|| f ( x ) p( x ) ||2
平方逼近
函数的逼近与计算
§1.2 逼近理论基础
1、一致逼近函数的存在性
Weierstrass定理 p45 定理3.1
▲ 1834年入波恩大学学习法律和财政。
函数的逼近与计算
2、逼近的思想
目标函数 集合 简单函数 集合
f ( x) f ( x ) p( x )
何为”逼近”?
p( x ) x [a, b]
如何逼近？
f ( x) p( x )
|| f ( x ) p( x ) || max | f ( x ) p( x ) | 无穷范数：
解
f (b) f (a ) a1 2 1 0.414 ba
由 f ' ( )
1
2
2 1 0.414
即
2
2 2 ( 2 1 ) 得 1 2
解得 0.4551 因此
2 1 2
f (a ) f ( ) a a0 a1 2 2
a xb pn H n a x b
所谓最佳是指在 H n 中最佳（是一个在局部找最优的 思想）
函数的逼近与计算
pn * ( x ) ? 1、Chebyshev给出如下概念 设 f ( x ) C[a , b], p( x ) H n , 如果
a xb
f ( x)
n
| p( x0 ) f ( x0 ) | max | p( x ) f ( x ) | p * 0 ( x)
3、最佳一致逼近多项式（Chebyshev)
令
H n span{1, x ,, x n }
找 pn * ( x ) H n ,
pn H n
n Pn ( x ) H n 则 Pn ( x ) a0 a1 x an x
对 pn ( x ) H n
使得 || f ( x ) pn * ( x ) || min || f ( x ) pn ( x ) || 即 max | f ( x ) pn * ( x ) | min max | f ( x ) pn ( x ) |
再由 a1a a0 f (a ) f ( ) a1 a0 得
2a0 f (a ) f ( ) a1 a1a
f (a ) f ( ) a a0 a1 即 2 2 令 g( x ) f ( x ) p1 ( x )
令 g' ( ) f ' ( ) a1 0
▲ 1842～1856年，中学教师。
▲ 1856年柏林科学院，1864年升为教授。 ▲ 1854年解决了椭圆积分的逆转问题， 引起数学界的重视。 ▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数新 结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定 理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
I 2a0 0 ( x ), k ( x ) 2a1 1 ( x ), k ( x ) 即 a k 2an n ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x )
b b b
b
函数的逼近与计算
n I 2 a j j ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x ) 即 a k j 0
名的有C.B.柯瓦列夫斯卡娅、H.A.施瓦兹、I.L.富克斯、G.
米塔格-列夫勒等。
函数的逼近与计算
2、Bernstein逼近函数 p45 3.1.4
1912年构造 n k Bn ( f , x ) f Pk ( x ) k 0 n k k n k Pk ( x ) C n x ( 1 x ) 且
lim Bn ( f , x ) f ( x ),
n
x [0,1]
一致成立
lim Bn
n
函数的逼近与计算
理学院
函数的逼近与计算
§1.1 引言
1、算例
e
x
e
1 2 1 x x 2
0.8
1 x
函数的逼近与计算
1 2 1 3 1 4 1 x x x x 2 6 24 1 2 1 3 1 x x x 2 6
函数的逼近与计算
1 2 1 x x 2
pn H n
即 max | f ( x ) pn * ( x ) | min max | f ( x ) pn ( x ) |
a xb pn H n a x b
是十分困难的
函数的逼近与计算
▲ 1837年，切比雪夫进入莫斯科大
学，在哲学系学习物理数学专业。 ▲ 1846年，切比雪夫任彼得堡大学助 教，1860-1882年任彼得堡大学教授。 ▲ 1853年任彼得堡科学院候补院士， 1856年任副院士，1859年任院士。 ▲ 1877年、1880年、1893年分别任伦 敦皇家科学院、意大利皇家科学院、
I (a0 , a1 ,, an ) a ( x )[S ( x ) f ( x )] dx
2
b
a ( x )[ a j j ( x ) f ( x )]2 dx
b j 0
n
函数的逼近与计算
则 n b I 2a ( x )[ a j j ( x ) f ( x )] k ( x )dx a k j 0
使得
2 || f ( x ) S * ( x ) ||2 inf || f ( x ) S ( x ) || 2 2 S ( x )
inf
S ( x )
2 ( x )( f ( x ) S ( x )) dx a
b
则称 S * ( x ) 是 f ( x ) 在 中的最佳平方逼近函数。 令
函数的逼近与计算
1 1 0.45512 0.4551 0.414 0.955 2 2 所求一次最佳逼近多项式为 p1 ( x ) 0.414 x 0.955
函数的逼近与计算 Matlab程序 x=0:0.1:1; y1=sqrt(1+x.*x); y2=0.414*x+0.955; plot(x,y1); hold on plot(x,y2);
2a ( x )[a00 ( x ) an n ( x ) f ( x )] k ( x )dx 2a a0 ( x )0 ( x ) k ( x )dx 2a an ( x ) n ( x ) k ( x )dx 2a ( x ) f ( x ) k ( x )dx
又 所以 唯一 则
?
由Chebyshev定理可知 a , , b 是 g( x ) 的极值点
f ' ( ) a1
单调增（减）
g'' ( x ) f '' ( x ) 不变号，
函数的逼近与计算
例3.1（p50）
求函数 f ( x ) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。
函数的逼近与计算
4、以最佳一次逼近多项式为例
2 f ( x ) C [a , b], 且 f ' ' ( x ) 不变号, 设
令 p1 ( x ) a1 x a0
由Chebyshev定理 存在 (a, b) 使得
p1 ( x )
a
b
p1 (a ) f (a ) f ( ) p1 ( ) p1 (b) f (b)
即 a1a a0 f (a ) f ( ) a1 a0 a1b a0 f (b)
由 a1a a0 f (a ) a1b a0 f (b)
f (b) f (a ) 得 a1 ba
函数的逼近与计算
a1a a0 f (a ) f ( ) a1 a0 a1b a0 f (b)
b
b
2 2 ( f ( x ), f ( x )) ( x )( f ( x )) dx || f ( x ) || 记内积 2 a
则称 || f ( x ) ||2
2 ( x )( f ( x )) dx ( f ( x ), f ( x )) a
b
为函数 f ( x ) 的2范数或Euclid范数。 关于内积、范数的详尽内容可参见《高等代数》或 《线性代数》等相关书籍。
瑞典皇家科学院外籍院士。
▲ 学生：马尔科夫、李雅普诺夫、伯恩斯坦、辛钦等。
函数的逼近与计算
5、最佳平方逼近 设 f ( x ), g( x ) C[a , b], ( x ) 为区间[a,b]上的权函数
定义内积
( f ( x ), g( x )) a ( x ) f ( x ) g( x )dx
p1 ( x ) 0.414 x 0.955
f ( x) 1 a1 x an x } 中找 pn * ( x ) H n ,
n
满足 || f ( x ) pn * ( x ) || min || f ( x ) pn ( x ) ||
函数的逼近与计算 ▲ 他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论，引进了 现今分析学上通用的ε-δ定义，奠基了分析学的算术化。
▲ 在变分法中，给出了带有参数的函数的变分结构，研究
了变分问题的间断解。 ▲ 在微分几何中，研究了测地线和最小曲面； ▲ 在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵。 ▲ 魏尔斯特拉斯一生中培养了很多有成就的学生，其中著
f ( x) p( x )
a
b
b
2 ( f ( x ) p ( x )) dx a
|| f ( x ) p( x ) ||2
平方逼近
函数的逼近与计算
§1.2 逼近理论基础
1、一致逼近函数的存在性
Weierstrass定理 p45 定理3.1
▲ 1834年入波恩大学学习法律和财政。
函数的逼近与计算
2、逼近的思想
目标函数 集合 简单函数 集合
f ( x) f ( x ) p( x )
何为”逼近”?
p( x ) x [a, b]
如何逼近？
f ( x) p( x )
|| f ( x ) p( x ) || max | f ( x ) p( x ) | 无穷范数：
解
f (b) f (a ) a1 2 1 0.414 ba
由 f ' ( )
1
2
2 1 0.414
即
2
2 2 ( 2 1 ) 得 1 2
解得 0.4551 因此
2 1 2
f (a ) f ( ) a a0 a1 2 2
a xb pn H n a x b
所谓最佳是指在 H n 中最佳（是一个在局部找最优的 思想）
函数的逼近与计算
pn * ( x ) ? 1、Chebyshev给出如下概念 设 f ( x ) C[a , b], p( x ) H n , 如果
a xb
f ( x)
n
| p( x0 ) f ( x0 ) | max | p( x ) f ( x ) | p * 0 ( x)
3、最佳一致逼近多项式（Chebyshev)
令
H n span{1, x ,, x n }
找 pn * ( x ) H n ,
pn H n
n Pn ( x ) H n 则 Pn ( x ) a0 a1 x an x
对 pn ( x ) H n
使得 || f ( x ) pn * ( x ) || min || f ( x ) pn ( x ) || 即 max | f ( x ) pn * ( x ) | min max | f ( x ) pn ( x ) |
再由 a1a a0 f (a ) f ( ) a1 a0 得
2a0 f (a ) f ( ) a1 a1a
f (a ) f ( ) a a0 a1 即 2 2 令 g( x ) f ( x ) p1 ( x )
令 g' ( ) f ' ( ) a1 0
▲ 1842～1856年，中学教师。
▲ 1856年柏林科学院，1864年升为教授。 ▲ 1854年解决了椭圆积分的逆转问题， 引起数学界的重视。 ▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数新 结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定 理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
I 2a0 0 ( x ), k ( x ) 2a1 1 ( x ), k ( x ) 即 a k 2an n ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x )
b b b
b
函数的逼近与计算
n I 2 a j j ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x ) 即 a k j 0
名的有C.B.柯瓦列夫斯卡娅、H.A.施瓦兹、I.L.富克斯、G.
米塔格-列夫勒等。
函数的逼近与计算
2、Bernstein逼近函数 p45 3.1.4
1912年构造 n k Bn ( f , x ) f Pk ( x ) k 0 n k k n k Pk ( x ) C n x ( 1 x ) 且
lim Bn ( f , x ) f ( x ),
n
x [0,1]
一致成立
lim Bn
n