4.1指数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修一同步讲义

4.1指数

1、n 次方根的定义

一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n ∈N*.

2、n 次方根的性质

(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.

(2)当n 是偶数 时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成)(0>±a a n .

(3)0的任何次方根都是0，记作00=n

(4)负数没有偶次方根.

3、根式的定义

式子n a 叫做根式，这里n 叫做，a 叫做被开方数.

4、两个等式

(1)(n a )n ＝a (n ∈N *).

(2)n a n ＝⎩⎨⎧ a (n 为奇数，且n ∈N *)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数，且n ∈N *).

5、分数指数幂

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：n m a ＝n m a (a ＞0，m ，n ∈N*，且n ＞1)

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：n m

a -＝n m a 1

(a ＞0，m ，n ∈N*，且n ＞1)

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

6、有理数指数幂的运算性质

(1)s r s r a

a a +=⋅ (a ＞0，r ，s ∈Q) (2)s s s r a ar ⋅=)((a ＞0，r ，s ∈Q)

知识梳理

(3)r

r r b a ab ⋅=)((a ＞0，b ＞0，r ∈Q)

7、无理数指数幂

指数幂αa (0>a ，α是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.

题型一 分数指数幂

例 1 计算：33b a a b

（a >0，b >0）． 【答案】1344

a b -

题型二 指数计算 例 2 计算：=+-----232021)2

3()827()2()412( ． 【答案】

.

题型三 代数式计算

例 3 已知32121=+-a

a ，求下列各式的值： （1）1-+a a （2）22-+a a

知识典例

1、设a R ∈，且

11 222

a a --=，求1a a --=_________. 【答案】2、求值：()4

11300.7533250.064()2160.019---⎡⎤--+-++=⎣⎦_________. 【答案】14380

3、计算：3219⎛⎫ ⎪⎝⎭－　＋2

3

64＝_________ 【答案】43

4、已知312a b += a b =__________. 【答案】3

5、计算：()2531433234(0,0)a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

_____________. 【答案】232

b - 6、化简1142a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

(a>0，b>0)的结果是________． 【答案】

a b 7、求解下列两式的值：

（1）求值：1

020.5231(2)2(2)(0.01)54

--+-. （2）若13x x -+=，求33222236x x

x x --+-+-的值. 【答案】（1）1615

（2）3 81

023954-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】巩固提升

9、计算：

（1）2

203227()(()38

-+-； （2）已知323,89y x ==，求22x y -．

【答案】（1）1；（2）127 10、计算

（1）()11233210341162563274π-⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；

（2）已知13x x -+=，求1x x --.

【答案】（1）1292；（2）