武汉理工大学whut08高数A(下)试卷及解答

试卷解答： 一、D 、D 、A 、A 、B ．

二、1.（4，1，-2）；2.2π；

3.1

0(,)dy f x y dx ⎰⎰

; 4.2

π

; 5.3y x x =-.

三、1. 1122211f f f dz dx dy f f '''+=

+''

++ 2. 特征根12

1,2r r =-=。对应齐次方程的通解：212x x

y c e c e -=+。 设非齐次方程的解为：()x y ax b e *

=+代入方程得到：a =2,b =1.

原方程得通解是：212(21)x x x y

c e c e x e -=+++。

四、1．对z 轴的转动惯量为22

()z I x y dS ρ∑

=+⎰⎰

=2

2221

(x y x y ρ+≤+⎰⎰

213

02

d r dr π

θπρ=⎰

⎰

2．收敛域：（0，2）

令x -1=t , 则1

1

1

(

)(1)n

n

n

n n n T t n t n t t ∞∞∞=====+-∑∑∑，而1

1

11n n t t

∞

==

--∑，

21

1(1)1(1)n n n t t ∞

=+=

--∑， 2

()(1)

t

T t t ∴=-。 和函数21

()(1)(0,2)

(2)

x S x T x x x -=-=

∈- 13

()22

2n

n n S ∞

===∑。 五、1．加有向线段BO 、OA 。其中B （0，3）、O （0，0）、A （2，0）,

设曲线L+BO+OA 所包围的平面区域为D 。

原式=

(sin 5)(cos 5)x x L BO OA

e y y dx e y dy ++-+-⎰

-(sin 5)(cos 5)x x BO

e y y dx e y dy -+-⎰

-

(sin 5)(cos 5)x x OA

e y y dx e y dy -+-⎰

=

3

15

5(cos 5)sin3152

D

dxdy y dy π+-=

+-⎰⎰⎰。 2．原式=

1

2

3

zdV z dz π

πΩ

==

⎰⎰⎰⎰

六、法一：由于0z ≥， 设22(2)(1)L z z x y x y λμ=+--++-

令：22

4020

102010x y z L x L y L L z x y L x y λμλμλμλ⎧=-+=⎪

=-+=⎪⎪

=+=⎨⎪=--=⎪⎪=+-=⎩

解得唯一点：122(,,)

333 根据问题的几何特征最大距离是+∞，最小距离是（2/3）

法二：过曲线平行于y 轴的投影柱面是:2321z

x x =-+,开口向z 正半轴的抛物

柱面，原问题可以转化成，求xoz 平面上的投影曲线到x 轴的最大、最小距离。最大距离是+∞。最小距离就是函数2321z

x x =-+的最小值。

2321z x x =-+， 62z x '=- 令62z x '=-=0 解得：1

3

x =。

曲线上点122

(

,,)333

到xoy 平面的距离最小，最小距离是（2/3）。 七、设曲面上过A 点的任意一条曲线为L ：()()()x x t y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

，A 点对应的参变量0t t =；

则有：(

(),(),())F x t y t z t =，且()()()()()(()0

x y

z

A

F x t F y t F z t '''++=。 即：000(1,1,1)()(1,1,1)()(1,1,1)()0

x y z F x

t F y t F z t '''++=。由L 的任意性可证结论成立。