高中数学知识点总结ppt
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显然，这里很容易解出 A={-1,3}.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千 万小心， 还有一个 B 为空集的情况， 也就是 a=0,不要把它搞忘记了。
（）集合 1 a1，a2，„„，an 的所有子集个
数是 2 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则 对于元素 a1 来说， 有 2 种选择 （在或者不在） 。 同样，对于元素 a2, a3,„„an,都有 2 种选择， 所以，总共有 2 种选择， 即集合 A 有 2 个 子集。 当然，我们也要注意到，这 2 种情况之 中， 包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情 况，故真子集个数为 2 1 ，非空真子集个数
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊 情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A x| x 2 2x 3 0 ，B x| ax 1
若B A，则实数a的值构成的集合为 1 （答： 1， 0， ） 3
高中数学必胜秘籍
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素， 及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 如：集合A x | y lg x，B y | y lg x， C ( x, y ) | y lg x，A、B、C 中元素各表示什么？ A 表示函数 y=lgx 的定义域， B 表示的 是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹
例求函数 y=
( x 2)
2
+
( x 8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间 的距离之和。 由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）
函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数
y tan x
x R, 且x k , k 2
余切函数 y cot x 反三角函数的定义域
e 1 2sin 1 例 求 函 数 y= x ， y ， 1 sin e 1
x
2sin 1 y 的值域。 1 cos
ex 1 1 y x y x e 0 1 y e 1 2 sin 1 1 y y | sin || | 1, 1 sin 2 y 2 sin 1 y 2 sin 1 y (1 cos ) 1 cos 2 sin y cos 1 y 4 y sin( x) 1 y, 即sin( x)
注意，有时候由集合本身就可以得到 大量信息，做题时不要错过； 如告诉 你函数 f(x)=ax +bx+c(a>0) 在 ( ,1)
2
上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”()，“且” ()和“非” ().
2 x2 x 1 （x+1） （x+1） +1 1 例：y （x+1） 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1
4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其 原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x 4 例 求函数 y= 值域。 5x 6
5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数 的有界性， 来确定函数的值域。 我们所说的单调 性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数 y=
x
2
6 x 13 +来自百度文库
x
2
2
4 x 5 的值域
解：原函数可变形为： y=
( x 3)
2
(0 2 )
2
+
( x 2)
( 0 1)
2
上式可看成 x 轴上的点 P （x， 0） 到两定点 A （3， 2） ， B （-2 ， -1 ）的距离之和， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y min =∣AB∣=
（3）德摩根定律：
CU A B CU A CU B ， CU A B CU A CU B
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
A B A B, A B A B
（4）交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A； ②A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A； ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB， Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
若p q为真，当且仅当 p、q均为真
若p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当 p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。 ） 原命题与逆否命题同真、同假； 逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） A {x | x 满足条件 p} ， B {x | x 满足条件 q} ， 若 若 若 若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的必要非充分条件 A _____ B ；
n n n n n
3. 注意下列性质：
为2 2
n
（ 2）若A B A B A，A B B；
有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B； ②A∪B=B A B； ③A B C uA C uB； ④A∩CuB = CuA B； ⑤CuA∪B=I A B。
2
1 y 4 y2
又由 sin( x) 1知
1 y 4 y2
1
解不等式，求出y，就是要求的答案
6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考 考的较多的一个内容 例求函数 y=
2
x 5
log
3
x 1
（2≤x≤10）的值域
7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题 型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要 方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例 求函数 y=x+ x 1 的值域。
；则 p 是 q 的充要条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ____ ；
7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性， 哪几种对 应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ） 注意映射个数的求法。 如集合 A 中有 m 个元素， 集 m 合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n 个。 如： 若 A {1,2,3,4} ，B {a, b, c} ； 问： A 到 B 的 映射有 个， B 到 A 的映射有 个； A 到 B 的 函数有 个，若 A {1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射 有 个。 函 数 y ( x) 的 图 象 与 直 线 x a 交 点 的 个 数 为 个。
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
ax 5 如：已知关于x的不等式 2 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a x a
的取值范围。
a· 3 5 （∵ 3 M，∴ 2 0 3 a a·5 5 ∵5 M，∴ 2 0 5 a
5 a 1， 9， 25 ） 3
(3 2) (21)
2
2
= 43 ，
故所求函数的值域为[ 43 ，+∞） 。
例求函数 y= y=
x
2
2
6 x 13 2
x
2
4 x 5 的值域
2
解：将函数变形为：
( x 3)
(0 2 )
-
( x 2)
( 0 1)
2
上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0 ）的距离与定点 B（-2， 1）到点 P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知： （1） 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时， 如点 P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣= ( 3 2 ) 2 ( 2 1) 2 = 26 即：- 26 ＜y＜ 26 （ 2 ） 当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 ， 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 26 。 综上所述，可知函数的值域为： （- 26 ，- 26 ） 。
11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1 例 求函数 y= 的值域 x
2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x -2x+5，x [-1，2]的值域。
2
3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有 一个是二次）都可通用，但这类题型有时也 可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别 式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大 家能够看懂
y f g ( x) 的定义域，可由 m g ( x) n 解出 x 的范围，即为 y f g ( x) 的定义域。
例
1 若 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 为 ,2 ， 则 2
。
f (log 2 x) 的定义域为
1 分析：由函数 y f ( x ) 的定义域为 ,2 可知： 2 1 1 x 2 ；所以 y f (log 2 x) 中有 log 2 x 2 。 2 2 1 解：依题意知： log 2 x 2 2 解之，得 2x4 ∴ f (log 2 x ) 的定义域为 x | 2 x 4
8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义， 如两点的距 离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏 心悦目。 2 2 例：已知点 P（x.y）在圆 x +y =1 上，
y 的取值范围 (1) x2 (2)y-2x的取值范围 y 解:(1)令 k , 则y k ( x 2), 是一条过(-2,0)的直线. x2 d R(d 为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x b,即y 2 x b 0, 也是直线d d R
8. 函数的三要素是什么？如何比较两 个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定 义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数 y
x4 x lg x 3
2
的定义域是
（答：0， 2 2 ， 3 3， 4）
x R, 且x k , k
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x)的定义域是 a，b ，b a 0，则函数F(x) f (x) f (x)的定
义域是_____________。
（答： a， a ）
复 合 函 数 定 义 域 的 求 法 ： 已 知 y f ( x) 的 定 义 域 为 m, n ， 求
b 型：直接用不等式性质 a. y 2 k+x bx 型,先化简，再用均值不等式 b. y 2 x mx n x 1 1 例：y 2 1 2 1+x x+ x x2 m x n c.. y 2 型 通常用判别式 x mx n x2 mx n d. y 型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
（）集合 1 a1，a2，„„，an 的所有子集个
数是 2 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则 对于元素 a1 来说， 有 2 种选择 （在或者不在） 。 同样，对于元素 a2, a3,„„an,都有 2 种选择， 所以，总共有 2 种选择， 即集合 A 有 2 个 子集。 当然，我们也要注意到，这 2 种情况之 中， 包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情 况，故真子集个数为 2 1 ，非空真子集个数
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊 情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A x| x 2 2x 3 0 ，B x| ax 1
若B A，则实数a的值构成的集合为 1 （答： 1， 0， ） 3
高中数学必胜秘籍
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素， 及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 如：集合A x | y lg x，B y | y lg x， C ( x, y ) | y lg x，A、B、C 中元素各表示什么？ A 表示函数 y=lgx 的定义域， B 表示的 是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹
例求函数 y=
( x 2)
2
+
( x 8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间 的距离之和。 由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）
函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数
y tan x
x R, 且x k , k 2
余切函数 y cot x 反三角函数的定义域
e 1 2sin 1 例 求 函 数 y= x ， y ， 1 sin e 1
x
2sin 1 y 的值域。 1 cos
ex 1 1 y x y x e 0 1 y e 1 2 sin 1 1 y y | sin || | 1, 1 sin 2 y 2 sin 1 y 2 sin 1 y (1 cos ) 1 cos 2 sin y cos 1 y 4 y sin( x) 1 y, 即sin( x)
注意，有时候由集合本身就可以得到 大量信息，做题时不要错过； 如告诉 你函数 f(x)=ax +bx+c(a>0) 在 ( ,1)
2
上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”()，“且” ()和“非” ().
2 x2 x 1 （x+1） （x+1） +1 1 例：y （x+1） 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1
4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其 原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x 4 例 求函数 y= 值域。 5x 6
5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数 的有界性， 来确定函数的值域。 我们所说的单调 性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数 y=
x
2
6 x 13 +来自百度文库
x
2
2
4 x 5 的值域
解：原函数可变形为： y=
( x 3)
2
(0 2 )
2
+
( x 2)
( 0 1)
2
上式可看成 x 轴上的点 P （x， 0） 到两定点 A （3， 2） ， B （-2 ， -1 ）的距离之和， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y min =∣AB∣=
（3）德摩根定律：
CU A B CU A CU B ， CU A B CU A CU B
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
A B A B, A B A B
（4）交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A； ②A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A； ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB， Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
若p q为真，当且仅当 p、q均为真
若p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当 p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。 ） 原命题与逆否命题同真、同假； 逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） A {x | x 满足条件 p} ， B {x | x 满足条件 q} ， 若 若 若 若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的必要非充分条件 A _____ B ；
n n n n n
3. 注意下列性质：
为2 2
n
（ 2）若A B A B A，A B B；
有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B； ②A∪B=B A B； ③A B C uA C uB； ④A∩CuB = CuA B； ⑤CuA∪B=I A B。
2
1 y 4 y2
又由 sin( x) 1知
1 y 4 y2
1
解不等式，求出y，就是要求的答案
6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考 考的较多的一个内容 例求函数 y=
2
x 5
log
3
x 1
（2≤x≤10）的值域
7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题 型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要 方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例 求函数 y=x+ x 1 的值域。
；则 p 是 q 的充要条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ____ ；
7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性， 哪几种对 应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ） 注意映射个数的求法。 如集合 A 中有 m 个元素， 集 m 合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n 个。 如： 若 A {1,2,3,4} ，B {a, b, c} ； 问： A 到 B 的 映射有 个， B 到 A 的映射有 个； A 到 B 的 函数有 个，若 A {1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射 有 个。 函 数 y ( x) 的 图 象 与 直 线 x a 交 点 的 个 数 为 个。
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
ax 5 如：已知关于x的不等式 2 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a x a
的取值范围。
a· 3 5 （∵ 3 M，∴ 2 0 3 a a·5 5 ∵5 M，∴ 2 0 5 a
5 a 1， 9， 25 ） 3
(3 2) (21)
2
2
= 43 ，
故所求函数的值域为[ 43 ，+∞） 。
例求函数 y= y=
x
2
2
6 x 13 2
x
2
4 x 5 的值域
2
解：将函数变形为：
( x 3)
(0 2 )
-
( x 2)
( 0 1)
2
上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0 ）的距离与定点 B（-2， 1）到点 P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知： （1） 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时， 如点 P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣= ( 3 2 ) 2 ( 2 1) 2 = 26 即：- 26 ＜y＜ 26 （ 2 ） 当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 ， 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 26 。 综上所述，可知函数的值域为： （- 26 ，- 26 ） 。
11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1 例 求函数 y= 的值域 x
2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x -2x+5，x [-1，2]的值域。
2
3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有 一个是二次）都可通用，但这类题型有时也 可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别 式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大 家能够看懂
y f g ( x) 的定义域，可由 m g ( x) n 解出 x 的范围，即为 y f g ( x) 的定义域。
例
1 若 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 为 ,2 ， 则 2
。
f (log 2 x) 的定义域为
1 分析：由函数 y f ( x ) 的定义域为 ,2 可知： 2 1 1 x 2 ；所以 y f (log 2 x) 中有 log 2 x 2 。 2 2 1 解：依题意知： log 2 x 2 2 解之，得 2x4 ∴ f (log 2 x ) 的定义域为 x | 2 x 4
8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义， 如两点的距 离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏 心悦目。 2 2 例：已知点 P（x.y）在圆 x +y =1 上，
y 的取值范围 (1) x2 (2)y-2x的取值范围 y 解:(1)令 k , 则y k ( x 2), 是一条过(-2,0)的直线. x2 d R(d 为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x b,即y 2 x b 0, 也是直线d d R
8. 函数的三要素是什么？如何比较两 个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定 义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数 y
x4 x lg x 3
2
的定义域是
（答：0， 2 2 ， 3 3， 4）
x R, 且x k , k
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x)的定义域是 a，b ，b a 0，则函数F(x) f (x) f (x)的定
义域是_____________。
（答： a， a ）
复 合 函 数 定 义 域 的 求 法 ： 已 知 y f ( x) 的 定 义 域 为 m, n ， 求
b 型：直接用不等式性质 a. y 2 k+x bx 型,先化简，再用均值不等式 b. y 2 x mx n x 1 1 例：y 2 1 2 1+x x+ x x2 m x n c.. y 2 型 通常用判别式 x mx n x2 mx n d. y 型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉