高考数学-解答题答题模板
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答题模板【模板·细则概述】
【模板·细则概述】
“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型,分析解题的一般思路,规划解题的程序和格式,拟定解题的最佳方案,实现答题效率的最优化.
评分细则是阅卷的依据,通过认真研读评分细则,重视解题步骤的书写,规范解题过程,做到会做的题得全分;对于最后的压轴题也可以按步得分,踩点得分,一分也要抢.
模板1 三角函数的图象与性质
典例1 (12分)已知m =(cos ωx ,3cos(ωx +π)),n =(sin ωx ,cos ωx ),其中ω>0,f (x )=m·n ,且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π
2.
(1)若f (α2)=-34,α∈(0,π
2
),求cos α的值;
(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后向左平移π
6个
单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求函数y =g (x )的单调递增区间.
审题路线图 (1)f (x )=m·n ――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性
周期性求出ω cos α
(2)y =f (x )――→图象变换
y =g (x )――→整体思想
g (x )的递增区间
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 解 f (x )=m·n =cos ωx sin ωx +3cos(ωx +π)cos ωx =cos ωx sin ωx -3cos ωx cos ωx
=sin 2ωx 2-3(cos 2ωx +1)2=sin(2ωx -π3)-32.3分
∵f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2,
∴T =π,∴ω=1,∴f (x )=sin(2x -π3)-3
2.4分
(1)f (α2)=sin(α-π3)-32=-34,∴sin(α-π3)=3
4
,
∵α∈(0,π2),sin(α-π3)=34,∴α-π3∈(-π3,π6),∴cos(α-π3)
=13
4
.6分
第一步 化简:利用辅助角将f (x )化成y =A sin(ωx +φ)的形式.
第二步 求值:根据三角函数的和差公式求三角函数值.
第三步 整体代换:将“ωx +φ”看作一个整体,确定f (x )的性质.
第四步 反思:查看角的范围的影响,评价任意结果的合理性,检查步骤的规范性.
评分细则 1.化简f (x )的过程中,诱导公式和二倍角公式的使用各给1分;如果只有最后结果没有过程,则给1分;最后结果正确,但缺少上面的某一步过程,不扣分;
2.计算cos α时,算对cos(α-π3)给1分;由cos(α-π3)计算sin(α-π
3)时没有考虑范围扣1分;
3.第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分;最后结果不用区间表示不给分;区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分;没有2k π的不给分.
跟踪演练1 已知函数f (x )=3sin ωx cos ωx +cos 2ωx -12(ω>0),其最小正周期为π
2.
(1)求f (x )的表达式;
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变),得到函数y =g (x )的图象,若关于x 的方程g (x )+k =0在区间[0,π
2]上有且只有
一个实数解,求实数k 的取值范围. 解 (1)f (x )=3sin ωx cos ωx +cos 2ωx -1
2
=
32sin 2ωx +cos 2ωx +12-12=sin(2ωx +π
6
), 由题意知f (x )的最小正周期T =π2,T =2π2ω=πω=π2,
所以ω=2,所以f (x )=sin(4x +π
6
).
(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后,得到y =sin(4x -π
3)的图象;再将所得图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y =sin(2x -π
3)的图象,所以g (x )=sin(2x
-π3
),
因为0≤x ≤π2,所以-π3≤2x -π3≤2π
3,
所以g (x )∈[-
3
2
,1]. 又g (x )+k =0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,即函数y =g (x )与y =-k 在区间[0,π
2]
上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知-32≤-k <3
2
或-k =1, 解得-
32<k ≤3
2
或k =-1, 所以实数k 的取值范围是(-
32,3
2
]∪{-1}. 模板2 解三角形
典例2 (12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =3,cos A =6
3
,B =A +π
2.
(1)求b 的值; (2)求△ABC 的面积.
审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S =1
2ac sin B
方法二用和角正弦公式求sin C →S =1
2ab sin C
评分细则 1.第(1)问:没求sin A 而直接求出sin B 的值,不扣分;写出正弦定理,但b 计算错误,得1分.
2.第(2)问:写出余弦定理,但c 计算错误,得1分;求出c 的两个值,但没舍去,扣2分;面积公式正确,但计算错误,只给1分;若求出sin C ,利用S =1
2ab sin C 计算,同样得分.
跟踪演练2 已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角的对边,且3cos C +sin C =3a b
, (1)求B 的大小;
(2)若a +c =57,b =7,求AB →·BC →
的值. 解 (1)∵3cos C +sin C =
3a
b
, 由正弦定理可得:3cos C +sin C =
3sin A
sin B
, ∴3cos C sin B +sin B sin C =3sin A , 3cos C sin B +sin B sin C =3sin(B +C )
3cos C sin B +sin B sin C =3sin B cos C +3cos B sin C , sin B sin C =3sin C cos B , ∵sin C ≠0,∴sin B =3cos B , ∴tan B =3, 又0<B <π,∴B =π
3.
(2)由余弦定理可得:
2ac cos B =a 2+c 2-b 2=(a +c )2-2ac -b 2, 整理得:3ac =(a +c )2-b 2, 即:3ac =175-49.∴ac =42, ∴AB →·BC →=-BA →·BC → =-|BA →||BC →|·cos B =-ac ·cos B =-21.
模板3 数列的通项与求和问题
典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表,用a ij 表示第i 行第j 个数(i ,j ∈N *),已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知a 11=1,a 31+a 61=9,a 35=48.
a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn
(1)求a n 1和a 4n ;
(2)设b n =a 4n
(a 4n -2)(a 4n -1)+(-1)n ·a n 1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .
审题路线图
数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n
分析b n 的特征
――→
选定求和方法
分组法及裂项法、公式法求和
评分细则 (1)求出d 给1分,求a n 1时写出公式结果错误给1分;求q 时没写q >0扣1分; (2)b n 写出正确结果给1分,正确进行裂项再给1分; (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ,只要结论正确不扣分; (4)当n 为奇数时,求S n 中间过程缺一步不扣分.
跟踪演练3 在等差数列{a n }中,首项a 1=-1,数列{b n }满足b n =(12)n a ,且b 1b 2b 3=1
64.
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设c n =(-1)n
6n -5
a n a n +1
,求数列{c n }的前n 项的和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .
∵a 1=-1,∴a 1+a 2+a 3=-3+3×2
2d =3d -3.
∵数列{b n }满足b n =(12)n a ,且b 1b 2b 3=1
64,
∴(12)123a a a ++=(12)3d -3=(1
2
)6, ∴3d -3=6,解得d =3.∴a n =-1+3(n -1)=3n -4. (2)∵c n =(-1)n
6n -5a n a n +1=(-1)n (13n -4+1
3n -1
), ∴当n 为偶数时,数列{c n }的前n 项的和
T n =-(-1+12)+(12+15)-…-(13n -7+13n -4)+(13n -4+13n -1)=1+13n -1=3n
3n -1.
当n 为奇数时,数列{c n }的前n 项的和 T n =T n -1-(13n -4+1
3n -1
)
=3(n -1)3(n -1)-1-(13n -4+13n -1)=3n -23n -1
.
∴T n
=⎩⎪⎨⎪⎧
3n
3n -1
,n 为偶数,3n -2
3n -1,n 为奇数.
模板4 空间中的平行与垂直关系
典例4 (12分)如图,四棱锥P —ABCD 的底面为正方形,侧面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD ,E ,F ,H 分别为AB ,PC ,BC 的中点.
(1)求证:EF ∥平面P AD ; (2)求证:平面P AH ⊥平面DEF .
审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用
中位线定理取PD 中点M ――→考虑平行关系长度关系
平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行
的判定定理EF ∥平面P AD
(2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ――→面面垂直
的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ―――――→
正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点
DE ⊥AH ――→线面垂直
的判定定理DE ⊥平面P AH ――→面面垂直的
判定定理平面P AH ⊥平面DEF
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 证明 (1)取PD 中点M ,连接FM ,AM .
∵在△PCD 中,F ,M 分别为PC ,PD 的中点,∴FM ∥CD 且FM =12
CD .
∵在正方形ABCD 中,AE ∥CD 且AE =1
2CD ,
∴AE ∥FM 且AE =FM ,
则四边形AEFM 为平行四边形,∴AM ∥EF ,4分
第一步 找线线:通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.
第二步 找线面:通过线线垂直或平行,利用判定定理,找线面垂直或平行;也可由面面关系的
性质找线面垂直或平行. 第三步 找面面:通过面面关系的判定定理,寻找面面垂直或平行.
第四步 写步骤:严格按照定理
∵EF⊄平面P AD,AM⊂平面P AD,
中的条件规范书写解题步骤.
∴EF∥平面P AD.6分
(2)∵侧面P AD⊥底面ABCD,P A⊥AD,侧面P AD∩底
面ABCD=AD,
∴P A⊥底面ABCD,∵DE⊂底面ABCD,∴DE⊥P A.
∵E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,
∴Rt△ABH≌Rt△DAE,
则∠BAH=∠ADE,∴∠BAH+∠AED=90°,则
DE⊥AH,8分
∵P A⊂平面P AH,AH⊂平面P AH,P A∩AH=A,∴DE⊥
平面P AH,
∵DE⊂平面EFD,∴平面P AH⊥平面DEF.12分
评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分;通过AM∥EF证线面平行时,缺1个条件扣1分;利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分;
2.第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分;证明DE⊥AH时只要指明E,H分别为正方形边AB,BC中点得DE⊥AH不扣分;证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH,DE⊥P A,缺少条件不扣分.
跟踪演练4(2015·北京)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥VABC的体积.
(1)证明因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM∥VB,
又因为VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)证明因为AC=BC,O为AB的中点,
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB ⊥平面ABC ,且OC ⊂平面ABC , 所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC , 所以平面MOC ⊥平面VAB .
(3)解 在等腰直角三角形ACB 中,AC =BC =2, 所以AB =2,OC =1,
所以等边三角形VAB 的面积S △VAB = 3. 又因为OC ⊥平面VAB .
所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB =3
3,
又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等, 所以三棱锥VABC 的体积为
33
. 模板5 概率与统计的综合问题
典例5 (12分)海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A ,B ,C 各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率. 审题路线图
利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量
→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解
评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分;
(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分;
(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分;
(4)最后没下结论的扣1分.
跟踪演练5近日,某市楼市迎来去库存一系列新政,其中房产税收中的契税和营业税双双下调,对住房市场持续增长和去库存产生积极影响.某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动,其中A户型每套面积为100平方米,均价1.1万元/平方米,B户型每套面积80平方米,均价1.2万元/平方米.下表是这18套住宅每平方米的销售价格:(单位:万元/平方米):
(1)求a,b的值;
(2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子,求至少有一套面积为100平方米的概率.
解(1)a=1.16,b=1.17.
(2)A户型小于100万的有2套,设为A1,A2;
B户型小于100万的有4套,设为B1,B2,B3,B4,
买两套售价小于100万的房子所含基本事件为:
{A1,A2},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,B4},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A2,B4},{B1,B2},{B1,B3},{B1,B4},{B2,B3},{B2,B4},{B3,B4},共有15个.
令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”,
则A 中所含基本事件有{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 1,B 4},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{A 2,B 4},共9个.
∴P (A )=915=35,即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为3
5
.
模板6 直线与圆锥曲线的位置关系
典例6 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心
率为
3
2
,且点⎝⎛⎭⎫3,12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设椭圆E :x 24a 2+y 2
4b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y =kx +m 交椭圆E 于A ,
B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |
的值;
(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→求出a
基本量法求得椭圆C 方程
(2)①P 在C 上,Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP |
. ②直线y =kx +m 和椭圆E 方程联立――→通法
研究判别式Δ并判断根与系数的关系 ―→用m ,k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值――――――→利用①得
S △ABQ
和S △OAB
关系
得S △ABQ 最大值
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 解 (1)由题意知3a 2+14b 2=1.又a 2-b 2a =32,
解得
a 2=4,
b 2=1.所以椭圆
C 的方程为x 24
+y 2
=1.2分
(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 2
4
=1.
(ⅰ)设P (x 0,y 0),|OQ |
|OP |
=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).
因为x 204+y 20=1,又(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24⎝⎛⎭⎫x 204
+y 20=1, 第一步 求圆锥曲线方程:根据基本量法确定圆锥曲线的方程.
第二步 联立消元:将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程:Ax 2+Bx +C =0,然
后研究判别式,利用根与系数的关系.
所以λ=2,即|OQ |
|OP |=2.5分
(ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
将y =kx +m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2
)x 2
+8kmx +4m 2
-16=0, 由Δ>0,可得
m 2<4+16k 2,①
则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-16
1+4k 2.
所以|x 1-x 2|=416k 2+4-m 2
1+4k 2
.
因为直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S =1
2|m ||x 1-x 2|=216k 2+4-m 2|m |1+4k 2
=2(16k 2+4-m 2)m 2
1+4k 2
=2
⎝⎛⎭⎫4-m 2
1+4k 2m 21+4k 2
.8分 设m 21+4k 2
=t ,将y =kx +m 代入椭圆C 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0,由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.②
由①②可知0<t ≤1,因此S =2(4-t )t =2-t 2+4t , 故S ≤23,当且仅当t =1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6 3.12分 第三步 找关系:从题设中寻求变量的等量或不等关系.
第四步 建函数:对范围最值类问题,要建立关于目标变量的函数关系. 第五步 得范围:通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值,要注意变量条件的制约,检查最值取得的条件.
评分细则 1.第(1)问中,求a 2-c 2=b 2关系式直接得b =1,扣1分;
2.第(2)问中,求|OQ ||OP |时,给出P ,Q 坐标关系给1分;无“Δ>0”和“Δ≥0”者,每处扣1
分;联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分;根与系数的关系写出后再给1分;求最值时,不指明最值取得的条件扣1分.
跟踪演练6 已知中心在原点O ,焦点在x 轴上,离心率为
32的椭圆过点(2,22
).
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ,Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成
等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.
解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),
则c a =32(其中c 2=a 2-b 2,c >0),且2a 2+1
2b 2=1, 故a =2,b =1.
所以椭圆的方程为x 24
+y 2
=1.
(2)由题意可知,直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l :y =kx +m (m ≠0), 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y =kx +m ,x 2+4y 2=4, 消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2-1)=0,
则Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0, 且x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2
,
故y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2, 因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以y 1x 1·y 2x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2
,
即m 2-4k 2
4(m 2-1)
=k 2. 又m ≠0,所以k 2=14,即k =±1
2
.
由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且Δ>0, 得0<m 2<2,且m 2≠1,
设d 为点O 到直线l 的距离,则d =|2m |
5,
|PQ |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =5(2-m 2),
所以S =1
2|PQ |d =m 2(2-m 2)
<m 2+2-m 22
=1(m 2≠1),
故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).
模板7 解析几何中的探索性问题
典例7 (12分)已知定点C (-1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的动直线与椭圆相交于A ,B 两点.
(1)若线段AB 中点的横坐标是-1
2
,求直线AB 的方程;
(2)在x 轴上是否存在点M ,使MA →·MB →
为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
审题路线图 (1)设AB 的方程y =k (x +1)→待定系数法求k →写出方程
(2)设M 存在即为(m ,0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论
评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分; (2)不验证Δ>0,扣1分;
(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分; (4)没有假设存在点M 不扣分;
(5)MA →·MB →
没有化简至最后结果扣1分,没有最后结论扣1分.
跟踪演练7 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为1
2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长
为半径的圆与直线7x -5y +12=0相切. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设A (-4,0),过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点,连接AP ,AQ 分别交直线x =16
3于M ,N 两点,若直线MR ,NR 的斜率分别为k 1,k 2,试问:k 1k 2是否为
定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
解 (1)由题意得⎩⎨⎧
c a =12
,127+5
=b ,
a 2
=b 2
+c 2
,
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a =4,
b =23,
c =2,
故椭圆C 的方程为x 216+y 2
12=1.
(2)设直线PQ 的方程为x =my +3, P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
16+y 2
12=1,x =my +3,
∴(3m 2+4)y 2+18my -21=0. ∴y 1+y 2=-18m 3m 2+4,y 1y 2=-213m 2+4
,
由A ,P ,M 三点共线可知y M 163+4=y 1
x 1+4,
∴y M =28y 1
3(x 1+4).
同理可得y N =28y 2
3(x 2+4),
∴k 1k 2=y M 163-3×y N
163-3
=9y M y N 49=16y 1y 2
(x 1+4)(x 2+4)
∵(x 1+4)(x 2+4)=(my 1+7)(my 2+7) =m 2y 1y 2+7m (y 1+y 2)+49 ∴k 1k 2=16y 1y 2m 2y 1y 2+7m (y 1+y 2)+49
=-12
7
,为定值.
模板8 函数的单调性、极值与最值问题
典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性;
(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围.
审题路线图 求f ′(x )――→讨论f ′(x )
的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a -2.
评分细则 (1)函数求导正确给1分; (2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分; (3)求出最大值给2分;
(4)构造函数g (a )=ln a +a -1给2分; (5)通过分类讨论得出a 的范围,给2分. 跟踪演练8 设函数f (x )=x
ln x
-ax .
(1)若函数f (x )在[2,+∞)上为减函数,求实数a 的最小值;
(2)若存在x 1,x 2∈[e ,e 2],使f (x 1)≤f ′(x 2)+a 成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)由已知得x >0,x ≠1,
f ′(x )=ln x -1
ln 2x -a ≤0在[2,+∞)上恒成立,
∴当x ∈[2,+∞)时,f ′(x )max ≤0. 又f ′(x )=ln x -1ln 2x -a =-1ln 2x +1
ln x
-a
=-(1ln x -12)2+1
4
-a ,
故当1ln x =12,即x =e 2时,f ′(x )max =14-a .
∴14-a ≤0,即a ≥14,故a 的最小值为14
. (2)命题“若存在x 1,x 2∈[e ,e 2],使f (x 1)≤f ′(x 2)+a 成立”等价于“当x ∈[e ,e 2]时,有f (x )min ≤f ′(x )max +a ”.
由(1)知,当x ∈[e ,e 2]时,f ′(x )max =1
4-a ,
∴f ′(x )max +a =1
4
.
问题等价于“当x ∈[e ,e 2]时,有f (x )min ≤1
4”.
①当a ≥1
4时,由(1)知,f (x )在[e ,e 2]上为减函数,
则
f (x )min =f (e 2)=
e 22-a e 2≤14,故a ≥12-14e
2. ②当a <14时,由于f ′(x )=-(1ln x -12)2+14-a 在[e ,e 2]上的值域为[-a ,1
4-a ].
(ⅰ)-a ≥0,即a ≤0时,f ′(x )≥0在[e ,e 2]上恒成立, 故f (x )在[e ,e 2]上为增函数,
于是f (x )min =f (e)=e -a e ≥e>1
4,矛盾.
(ⅱ)-a <0,即0<a <1
4,
由f ′(x )的单调性和值域知,
存在唯一x 0∈[e ,e 2],使f ′(x 0)=0,且满足: 当x ∈(e ,x 0)时,f ′(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(x 0,e 2)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数. ∴由x 0ln x 0-ax 0≤14
,得
a ≥1ln x 0-14x 0>1ln e 2-14e >12-14=14,与0<a <14矛盾. 综上,得a ≥12-14e 2.。