高考数学-解答题答题模板

答题模板【模板·细则概述】
【模板·细则概述】
“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．
模板1 三角函数的图象与性质
典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π
2.
(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π
2
)，求cos α的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π
6个
单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．
审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性
周期性求出ω cos α
(2)y ＝f (x )――→图象变换
y ＝g (x )――→整体思想
g (x )的递增区间
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 解 f (x )＝m·n ＝cos ωx sin ωx ＋3cos(ωx ＋π)cos ωx ＝cos ωx sin ωx －3cos ωx cos ωx
＝sin 2ωx 2－3(cos 2ωx ＋1)2＝sin(2ωx －π3)－32.3分
∵f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴T ＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(2x －π3)－3
2.4分
(1)f (α2)＝sin(α－π3)－32＝－34，∴sin(α－π3)＝3
4
，
∵α∈(0，π2)，sin(α－π3)＝34，∴α－π3∈(－π3，π6)，∴cos(α－π3)
＝13
4
.6分
第一步 化简：利用辅助角将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．
第二步 求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值．
第三步 整体代换：将“ωx ＋φ”看作一个整体，确定f (x )的性质．
第四步 反思：查看角的范围的影响，评价任意结果的合理性，检查步骤的规范性.
评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；
2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π
3)时没有考虑范围扣1分；
3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．
跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π
2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π
2]上有且只有
一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －1
2
＝
32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π
6
)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，
所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π
6
)．
(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π
3)的图象；再将所得图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π
3)的图象，所以g (x )＝sin(2x
－π3
)，
因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π
3，
所以g (x )∈[－
3
2
，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π
2]
上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <3
2
或－k ＝1， 解得－
32<k ≤3
2
或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－
32，3
2
]∪{－1}. 模板2 解三角形
典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝6
3
，B ＝A ＋π
2.
(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．
审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝1
2ac sin B
方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝1
2ab sin C
评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．
2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝1
2ab sin C 计算，同样得分．
跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b
， (1)求B 的大小；
(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →
的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝
3a
b
， 由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝
3sin A
sin B
， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )
3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3， 又0<B <π，∴B ＝π
3.
(2)由余弦定理可得：
2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即：3ac ＝175－49.∴ac ＝42， ∴AB →·BC →＝－BA →·BC → ＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.
模板3 数列的通项与求和问题
典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.
a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn
(1)求a n 1和a 4n ；
(2)设b n ＝a 4n
(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .
审题路线图
数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n
分析b n 的特征
――→
选定求和方法
分组法及裂项法、公式法求和
评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．
跟踪演练3 在等差数列{a n }中，首项a 1＝－1，数列{b n }满足b n ＝(12)n a ，且b 1b 2b 3＝1
64.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝(－1)n
6n －5
a n a n ＋1
，求数列{c n }的前n 项的和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .
∵a 1＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＝－3＋3×2
2d ＝3d －3.
∵数列{b n }满足b n ＝(12)n a ，且b 1b 2b 3＝1
64，
∴(12)123a a a ＋＋＝(12)3d －3＝(1
2
)6， ∴3d －3＝6，解得d ＝3.∴a n ＝－1＋3(n －1)＝3n －4. (2)∵c n ＝(－1)n
6n －5a n a n ＋1＝(－1)n (13n －4＋1
3n －1
)， ∴当n 为偶数时，数列{c n }的前n 项的和
T n ＝－(－1＋12)＋(12＋15)－…－(13n －7＋13n －4)＋(13n －4＋13n －1)＝1＋13n －1＝3n
3n －1.
当n 为奇数时，数列{c n }的前n 项的和 T n ＝T n －1－(13n －4＋1
3n －1
)
＝3(n －1)3(n －1)－1－(13n －4＋13n －1)＝3n －23n －1
.
∴T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3n
3n －1
，n 为偶数，3n －2
3n －1，n 为奇数.
模板4 空间中的平行与垂直关系
典例4 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .
审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用
中位线定理取PD 中点M ――→考虑平行关系长度关系
平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行
的判定定理EF ∥平面P AD
(2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ――→面面垂直
的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ―――――→
正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点
DE ⊥AH ――→线面垂直
的判定定理DE ⊥平面P AH ――→面面垂直的
判定定理平面P AH ⊥平面DEF
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 证明 (1)取PD 中点M ，连接FM ，AM .
∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点，∴FM ∥CD 且FM ＝12
CD .
∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝1
2CD ，
∴AE ∥FM 且AE ＝FM ，
则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF ，4分
第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．
第二步 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的
性质找线面垂直或平行． 第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．
第四步 写步骤：严格按照定理
∵EF⊄平面P AD，AM⊂平面P AD，
中的条件规范书写解题步骤.
∴EF∥平面P AD.6分
(2)∵侧面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，侧面P AD∩底
面ABCD＝AD，
∴P A⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥P A.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，则
DE⊥AH，8分
∵P A⊂平面P AH，AH⊂平面P AH，P A∩AH＝A，∴DE⊥
平面P AH，
∵DE⊂平面EFD，∴平面P AH⊥平面DEF.12分
评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分；
2．第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分．
跟踪演练4(2015·北京)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥VABC的体积．
(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB，
又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .
(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，
所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .
所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝3
3，
又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等， 所以三棱锥VABC 的体积为
33
. 模板5 概率与统计的综合问题
典例5 (12分)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 审题路线图
利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量
→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解
评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分；
(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；
(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；
(4)最后没下结论的扣1分．
跟踪演练5近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格：(单位：万元/平方米)：
(1)求a，b的值；
(2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．
解(1)a＝1.16，b＝1.17.
(2)A户型小于100万的有2套，设为A1，A2；
B户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4，
买两套售价小于100万的房子所含基本事件为：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共有15个．
令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”，
则A 中所含基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个．
∴P (A )＝915＝35，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为3
5
.
模板6 直线与圆锥曲线的位置关系
典例6 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心
率为
3
2
，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，
B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |
的值；
(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→求出a
基本量法求得椭圆C 方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP |
. ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法
研究判别式Δ并判断根与系数的关系 ―→用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值――――――→利用①得
S △ABQ
和S △OAB
关系
得S △ABQ 最大值
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，
解得
a 2＝4，
b 2＝1.所以椭圆
C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.2分
(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 2
4
＝1.
(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |
＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．
因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204
＋y 20＝1， 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．
第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然
后研究判别式，利用根与系数的关系．
所以λ＝2，即|OQ |
|OP |＝2.5分
(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－16＝0， 由Δ＞0，可得
m 2＜4＋16k 2，①
则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－16
1＋4k 2.
所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 2
1＋4k 2
.
因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝1
2|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2
＝2(16k 2＋4－m 2)m 2
1＋4k 2
＝2
⎝⎛⎭⎫4－m 2
1＋4k 2m 21＋4k 2
.8分 设m 21＋4k 2
＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②
由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ， 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.12分 第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系．
第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系． 第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.
评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；
2．第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1
分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
32的椭圆过点(2，22
)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成
等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋1
2b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1.
所以椭圆的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，
则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2
，
故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2
，
即m 2－4k 2
4(m 2－1)
＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±1
2
.
由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，
设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |
5，
|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5(2－m 2)，
所以S ＝1
2|PQ |d ＝m 2(2－m 2)
<m 2＋2－m 22
＝1(m 2≠1)，
故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．
模板7 解析几何中的探索性问题
典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．
(1)若线段AB 中点的横坐标是－1
2
，求直线AB 的方程；
(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →
为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程
(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论
评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；
(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；
(5)MA →·MB →
没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．
跟踪演练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长
为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝16
3于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为
定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
解 (1)由题意得⎩⎨⎧
c a ＝12
，127＋5
＝b ，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝23，
c ＝2，
故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
16＋y 2
12＝1，x ＝my ＋3，
∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0. ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4
，
由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1
x 1＋4，
∴y M ＝28y 1
3(x 1＋4).
同理可得y N ＝28y 2
3(x 2＋4)，
∴k 1k 2＝y M 163－3×y N
163－3
＝9y M y N 49＝16y 1y 2
(x 1＋4)(x 2＋4)
∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49 ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49
＝－12
7
，为定值.
模板8 函数的单调性、极值与最值问题
典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．
审题路线图 求f ′(x )――→讨论f ′(x )
的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.
评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分；
(4)构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给2分； (5)通过分类讨论得出a 的范围，给2分． 跟踪演练8 设函数f (x )＝x
ln x
－ax .
(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；
(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由已知得x >0，x ≠1，
f ′(x )＝ln x －1
ln 2x －a ≤0在[2，＋∞)上恒成立，
∴当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )max ≤0. 又f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ＝－1ln 2x ＋1
ln x
－a
＝－(1ln x －12)2＋1
4
－a ，
故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .
∴14－a ≤0，即a ≥14，故a 的最小值为14
. (2)命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”．
由(1)知，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝1
4－a ，
∴f ′(x )max ＋a ＝1
4
.
问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤1
4”．
①当a ≥1
4时，由(1)知，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，
则
f (x )min ＝f (e 2)＝
e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e
2. ②当a <14时，由于f ′(x )＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上的值域为[－a ，1
4－a ]．
(ⅰ)－a ≥0，即a ≤0时，f ′(x )≥0在[e ，e 2]上恒成立， 故f (x )在[e ，e 2]上为增函数，
于是f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e>1
4，矛盾．
(ⅱ)－a <0，即0<a <1
4，
由f ′(x )的单调性和值域知，
存在唯一x 0∈[e ，e 2]，使f ′(x 0)＝0，且满足： 当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． ∴由x 0ln x 0－ax 0≤14
，得
a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e >12－14＝14，与0<a <14矛盾． 综上，得a ≥12－14e 2.。