空间几何量的计算二面角

【例1】 （06四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B

两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3

，则二面角B OA C --的大小是（ ）

A ．

π4 B ．π3 C ．π2 D ．2π3

【例2】 （2009浙江17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，

F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．

【例3】 正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大

小．

O

A 1

D 1

C 1

B 1D

C B A

【例4】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面

角11A BD C --的余弦值．

典例分析

板块四.二面角

O

A 1D 1

C 1

B 1D

C

B A

【例5】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．

⑴求二面角1A BC A --的大小；

⑵求二面角1

B A

C P --的大小． P F E

A 1

D 1

C 1B 1D

C B A

【例6】 如图，已知边长为a 的正ABC ∆，以它的高AD 为折痕，把它折成一个二面角

B AD

C '--． ⑴求AB '和面B C

D '所成的角；

⑵若二面角B AD C '--的平面角为120，求出二面角A B C D '--的余弦值．

M

A

B C D

B '

【例7】 在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，且P 、Q 、R 分别为AB 、AD 、1

DD 的中点．求截面PQR 与面11CC D D 所成的锐角二面角的正切值．

【例8】 如图，四边形ABCD

是面积为的菱形，DAB ∠为菱形的锐角，P 是平面外

的一点，PAD ∆是边长为2的正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的中点．

⑴求证：PB ⊥AD ；

⑵求证：平面ADM ⊥平面PBC ．

【例9】 长方体1111ABCD A B C D -中，1AC a =，1AC 与平面ABCD 成30角，与平面11

B BC

C 成45角，求二面角1B AC C --的正弦值或余弦值的大小．

F E

D 1

C 1B 1A 1

D

C B A

【例10】 如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的底边长为2，高为4，过AB 作一截面交侧

棱1CC 于P ，截面与底面成60角，求截面PAB ∆的面积．

P

B C 1

B 1A 1C

A