欧拉方程的求解

欧拉方程的求解.
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欧拉方程的求解
1.引言
在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leo ｎhard E ｕler,1707-－1783）.
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”
欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用π表示
圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位
以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.
在文献[1］中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明．
２.几类欧拉方程的求解
定义１ 形状为
()1(1)110
n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++
++=
(1)
的方程称为欧拉方
程． (其中1a ，2a ，
，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）
二
阶
齐
次
欧
拉
方
程
:
2120
x y a xy a y '''++=. (2）
(其中1a ,2a 为已知常数)
我们注意到，方程（２）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是
2x 、1a x 和02a x ）,且其次依次降低一次．所以根据幂函数求导的性质,我们
用幂函数K y x =来尝试,看能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程（2).
对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得
212()0K K K K K x a Kx a x -++=
或
212[(1)]0K K a K a x +-+=,
消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）
定义 2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程（2)的特征方程.
由此可见,只要常数K 满足特征方程（3),则幂函数K y x =就是方程(2)的解.
于是，对于方程(２）的通解，我们有如下结论:
定理1 方程(２）的通解为
(ｉ） 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =是方程（３)的相等的实根）
(ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程(3)的不等的实根)
(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.(1,2K i αβ=±是方程（3)的一对共轭复根)
(其中1c 、2c 为任意常数)
证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则
1
1K x y =是方程(2）的解,
且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（２）的解（由于
2
1
()y u x y =，即1y ,2y 线性无关）,将其带入方程（２）,得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,
约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项,得
22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.
由于1K 是特征方程（3)的二重根， 因此
21112(1)0K a K a +-+=
或
112(1)0K a +-=,
于是，得
20x u ux '''+=
或
0xu u '''+=,
即 ()0xu ''=, 故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =,可得方程(2）的另一个特解
12ln K y x x =，
所以，方程(2)的通解为
1112ln K K y c x c x x =+．
（其中1c ,2c 为任意常数）
（ii ）若特征方程（3)有两个不等的实根: 12K K ≠，则
1
1K x y =,2
2K y x =是方程(2)的解．
又2
211()21K K K K y x x y x -==不是常数，即1y ,2y 是线性无关的. 所以,方程(2）的通解为
1
2
12K K x c x y c +=．
（其中1c ，2c 为任意常数）
（iii ）若特征方程(3)有一对共轭复根:1,2K i αβ=±（0β≠)，则
()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程(2)的两个解,
利用欧拉公式，有
()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+, ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,
显然,
12
cos(ln )2y y x x αβ+=
和
12
sin(ln )2y y x x i
αβ-=
是方程(2)的两个线性无关的实函数解． 所以,方程(2）的通解为
12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.
(其中1c ,2c 为任意常数）
例1求方程20x y xy y '''-+=的通解． 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)10K K K --+=，
即 2(1)0K -=, 其根为: 121K K ==, 所以原方程的通解为
12(ln )y c c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例2 求方程280x y xy y '''--=的通解．
解 该欧拉方程的特征方程为
2(11)80K K +---=,
即 2280K K --=， 其根为: 12K =-，24K =，
所以原方程的通解为
41
22c y c x x
=
+. (其中1c ,2c 为任意常数）
例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)350K K K -++=,
即 2250K K ++=， 其根为： 1,212K i =-±， 所以原方程的通解为
121
[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x
=+．
(其中1c ,2c 为任意常数）
２.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）
二阶非齐次欧拉方程:212()x y a xy a y f x ++='''. (4）
（其中1a ,2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）
为了使方程（４)降阶为一阶线性微分方程,不妨设
1121a K K =--，212a K K =，
（5）
则方程(4）变为
212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，
即
212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''',
(6)
根据韦达定理,由（5)式可知,1K ，2K 是一元二次代数方程
212(1)0K a K a +-+=
（3）
的两个根．
具体求解方法:
定理2 若1K ，2K 为方程(2）的两个特征根，则方程（４）的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.
（７）
证明 因为1K ，2K 为方程(2）的两个特征根， 于是方程（4)等价于方程(6),
令 2xy K y p '-=, 代入方程（6)并整理,得
1()
K f x p x x p =
-
' 和
2K p y y x x
'-
=, 解之，得方程（4)的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰．
由定理2知，只需要通过两个不定积分(当(７)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解．为了方便计算,给出如下更直接的结论．
定理3 若1K ,2K 为方程(2）的两个特征根，则
(ｉ）当12K K =是方程(2）的相等的实特征根时，方程（４）的通解为
1
1
1
11[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰,
(ｉi ）当12K K ≠是方程(2）的互不相等的实特征根时,方程（4）的通解为
11221112
1
[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=
⎰⎰,
（iii)当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时,方程(4)的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ
----=
-⎰⎰
证明 （ii ）当12K K ≠是方程（２）的互不相等的的实特征根时， 将方程（１)的通解（7）进行分部积分，得
2
1
2
1
2112
2121211211112
1
12
12
112111
[()]1
[()]1{[()]}1[]
()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx
x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=
-==
=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
（８)
(iii)当1,2K i αβ=±是方程(２）的共轭复特征根时,122K K i β-=， 再由欧拉公式有
1
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+，
2
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-,
将其代入（８）式，整理可得方程（4）的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]
x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ
-----=
⎰⎰（i)的证明和（ii)类似.
例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=, 特征根为 122K K ==, 所以由定理３，原方程的通解为
23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]
1
11{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}2
32
11
ln [(ln )(ln )]
62
x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰
（其中1c ，2c 为任意常数)
例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解． 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2320K K -+=，
特征根为 12K =,21K =, 所以由定理３,原方程的通解为
23323212212()()x x x x x x
x x e dx x x x e dx
x e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰
(其中1c ,2c 为任意常数)
例3求方程2cos(ln )
2x
x x y xy y -+=
'''的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2220k k -+=,
特征根为 1,21K i =±， 所以由定理3，原方程的通解为
212122cos(ln )
]
cos(ln )cos(ln )
11sin(ln )
cos(ln )cos(ln )
)sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}
[][sin(ln )ln x x
x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰
cos(ln )ln(cos(ln ))]
x x
(其中1c ，2c 为任意常数)
在定理3中,若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.
推论 方程(2）的通解为
(i)1112ln K K x c x x y c +=, (12K K =是方程(2）的相等的实特征根)
(ii ）1212K K x c x y c +=， (12K K ≠是方程（2)的不等的实特征根）
(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（２）的共轭复特征根)
(其中1c ,2c 为任意常数)
２.3三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法）
三阶非齐次欧拉方程:32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.
（9)
（其中1a ，2a ，3a 为常数） (９）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. (10)
特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （１１)
定理4 设1K 是方程（１1)的根，2K 是方程
22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=
的根,则（9）的通解为
1
2
2
1
1
2
1
1
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ .
(1２)
证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程(10）的解. 设1()K y c x x =是方程（９）的解（其中()c x 是待定的未知数)， 将其代入方程（9),整理得
1121111112(3)
323
1
11
1213()(3)()[3(1)2]()
[(3)(2)]()()
K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x
f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）
因为1K 是（11）的根，则
321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,
于是(13)式化为
1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=(14)
这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程． 设2K 为(1４)对应的齐次方程的特征方程
21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （１
５)
的根，则
221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰．
从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（１)的通解为
1
2
2
1
1
2
1
1
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰．
定理５ 设1K 是方程（11)的根，2K 是方程(15）的根，则
（ｉ)当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根,则(9)的通解为
1
212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰(ii ）当1K 是方程(11）的单实根，2K 是方程（１5)的单虚根，则(９）的通解为
1
11(2)
(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x
x f x dx x x x f x dx dx
y x
α
ααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=
,221111211
3624(1)2
K K a K a a β=-++--) （ｉｉｉ)当1K 是方程(11）的单实根，2K 是方程(15)的重实根，则（９)的通解为
1
2
1
2
1
2
(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰，
(ｉv)当1K 是方程（１1）的三重实根,方程(15）变为2210K K ++=，有
21K =-，则(９)的通解为
111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （ｉ）因为2K 是方程(1５)的单实根,得(14)的通解为
212121121(2)1(3)(2)31211
[()()]
(32)1
()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-=
'⎰⎰则(9)的通解为
1212121121(2)1(3)(2)3
121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（１5)有一对共轭虚根
1,2
22
111111212(13)3624(1)2
a K i K K a K a a K --±-++--=
, 得（1４）的通解为
11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]
()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x α
ααβββββ
-++-++-=
'⎰⎰则（９)的通解为
1
11(2)
(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x
x f x dx x x x f x dx dx
y x
α
ααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰(其中11132K a α--=
，221111211
3624(1)2
K K a K a a β=-++--) （i ｉi)因为2K 是方程（1５）的重实根，得（９）的通解为
1
2
1
2
1
2
(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.
（i ｖ)当1K 是方程（１0）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为
222210K K ++=，有21K =-,将1133a K =-,21K =-代入（12）式得
11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰，
对上式分部积分得(９)的通解为
1
1
1
(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰．
例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解． 解 原方程对应的齐次方程为
323660x y x y xy y -+-='''''',
其特征方程为
3261160K K K -+-=，
解得其特征根为1,2，3，
取 11K =， 将11K =,13a =-,26a =,代入方程（15），得
2220K K -=,
解得
21K =或0，
利用定理５（i)的通解公式有
323212311
[]ln 22
y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=
+++⎰⎰⎰. (其中1c ,2c ,3c 为任意常数)
例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
32413130x y x y xy y ''''''-+-=,
其特征方程为
21613()()0K K K -+-=，
从而解得特征单实根为
11K =，
将11K =，14a =-，213a =代入方程(1５),得到
222250K K -+=,
解得 1,2212i K =±. 令212i K =+,则1α=,2β=, 利用定理５（ii)的通解公式有
33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}2
11
ln [sin(2ln )cos(2ln )]816
x
x x x dx x x x dx dx
x x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰
（其中1c ，2c ，3c 为任意常数)
2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解)
令K y x =是方程（1)的解,将其求导(需要求出y '、y
''(1)n y -、()n y ）
代入方程（1),并消去K x ，得 1(1)(1)
(1)(1)
(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++
++=. （16）
定义３ 以K 为未知数的一元n 次方程(16)称为n 阶齐次欧拉方程(1)的特征方程.
由此可见，如果选取k 是特征方程（16)的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是,对于方程(1）的通解,我们有如下结论：
定理6 方程(1)的通解为
112211n n n n y c y c y c y c y --=++
++
(其中1c ，2
c 1n c -，n c 为任意常数）,且通解中的每一项都有特征方程（16)
的一个根所对应，其对应情况如下表:
例１ 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,
整理，得
2(22)0K K K ++=，
其根为
120K K ==，3,41K i =-±,
所以原方程的通解为
3412ln cos(ln )sin(ln )c c
y c c x x x x x
=++
+. （其中1c ,2c ，3c ，4c 为任意常数）
例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
方程（１6)的根 方程（1）通解中的对应项 单实根:K
给出一项:K cx
一对单共轭复根:1,2K i αβ=±
给出两项:12cos(ln )sin(ln )c x x c x x ααββ+ k 重实根:K
给出k 项:12[ln (ln )]K K K x c c x c x +++
一对k 重共轭复根:1,2K i αβ=±
给出2k 项:
1212[ln (ln )]cos(ln )[ln (ln )]sin(ln )
k k k
k x c c x c x x x d d x d x x αα
ββ++++++
+
(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，
整理,得
410K +=，
其根为
1,2K i =-,3,4K i =（即一对二重共轭复根），
所以原方程的通解为
1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.
(其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数)
３.结束语
从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比,本文中的解决办法更直接、更简单．但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的,如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有
ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.
4.致谢
经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了,但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.
首先,自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.
再次,自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师．
最后,自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，
而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.
在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作．然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康,工作顺利！
5、参考文献
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