国家教师资格考试-高中数学学科知识与教学能力

数学分析
函数与极限
求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价 替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有 理化； 判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。
例1
求
lim
x7
2
x2
x3 49
.
解
2 x3
(2 x 3)(2 x 3)
lim
x7
x2 49
lim x7
(x2 49)(2
x
1
cos x2
x)
1 lim x0 cos x
lim sin x x0 x
lim
x0
1
cos x2
x
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
例6
1
lim 3x 9x
x
1 x
lim 9x x
1 x
1 3x
1
x
1
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
例7 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例4
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
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国家教师资格考试 数学学科知识与教学能力
大纲要求
• 高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与 中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连 续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等 内容及概率与数理统计的基础知识。
,
11
lim 1 ln(cot x0 ln x
x)
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x
1,
x0 cos x sin x
x 原式 e1.
导数与微分
复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求 导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的 极（最）值、凹凸性、曲率
f
(
x0
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
1
例8 求 lim x1x .
( 1 )
x1
1
解
原式
1 ln
lim e1x
x
lim ln x
e x11 x
lim x
e x11
e1.
x1
1
例9 求 lim (cot x)ln x . x0
( 0 )
解
取对数得
(cot
1
x)ln x
1 ln(cot x )
e ln x
由准则1得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例3 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
)
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
lim
x0
f (x0
kx) nx
f (x0 )
k n
f (x0 )
lim y lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
分段函数的导数大多需要用定义来求。
例10 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
以分出无穷小,然后再求极限.
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1
1 n2
• 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。
• 初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学 课程中与中学数学密切相关的内容。
• 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。
o
x
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
x
x
b c
lim(1 ax)x
eab
x0
例4
lim
x
x x
1 1
x
解
lim
x
x x
1x 1
1 lim x 1
1 x
1 x
x
e1 e
1 e2
例5 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim( 1 x0 cos
x
sin x
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 ) x e
x
x
lim(1 a )bxc eab
x 3)
lim
7x
lim
1
x7 (x2 49)(2 x 3) x7 (x 7)(2 x 3)
1 56
当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x m1 x n1
am bn
Leabharlann Baidu
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
方法：以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,