第二章流体运动学和动力学基础

2.1 流场及其描述方法
1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）
观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点
的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。
用如下方程描述质点（a,b,c）所经历 的轨迹：
x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t)
to ·a,b, c
强调两点。第一，A（x，y，z）点上 t 瞬时的流体微团的
速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原
在 A 点的微团经Δt 后到了 B 点，若 B 点的速度与 A点的
不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化 。
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
设在 t 瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速度vx, vy , vz。经Δt 时间后，该微团移到B
第 2 章 流体运动学和动力学基础
2.1 描述流体运动的方法 2.2 流体微团运动的分析 2.3 连续方程（质量方程） 2.4 欧拉运动方程及N-S方程 2.5 环量与涡
2.1 流场及其描述方法
一个布满了某种物理量的空间称为场。 充满着运动流体的空间称为“流场” 速度场 压强场 在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就 还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。 根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满 所占据的空间。流体质点发生运动时，如何正确描述和区 分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问 题。描述流体运动的方法有两种。
tx·, y, z
其中，a,b,c 为流体质点的标识符，用于区分和识别各质 点，一般可用质点的初始坐标表示; t 表示时间。 上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程
2.1 流场及其描述方法
质点的坐标位置是时间 t 的函数，对于给定的流体质点 (a,b,c)
速度表达式是：
加速度为：
vx
x(a,b, c,t) t
Dvz Dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
写成矢量的形式：
DV
V
t 给定，x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空 间点的速度，给定速度场。
2.1 流场及其描述方法
上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬 间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为欧拉法。
请注意，x,y,z,t 是四个独立变数。如果不另外赋以意义， 则不能有 dx/dt，d2x/dt2 这类的表达式。
vy
y(a,b, c,t) t
vz
z(a,b, c,t) t
ax
2x(a,b, c,t) t 2
2 y(a,b, c,t)
ay
t 2
az
2z(a,b, c,t) t 2
这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数， 求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。
2.1 流场及其描述方法
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
非常大的容器
非常大的容器
小容器
小容器
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的 不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变 化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是 流场的非定常性。
用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要
vx
x,
y,
z,t
vx x
vxt
vx y
vyt
vx z
vzt
vx t
t
0t
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，
得
vx t
vx t
vx
vx x
vy
v y y
vz
vz z
此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变
化率，即当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同 的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度 。
2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法） 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不
同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空 间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动 规律
在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无 法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：
2.1 流场及其描述方法
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
V vxi vy j vzk
其中，x,y,z 为空间点的坐标。t 表示时间。
x.y.z.t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。 x.y.z 给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空 间点的速度。
(x vxt, y vyt, z vzt)
v(r vt,t t)
令： vx vx (x, y, z,t)
v(r, t )
B(r vt)
A(r)
v(r, t) vxi vy j vzk
经Δt 之后， vx变成 vx +Δvx :
质点
vx vx vx x vxt, y vyt, z vzt,t t
i
j
k
x y z
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
从而上述加速度可以写成：
ax (x, y, z,t)
Dvx Dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay (x, y, z,t)
Dvy Dt
v y t
vx
v y xwk.baidu.com
vy
vy y
vz
v y z
az (x, y, z,t)
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
算子：
D Dt
t
vx
x
vy
y
vz
z
称为随流体运动的导数，或称随体导数、实质导数或物质 导数。写成矢量的形式
D Dt
t
(v )（Material derivative
operator）
0 ——定常流动； (v ) 0 ——均匀流动
t
其中，哈密顿算子：
应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过 该空间点的流体质点所具有的速度 。
2.1.2 欧拉法的加速度表达式
欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下4图来定性描述 引起各处速度变化的原因： 图1流体质点从A点与B点速度不变； 第2图表示A点与B点因水位下降引起速度同时减小； 第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加； 第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引 起速度的变化。