截面图形几何性质

主轴：Ix，Iy 取极值的坐标轴系称为主惯性轴系，或
主惯性轴（Ixy= 0），简称主轴。
形心主轴—通过形心的主轴称为形心主轴
工程计算中应用最广泛的是组合 图形的形心主惯性矩
如何确定形心主轴与形心主惯性矩
将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的 形心位置。
以形心为坐标原点，设Oyx坐标系y、x 轴 确定 图 形对y、x轴的惯性矩和惯性积，得到整个图形的Iy、 Ix 和Iyx。
A
F cos lyA
Iz
F sin lzA
Iy
式中yA、zA是A点坐标的绝对值，即
yA＝60×cos272844 －5×sin272844 ＝50.92mm zA＝60×sin272844 ＋5×cos272844 ＝32.12mm
A
2000cos 272844 103 628 104
50.92
A
F A
FyF d Iz
/
2
当该点的正应力为零时，横截面上其他各点处的正应力均为压应力。此时的偏 心压力必位于截面核心之边缘。上式变为
1 yFd / 2
A
Iz
yF
d 8
当偏心压力作用在距圆心d/8的圆边界上，圆截面边缘上与加力点相对应点的正应 力为零，圆截面内其余各点的正应力均为压应力,圆截面的截面核心是一个半径为 d/8的圆
平移轴公式
y
yo
b
yo dA
xo c
xo
y
a
x
o
x
例：图示图形由2个28a槽 钢组成。已知18cm， Iy 。
y0
y
x
Z0 a
A.4 主惯性轴系
A.4.1 转轴公式
转轴公式
已知 、 、 和转角α 求 、和
y y1
x
dA
x1
y1 y
x1
α
x
o
目的：研究坐标轴绕原点转动时，图 形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的 变化规律。
1.内力分量的确定 危险截面在固定端截面处，其内力分量为：
M z F1l,
合成弯矩为：
M y F2l 2
M
M
2 z
M
2 y
2.求最大正应力
危险点在合成弯矩作用平面与横截面周边的交点处，其最大拉应力与最大压 应力的数值相同。
梁的最大正应力为：
max
M W
32
F1l 2 F2l
d 3
22
梁内最大正应力发生在合成弯矩与横截面边界的交点处。
2000sin272844 103 32.12
64 104
60.7MPa
2、直径为 d 的圆截面悬臂梁,分别在铅直和水平对称平面内承受集中力F1和F2,如图 所示。试求梁内的最大正应力。
解:问题分析
对圆截面而言，任一直径轴均为形心主惯性轴；本题中的外力产生平面弯曲， 危险点在合成弯矩作用平面与横截面周边的交点处。
12.截面几何性质 移轴 转轴
例： 材料为灰铸铁的压力机框架如图所示。其许用拉应力为100MPa，许用压应
。 力为80MPa，试校核该框架立柱的强度
解：截面面积：A 4200mm2
中性轴位置：
z1
2010010
60 20 50 4200
20 50 90
40.5mm
z2 100 40.5 59.5mm
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2
I xy
cos 2
例题讨论
例题：图示简支梁，小车可在梁上移动，受力如 图，试求最大弯矩的位置。
FF 22
xa
A
B
l
本章习题 A–3（b） A-12 A-13
13 主惯矩，弯曲内力习题
例4-7 一Z字形截面悬臂梁，受竖直力F作用，截面尺寸如图示，形心主惯矩Iz＝ 628×104mm4, Iy＝64×104mm4，0＝272844 。已知F＝2kN，l＝1m，试求梁 的最大正应力。
解：1.将竖直力F沿形心主惯性轴y，z分 解:
Fy百度文库F cos，Fz＝Fsin。
固支端截面上任意点的正应力为
F cos ly F sin lz
Iz
Iy
令 =0，得到中性轴与z轴夹角 的正切
tan y Iz tan 5.1
z Iy
= 78.9
所以固支端截面的A点有最大拉应力，B点有相同 数值的最大压应力。A点的应力为
Iy 2
sin 2
I xy
cos 2
A.4.2 惯性矩的不变量和极值
转轴公式及主惯性矩
惯性矩的不变量和极值
I x I y I x1 I y1
tan20
2I yx Iy Ix
图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时 的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。
A.4.3 主惯性轴系
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
计算形心主惯性矩
Imax
m in
Iy
Ix 2
Ix
2
Iy
2
I
2 xy
例题：求图示图形的形心主轴
y
与形心主惯性矩。
70
10
10
100
x
c
10 70
正方形
特殊图形的主轴？
y
y
正三角形
x
x
I x1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
I y1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy sin 2
复习
y
A
xc
Sy A
xdA A
y
dA
x
yc
Sx A
ydA A
o x
性质
若某轴为对称轴，则对其静矩等于零。
截面对形心轴的静矩等于零。
若形心坐标已知，则 Sy=xcA；Sx=ycA
复习
对 x 轴的惯性矩 对 y轴的惯性矩 对 y x 轴的惯性积
对 O 点的极惯性矩
y A dA
y ρ x
o x
复习
附录 A
截面设计的几何学基础
截面上的内力：
FN F 12kN
M 12 (200 40.5)103 2.89kN m
截面形心主惯性矩：
I 100 203 20100 30.52 20 603 20 60 9.52
12
12
50 203 20 50 49.52 4.88 106 m4 12
截面上的最大应力：
max
M I
z1
FN A
26.8MPa
max
M I
z2
FN A
32.3MPa
强度校核：
max
26.8MPa
30MPa
max
32.3MPa
80MPa
最大正应力小于许用应力，所以安全。
例：如何确定圆截面截面核心的形状与边界？
解：偏心压力F作用在直径AB上的某一点( yF，0) 处，且yF<0，则横截面上A点处可能出现危险的拉 应力
转轴公式
已知 、 、 和转角α 求 、和
y y1
x B dA
x1 y y1
x1
αD
G
α
E
x
o
F
转轴公式
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin 2
I y1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos 2
I xy sin 2
y y1
x B dA
x1 y y1
x1
αD
G
α
E
x
o
F
I x1y1
Ix