函数的极值与导数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义 若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号, 满足“左负右 y 正”,
f ( x) 0
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
x
o
a
X0
b
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
思考3、观察图1.3.10，回答以下问题： 问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极 大值点，哪些点为极小值点？ 问题2：极大值一定大于极小值吗？ 问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具 有唯一性吗？ 问题4：区间的端点能成为极值点吗？ 问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？
思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？ 导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？
y
不是该函数的极值点.
f(x)=3x 当f(x)=0时，x =0，而x =0
2
f (x)x3
O
x
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点
y=f(x) f '(x)>0 y=f(x) f '(x)<0
o
o a b x x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
a b
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/ f （x）
;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调 递减区间.
f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
例题讲解
1 3 例、求函数 f ( x ) x 4 x 4 的极值． 3 2 解： y x 4 ( x 2)( x 2) 令 y 0 ，解得 x1 2, x2 2 当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
y
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
o a
f ( x) 0
x0
b
x
你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？
x<2
f ’(x)
x=2
0 f (2)
x>2
+
单调递增
极小 值点
你 能 尝 试 给 出 极 大 值 的 定 义 吗 ？
单调递减
f (x)
x<2
x=2
x>2 极小 值
【函数极小值的定义】
复习回顾： 3-6x2+7，求f(x)的单调 3 、已知函数 f ( x )=2 x 观察画出的图象，回答下面 区间,并画出其图象; 问题： 问题1：在点x=0附近的图象 有什么特点？ 问题2：函数在x=0处的函数 值和附近函数值之间有什么 关系？ 问题3：在点x=0附近的导数 符号有何变化规律？ 问题4：函数在x=0处的导数 是多少？
1.3.2 函数的极值与导数
目标引领：
1、利用上节课导数的单调性作铺垫,
借助函数图形的直观性探索归纳出导数 的极值定义,利用定义求函数的极值. 2、感受导数在研究函数性质中一般性 和有效性，通过学习体会极值是函数的 局部性质，增强数形结合的思维意识。
复习回顾： 1.函数的单调性与导数的关系：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数, 如果在 这个区间内f/（x） >0,那么函数y=f(x) 为这个区 间内的增函数; 如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x) 为这个区 间内的减函数. y y
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
+
-1 0
极大值
+
求导—求极点—列表—求极值
x0
练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值；
。
如y x
3Hale Waihona Puke Baidu
②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
分析讨论：函数在x=0附近的变化 规律：
f ’(0)＝0 单调递减 f ’(x)<0 极大 值点
你 能 尝 试 给 出 极 大 值 的 定 义 吗 ？
单调递增 f ’(x)>0
x
f ’(x)
x<0
+
单调递增
x=0
0 f (0)
x>0
单调递减
f (x) f (x)
极大 值
【函数极大值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义 若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号, 满足“左正右 负”,
x
(,2)
+
-2 0
28 极大值 3
(-2,2) —
2 0
4 极小值 3
( 2,)
+
y
y
28 当 x 2 时，y有极大值，并且 y极大值 3 4 当 x 2 时，y有极小值，并且 y极小值 3
【求函数极值的步骤】
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函 数的极值点与极值.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。
例1.（1）下图是函数的图象,试找出函数的极值点, 并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ （2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是 极大值点,哪些是极小值点?
(-1,0) （0，1） -
1 0
极小值
X>1 +
f ( x)
所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的 极小值是2
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成 若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值 +
f ( x) 0
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
x
o
a
X0
b
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
思考3、观察图1.3.10，回答以下问题： 问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极 大值点，哪些点为极小值点？ 问题2：极大值一定大于极小值吗？ 问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具 有唯一性吗？ 问题4：区间的端点能成为极值点吗？ 问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？
思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？ 导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？
y
不是该函数的极值点.
f(x)=3x 当f(x)=0时，x =0，而x =0
2
f (x)x3
O
x
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点
y=f(x) f '(x)>0 y=f(x) f '(x)<0
o
o a b x x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
a b
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/ f （x）
;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调 递减区间.
f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
例题讲解
1 3 例、求函数 f ( x ) x 4 x 4 的极值． 3 2 解： y x 4 ( x 2)( x 2) 令 y 0 ，解得 x1 2, x2 2 当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
y
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
o a
f ( x) 0
x0
b
x
你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？
x<2
f ’(x)
x=2
0 f (2)
x>2
+
单调递增
极小 值点
你 能 尝 试 给 出 极 大 值 的 定 义 吗 ？
单调递减
f (x)
x<2
x=2
x>2 极小 值
【函数极小值的定义】
复习回顾： 3-6x2+7，求f(x)的单调 3 、已知函数 f ( x )=2 x 观察画出的图象，回答下面 区间,并画出其图象; 问题： 问题1：在点x=0附近的图象 有什么特点？ 问题2：函数在x=0处的函数 值和附近函数值之间有什么 关系？ 问题3：在点x=0附近的导数 符号有何变化规律？ 问题4：函数在x=0处的导数 是多少？
1.3.2 函数的极值与导数
目标引领：
1、利用上节课导数的单调性作铺垫,
借助函数图形的直观性探索归纳出导数 的极值定义,利用定义求函数的极值. 2、感受导数在研究函数性质中一般性 和有效性，通过学习体会极值是函数的 局部性质，增强数形结合的思维意识。
复习回顾： 1.函数的单调性与导数的关系：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数, 如果在 这个区间内f/（x） >0,那么函数y=f(x) 为这个区 间内的增函数; 如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x) 为这个区 间内的减函数. y y
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
+
-1 0
极大值
+
求导—求极点—列表—求极值
x0
练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值；
。
如y x
3Hale Waihona Puke Baidu
②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
分析讨论：函数在x=0附近的变化 规律：
f ’(0)＝0 单调递减 f ’(x)<0 极大 值点
你 能 尝 试 给 出 极 大 值 的 定 义 吗 ？
单调递增 f ’(x)>0
x
f ’(x)
x<0
+
单调递增
x=0
0 f (0)
x>0
单调递减
f (x) f (x)
极大 值
【函数极大值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义 若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号, 满足“左正右 负”,
x
(,2)
+
-2 0
28 极大值 3
(-2,2) —
2 0
4 极小值 3
( 2,)
+
y
y
28 当 x 2 时，y有极大值，并且 y极大值 3 4 当 x 2 时，y有极小值，并且 y极小值 3
【求函数极值的步骤】
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函 数的极值点与极值.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。
例1.（1）下图是函数的图象,试找出函数的极值点, 并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ （2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是 极大值点,哪些是极小值点?
(-1,0) （0，1） -
1 0
极小值
X>1 +
f ( x)
所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的 极小值是2
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成 若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值 +