第七章 基本动力学过程——扩散

无限长棒扩散方程的误差函数解
解为：
利用高斯误差函数
一维无限长棒中扩 散方程误差函数解：
2.恒定量扩散 对于第二种情况，边界条件归纳如下：
C 2C D t x 2
t=0，x ≧ 0，c（x，0）=0 t ≧ 0，x=0，c（x，t）=Q 求解得
Q x2 c( x, t ) exp( ) 4 Dt 2 Dt
Adolf Fick, a German physiologist and inventor, was born on August 3rd, 1829, in Kassel, Germany. In 1855, he introduced “Fick’s Law of Diffusion” which described the dispersal of gas as it passes through a fluid membrane. An astigmatism in his eyes led Fick to explore the idea of a contact lens, which he successfully created in 1887. His other research resulted in the development of a technique to measure cardiac output. Adolf Fick’s work served as a vital precursor in the studies of biophysics, cardiology, critical care medicine, and vision.
半无限长棒中的扩散模型
扩散方程的初始条件和 边界条件应为
t = 0，x > 0 C = C0 t≥0， x = 0 C = Cs x =∞ C = C0
实际意义：低碳钢的渗碳处理，材料的原始含碳量为C0，热处理 时外界条件保证其表面的碳含量始终维持在CP(碳势)，经过一段 时间后，求材料的表面附近碳含量的情况。
2 扩散的分类 （1）根据有无浓度变化 自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 (如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化。) 互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩 散。（有浓度变化） （2）根据扩散方向 下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。 上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。 (3)按浓度均匀程度分： 有浓度差的空间扩散叫互扩散；没有浓度差的扩散叫自扩散 （4） 按原子的扩散路径分： 在晶粒内部进行的扩散称为体扩散； 在表面进行的扩散称为表面扩散； 沿晶界进行的扩散称为晶界扩散。
7.1.1 菲克第一定律 (Fick’s First Law) 1855年
在稳态扩散的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单 位面积的扩散物质量（通称扩散通量）与该截面处的浓度梯 度成正比。 dc 扩散通量 J D 浓度梯度 dx 扩散系数 单位：扩散通量，J，atoms/(m2· s)或kg/(m2· s) 扩散系数，D，m2/s；
7 基本动力学过程——扩散
扩散对于材料的加工过程具有重要影响
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
引言
Furnace for heat treating steel using the carburization process. (Courtesy of Cincinnati Steel Treating).
引言
扩散现象(diffusion)
原子或离子迁移的微观过程以及由此引起的宏观 现象。
扩散
半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电 固相反应 相变 烧结 材料表面处理
引言
• 表面硬化:
--Diffuse carbon atoms into the host iron atoms at the surface. --Example of interstitial diffusion is a case hardened gear.
• Governing Eqn.:
7.2 扩散方程的应用
扩散的实际问题：
（1）一般要求出穿过某一曲面（如平面、柱面、
球面等）的通量J，单位时间通过该面的物质量
dm/dt=AJ，
（2）浓度分布c(x,t)，为此需要分别求解菲克
第一定律及菲克第二定律。
(一） 一维稳态扩散
扩散第一方程可直接用 于描述稳定扩散过程。
例2：渗碳用钢及渗碳温度同上，求渗碳5h后距表面 0.5mm处的c含量。 解：已知c s，x，c0，D，t代入式得 （0.9% - c x ）/0.7%=erf（0.521）=0.538 c x =0.52% 与例1比较可以看出，渗碳时间由2.38h增加到5h，含 0.2%c的碳钢表面0.5mm处的c含量仅由0.4%增加到0.52%。
（1）是唯象的关系式，其中并不涉及扩散系统 内部原子运动的微观过程。 （2）扩散系数反映了扩散系统的特性，并不仅 仅取决于某一种组元的特性。 （3）不仅适用于扩散系统的任何位置，而且适 用于扩散过程的任一时刻。
7.1.2 菲克第二定律 (Fick’s Second Law) 在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化。
c
9.431019
4 107 7 107
11019 (m 3 )
7.3 扩散的微观机制 7.3.1 间隙扩散 在间隙固溶体中溶质原子的扩散是从一个间隙位置跳到近邻 的另一间隙位置，发生间隙扩散。
间隙机制
7.3.2 置换扩散
Ernest Kirkendall
The atomic diffusion mechanism showing (a) a direct exchange mechanism, (b) ring mechanism, and (c) vacancy mechanism.
图8
扩散方程的误差函数解
扩散方程的误差函数解
扩散方程的误差函数解
半无限长棒扩散方程的误差函数解
解为：
定义函数： 一维半无限长棒中扩 散方程误差函数解： 高斯误差函数
无限长棒中的扩散模型
实际意义：将溶质含量不同的两种材料焊接在一起，因 为浓度不同，在焊接处扩散进行后，溶质浓度随时间的 会发生相应的变化。
以lnc（x，t）-x2作图得一直线
斜率k=-1/4Dt， D=-（1/4tk）
2）制作半导体时，常先在硅表面涂覆一薄层硼，然后加 热使之扩散。利用上式可求得给定温度下扩散一定时间后 硼的分布。 例如，测得1100℃硼在硅中的扩散系数D=4 ×10 -7m2.s-1， 硼薄膜质量M=9.43 ×10 19原子，扩散7 ×10 7 s后，表面 （x=0）硼浓度为
（二）不稳态扩散 非稳态扩散方程的解，只能根据所讨论的 初始条件和边界条件而定，过程的条件不同方程 的解也不同，下面分几种情况加以讨论： 一是在整个扩散过程中扩散质点在晶体表面的浓 度Cs保持不变（即所谓的恒定源扩散）。 二是一定量的扩散相Q由晶体表面向内部的扩散
1.恒定源扩散
在t时间内，试样表面扩散组元i的浓度Cs被维 持为常数，试样中i组元的原始浓度为C0，试样的 厚度认为是“无限”厚，则此问题称为半无限长 物体的扩散问题。
或
c( x, t ) c0 x 1 erf cs c0 2 Dt
例1：含0.20%碳的碳钢在927 ℃进行气体渗碳。假定表面C 含量增加到0.9%，试求距表面0.5mm处的C含量达0.4%所需 的时间。已知D972=1.28 ×10 -11 m2/s 解：已知c s，x，c0，D，c x代入式得 erf（）=0.7143 查表得erf（0.8）=0.7421，erf（0.75）=0.7112，用内差法可 得β=0.755 因此，t=8567s=2.38h
dc 浓度梯度， ，atoms/(m3· m)或kg/(m3· m) dx
“-”号表示扩散方向为浓度梯度 的反方向，即扩散由高浓度向 低浓度区进行。
dT Q k dz
dE I dx
dC J D dx
傅立叶定律
热流
欧姆定律
电流
菲克第一定律
质量流
讨论：
对于菲克第一定律，有以下三点值得注意：
应用：
1）这一解常用于扩散系数的测定。将一定量的 放射性示踪元素涂于固体长棒的一个端面上，在 一定的条件下将其加热到某一温度保温一定的时 间，然后分层切片，利用计数器分别测定各薄层 的同位素放射性强度以确定其浓度分布，
将前式两边取对数，得
Q x2 ln c( x, t ) ln 4 Dt 2 Dt
2 扩散的分类 （5）根据是否出现新相 原子扩散：扩散过程中不出现新相。 反应扩散：由之导致形成一种新相的扩散。 3 固态扩散的条件 （1）温度足够高； （2）时间足够长； （3）扩散原子能固溶； （4）具有驱动力： 化学位梯度。
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
柯肯达尔效应
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
柯肯达尔效应 (Kirkendall effect)
Cu
Ni
扩散前
Cu
Ni
扩散后
空位扩散机制
用空位机制解释柯肯达尔效应
http://www.tms.org/pubs/journals/JOM/9706/Nakajima-9706.html
c f (t , x)
dc 0 dt
非稳态扩散时，在一维情况下，菲克第二定律的表达 式为
c 2c D 2 t x
式中：c为扩散物质的体积浓度（atoms/m3或kg/m3） ；t为扩散时间（s）；x为扩散距离（m）。
• To conserve matter:
• Fick's First Law:
7.1 扩散定律
稳态扩散与非稳态扩散
C f (t , x)
在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单 位面积的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点 的浓度不随时间变化。
dc 0 dt
在非稳态扩散中，通量随时间而变化。
dc 0 dt
Adolf Fick, Created the Contact Lens
x c( x, t ) cs (cs c0 )erf 2 Dt
上式称为误差函数解。
erf ( )
为高斯误差函数：
( x /(2 Dt ))
erf ( z )
2

e
0
z
2
d
实际应用时，
cs c( x, t ) x erf cs c0 2 Dt
1. Deposit P rich layers on surface.
silicon
2. Heat it. 3. Result: Doped semiconductor regions.
silicon
源自文库
SEM images and dot maps
9
引言
1.扩散概念
（1）扩散：热激活的原子通过自身的热振动克服束缚而迁 移它处的过程。 （2）现象：柯肯达尔效应。 （3）本质：原子无序跃迁的统计结果。（不是原子的定向 移动）。
J D
dC dx
D
C2 C1 x
假设D与浓度无关。
c1
H2
x 例1
c2
利用一薄膜从气流中分离氢气。在稳定状态时，薄 膜一侧的氢浓度为0.025mol/m3,另一侧的氢浓度为 0.0025mol/m3，并且薄膜的厚度为100μm。假设氢通过 薄膜的扩散通量为2.25×10-6mol/（m2s），求氢的扩散 系数。
• Result: The "Case" is
--hard to deform: C atoms "lock" planes from shearing. --hard to crack: C atoms put the surface in compression.
8
引言
• 在硅中掺杂磷制备N型半导体: • Process: