【高考数学培优专题】第05讲函数与方程综合问题

40
x 10
,
0 x ≤ 30
，
1 50
(x
32.5) 2
36.875,
30
x
100
则当 x (0,30] (30,32.5] ，即 x (0,32.5] 时， g(x) 单调递减；
当 x (32.5,100) 时， g(x) 单调递增．
实际意义：当有 32.5% 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
【答案】 x 1 4
2x 3 , x 0 2
【解析】由题意：
g x
f
x
f
x
1 2
2x
x
1 ,0 2
x
1 2
2 1 2x1, x 1 2
， 函 数 gx 在 区 间
,
0
,
0,
1 2
,
1 2
,
三段区间内均单调递增，且：
g
1 4
1,
20
0
1 2
1,
2 1 201 1 ，
f
2(x)
f
(x) t
0
有三个不同的实根，则 t
的取值范围为
（ ）A． (,2]
B．[1,) C．[2,1]
D． (,2] [1,)
【解析】做出函数 f (x) 的图象，如图所示，由图可知，当 m 1时直线 y m 与 f (x) 的图象有两个交点，当 m 1
时直线 y m 与 f (x) 的图象有一个交点，题意要求方程 f 2 (x) f (x) t 0 有三个不同的实根，则方程
关于 (0,1) 对称
二、填空题
8．（2018 年全国卷Ⅲ）函数 f (x) cos(3x ) 在[0, ] 的零点个数为________． 6
【答案】3
【解析】由题意知， cos(3x ) 0 ，所以 3x k ， k Z ，所以 x k ， k Z ，当 k 0 时，
(2)设该地上班族总人数为 n ，则自驾人数为 n x% ，乘公交人数为 n (1 x%) ．
因此人均通勤时间
g(x)
30 n x% 40 n (1 x%) , n
(2
x
1800 x
90)
n
x% n
40
n
(1
x%)
0 x ≤30 ,30 x 100
，整理得：
g
(
x)
【高考数学培优专题】
第五讲函数与方程综合
A组
一、选择题
1．（2018
全国卷Ⅰ）已知函数
f
(x)
e x ,
x
0,
g(x) f (x) x a ．若 g(x) 存在 2 个零点，则 a 的取值范围
ln x, x 0,
是（
）
A．[1, 0)
B．[0, )
C．[1, )
D．[1, )
【答案】C
【解析】函数 g(x) f (x) x a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f (x) x a 有 2 个不同的实根，
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
【解析】由于 f x f x 2 ，不妨设 f x x 1 ，与函数 y x 1 1 1 的交点为 1, 2, 1, 0 ，故
x
x
x1
x2
y1
y2
2 ，故选 B.（客观上函数
y
f
(x)
与
y
x 1 有共同的对称中心 (0,1) ，所以它们的所有交点 x
.
【解析】原方程可变为 a 2 sin(x ) ，作出函数 y 2 sin(x ) 的图象，再作直线 y a ，从图象可知
3
3
函数
y
2 sin(x
)
在 [0,
] 上递增，在[
,
7
]
上递减，在 [ 7
, 2 ]
上递增，只有当
a
3 时，才有
3
6
66
6
三个交点， x1
0, x2
3 , x3
据此
x
的取值范围是：
1 4
,
.
10．若函数 f(x)= 1 x2 -x-m 无零点,则实数 m 的取值范围是
.
【解析】原题转化为函数 y 1 x2 所表示的上半圆与斜率为 1 的平行线系 y x m 没有公共点的问题，
画图，可得 m 1或 m 2 .
11．设常数 a 使方程 sin x 3 cos x a 在闭区间[0, 2 ] 上恰有三个解 x1, x2 , x3 ，则 x1 x2 x3
通勤时间为
f
(x)
30,
2
x
1800 x
90,
0 30
x x
≤30, 100
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g(x) 的表达式；讨论 g(x) 的单调性，并说明其实际意义．
【解析】由 f (x 1) f (x) f (x) 的周期为 2 ，又 f x 是偶函数，且 x 0,1 时， f x x2 ，故可示意 f (x)
在[1,3] 上图象， gx f x kx k 有 4 个零点转化为函数 f (x) 与 y k (x 1) 在 x [1,3] 上有 4 个交点，
6
62
93
x ；当 k 1 时， x 4 ；当 k 2 时， x 7 ，均满足题意，所以函数 f (x) 在[0, ] 的零点个数为 3．
9
9
9
9．（2017
年高考全国
3
卷理）设函数
f
(x)
x 1，x 0，
2
x，x
0，
则满足
f
(x)
f
(x
1) 2
1的
x
的取值范围是_________。
由图所示，要 f x b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
m m2 2m m 4m,m2 3m 0 ，解得 m 3 .
13.（2018 年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地
上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中 x%(0 x 100) 的成员自驾时，自驾群体的人均
C．在区间 (1 ,1) 内有零点，在 (1, e) 内无零点 D．在区间 (1 ,1) 内无零点，在( (1, e) 内有零点
e
e
【解析】 f (x) 1 x ln x 的定义域为 (0, ) ， f ' (x) 1 1 ，故 f (x) 在 (0,3) 上递减，又
3
3x
f (1) 0, f (1) 0, f (e) 0 ，故选 D. e
A. 2，1
B. 1, 0
C. 0,1
D. 1, 2
【 解 析 】 2a 3 ， 3b 2 ， a 1 ， 0 b 1 ， 又 f x a x x b ， f 1 1 1 b 0 ，
a
f 0 1 b 0 ，从而由零点存在定理可知 f x 在区间 1, 0 上存在零点．故选 B.
由图象知 k (0, 1] ，故选 C. 4
6.已知方程 9x 2 3x 3k 1 0 有两个实根，则实数 k 的取值范围为（ ）
A.[ 2 ,1] 3
B. (1 , 2] 33
C.[ 2 , ) 3
D.[1, ＋∞)
【解析】设 t 3x ，原题转化为函数 g(t) t 2 2t 3k 1 在 t (0, ) 上有两个零点（可以相同），则
5. 已知函数 f x 满足： f x 1 f x ，且 f x 是偶函数，当 x 0,1 时， f x x2 ，若在区间1,3 内，
函数 gx f x kx k 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 0,
B．
0,
1 2
C．
0,
1 4
D．
1 4
,
1 3
则对于 x (, 0] ，
f
(x)
0
，由
f
(0)
1
0
，需对称Байду номын сангаас：
x
4
m
0或
4 m 2m
0
，
2m
4(4 m)2 8m 0
解得 x (0,8) ，故选 B.
4.函数 f (x) lg( x 1) sin 2x 的零点个数为 ( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【解析】示意函数 y lg(| x | 1) 与 y sin 2x 的图象可确定选 D.
x 3.已知函数 f (x) 2mx2 2(4 m)x 1 ， g(x) mx ，若对于任意实数 x ， f (x) 与 g(x) 的值至少有一个为正数,
则实数 m 的取值范围是( )
A. (0, 2)
B. (0,8)
C. (2,8)
D. (, 0)
【解析】依题意， m 0 不符； m 0 时，则对于 x [0, ) ，当 x 时，显然 f (x) 0 ，不符； m 0 时，
x2
0 ，且 x1, x2
异号，而
y1
y2
x1 x2 x1x2
0 ，故选
B.
2.已知函数 f (x) xex ax 1 ,则关于 f (x) 的零点叙述正确的是(
)
A.当 a 0 时,函数 f (x) 有两个零点 B.函数 f (x) 必有一个零点是正数
C.当 a 0 时,函数 f (x) 有两个零点 D.当 a 0 时,函数 f (x) 只有一个零点 【解析】函数 f (x) xex ax 1 的零点可转化为函数 y ex 与 y a 1 图象的交点情况研究，选 B.
2
，所以 x1 x2 x3
7 3
.
| x |,
xm
12.（2016
高考山东卷理）已知函数
f
(x)
x2
2mx
4m, x
m
其中 m 0 ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程
f (x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
【解析】画出函数图象如下图所示：
知，当直线 y kx 的斜率大于坐标原点与点 (2,1) 的连续的斜率，且小于直线 y x 1的斜率时符合题意，故选 1 k 1． 2
4.设函数 f (x) 1 x ln x ，则函数 f (x) ( ） 3
A．在区间 (1 ,1) ， (1, e) 内均有零点 e
B．在区间 (1 ,1) ， (1, e) 内均无零点 e
5.已知函数
f
(x)
sin( 2
x) 1, x
0
的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是
loga x(a 0, a 1), x 0
（）
A. (0, 5 ) 5
B. ( 5 ,1) 5
C. ( 3 ,1) 3
D. (0, 3 ) 3
【解析】依题意，需要 f (x) 在 y 轴左侧图象对称到 y 轴右侧，即 y sin( x) 1(x 0) ，需要其图象与 2
f (x) 原 y 轴右侧图象至少有 3 个公共点， a 1 不能满足条件，只有 0 a 1，如图，
此时，只需在 x 5 时， y loga x 的纵坐标大于 2 ，即 loga 5 2 ，得 0 a
5
.
5
6.已知实数
f
(x)
ex , x 0, lg(x), x 0,
若关于
x 的方程
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现 整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使 得整体效率下降．
B组
一、选择题
1.设 函 数 f (x) 1 ， g(x) x2 bx ． 若 y f (x) 的 图 象 与 y g (x) 的 图 象 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 公 共 点 x
函数 f (x) 的图象与直线 y x a 有 2 个交点，作出直线 y x a 与函数 f (x) 的图象，
如图所示，
由图可知， a 1，解得 a 1，故选 C．
2.已知实数 a ， b 满足 2a 3 ， 3b 2 ，则函数 f x a x x b 的零点所在的区间是（ ）
3.已知函数 f x x 2 1 ， gx kx ．若方程 f x g x 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是
A．（0，1） 2
B．（1 ，1） 2
C．（1，2）
D．（2， ）
【答案】B
【解析】如图所示，方程 f (x) g(x) 有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可
4 4(3k 1) 0
2 0
解得 k (1 , 2] ，故选 B.
3k 1 0
33
7.（2016 高考新课标 2 卷理）已知函数 f (x)(x R) 满足 f (x) 2 f (x) ，若函数 y x 1 与 y f (x) 图像的 x
m
交点为 (x1, y1), (x2, y2 ), , (xm, ym), 则 (xi yi ) （ ） i 1
A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则下列判断正确的是( )
A． x1 x2 0 ， y1 y2 0
B． x1 x2 0 ， y1 y2 0
C． x1 x2 0 ， y1 y2 0
D． x1 x2 0 ， y1 y2 0
【解析】依题意，示意图象，可知 x1