固定收益证券第五章

4）内含期权会减少债券价格的利率敏感性
Yield up
interest rate risk down
D down
注意：折价很大的债券
永久性年金的麦考利久期为：
1 y y
年金的麦考利久期为：
1 y T y (1 y)T 1
这里，T为年金支付次数，y是每个支付期的 收益率。
息票债券的麦考利久期等于
9 35 10 35 11 35 12 35 13 35 14 35 15 35 16 35 17 35 18 35 19 35 20 1035 债券价值 债券价格变化幅度
久期-凸度分析法
债券价格的利率敏感性与泰勒展开 泰勒展开
V 1 dV 1 d2V 1 dnV 2 n dy dy ... dy ... 2 n V t V t dy 2!V t dy n!V t dy
3.影响久期的因素
对比债券A和B：
1）长期债券比短期债券具有更强的利 率敏感性，即对于等规模的收益率变动，长期 债券价格的变动幅度大于短期债券。 当到期时间增加时，价格对收益率变化 的敏感性以下降的速率增加，即债券价格的利 率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。
比较债券B和C： 2）利率风险与债券的息票率反向相关。息票利率较 高的债券，利率风险较小，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。 比较债券C和D： 3）债券价格的利率敏感性与债券当前的收益率反向 相关。当债券的初始到期收益率较低时，价格的利 率敏感性较高。
The Inverse Relationship Between Bond Prices and Yields (positive convexity)
Figure 14.4 Bond Prices: Callable and Straight Debt
2.债券利率风险的度量----久期
债券利率风险：债券价格的利率敏感性
Figure 16.5 Price –Yield Curve for a Callable Bond
在负凸性区域，价格变动的不对称性对投资者 不利，投资者因此会得到补偿，以较低的初始价 格购买可赎回债券或得到较高的初始收益率。
P 2 D y C y P
对于一有正凸度的债券（不含赎回权的 债券都有正的凸度），无论收益率是上升还 是下降，右边第二项总是正的。这就修正了 久期总是低估债券新价格的缺陷。
如果收益率变动小，凸度的影响非常小，久期 足以解释利率微小变动与债券价格变动率之间的 线性关系。
2.3麦考利久期 Macaulay’s duration A measure of the effective maturity of a bond
债券的每次利息和本金现金流支付时间 的加权平均，权重则是每一时点的现金流的 现值占债券价格的比例。 适用于不含权债券
wt C t (1 y ) Price
2.1 久期
收益率变动1%而导致的债券价格的百分比变化 价格的百分比变动与收益率变动的比率（一阶敏感性）
dV V t D dy
美元久期：$D
单位利率变动引起的证券价值变动金额
dV t D V t dy
久期的含义
数学含义：价格利率函数的一阶导数 经济含义：由于一阶导数捕捉了债券价值的利率敏感性中 的主要部分，因此久期和美元久期反映了债券利率风险的 主要部分。久期与美元久期的绝对值越大，固定收益证券 的利率风险越大；反之则越小。
从图中还可以看到，久期直线总是在债券实 际价格变动的下方。当收益率下降时，它低估债 券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债 券价格的下跌程度。即久期总是低估债券的新价 格。
久期缺陷的解决方案
久期不能刻画利率的非平行移动 关键利率久期 主成分久期 久期不能刻画利率的大幅度变化 凸性
4. 债券的凸度convexity
如果利率变动大，凸度的解释作用更重要。
债券A的凸度比债券B大，意味着利率大幅波 动时，债券A会得到更大的价格增长和更小的价 格下降，这会提高A的期望收益。 这种不对称对投资者有利，如果投资者选择 高凸度的债券，他需要付出较高的初始价格，接 受较低的初始收益率。
可赎回债券的凸性
当利率较高时，可赎回债券的价格收益率曲 线是凸的，与不含期权的直接债券一致。 随着利率下降，可赎回债券的价格面临价格 高限－－赎回价格。利率较低时，曲线是凹的， 或者称为负的凸性。
几何含义：久期反映债券价格收益率曲线上各点的切线斜 率
2.2 有效久期
考虑到债券价格-收益率曲线的凸性和债券定价的复杂性
收益率同幅度的上升和下降带来的平均价格波动
适用于内含期权的债券，其现金流可能因利率变动而改变
久期计算的核心在于一阶导的计算
• 简单的证券：直接求导 • 复杂的证券：有效久期（effective duration）
2.4修正久期
麦考利久期的特点： 经济含义直观，可以视为付息期限 的一种加权 平均，单位是年，相应地修正久期的单位也是年，这是久 期名称的最初来源。 修正久期才是真正的利率风险度量指标；麦考利久期是计 算公式中的一部分 若收益率以连续复利计算，不存在麦考利久期和修正久期 的差别。
二者的计算依赖于定价模型
久期的局限性
久期假设整条利率曲线发生平行移动，即所有期 限的利率变化幅度相等。当利率期限结构非平行 变化严重时，久期的可信度将大大下降。 久期仅仅是债券价格对利率的一阶敏感性，无法 反映债券价格的全部利率风险，当利率变化较大 时这个缺陷尤其显著。
实际上 债券价格变化的百分比与收益率变 化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收 益率的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度 将产生明显的误差。
Байду номын сангаас
Figure 14.3 The Inverse Relationship Between Bond Prices and Yields
债券A和债券B在初始收益率处有相同的久期， 相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期直 线相切于该点。这说明，对于两种债券收益率的 微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。 并且因为A和B在初始收益率处有相同的久期，它 们对较小的利率变化的敏感程度相同。 但随着收益率变化程度的增加，对应于债券A 和债券B的两条曲线与久期直线之间的“间隔” 不断扩大，表明久期直线越来越不准确。对于较 大的收益率变化，债券A比债券B有更大的价格增 长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具 有更大的凸性。
1）久期是收益率变动1%而导致的债券价格的百分比变化 2）久期是现金流收回时间的加权平均 M.久期为D年的证券具有与期限为D的零息债券等同 的利率风险。 MBS :久期<0 inverse floater的久期超过其现金流的期限 3）久期度量价格-收益率曲线切线的斜率（价格函数对收益 率的一阶导数）
与一阶导为负不同，凸性引起的价格变化通常是 正的。
有效凸度
V V t V t V V V 2V t 1 1 y y C 2 2 V t y 2 V t y
组合的凸性
与组合的久期相似，这也是一种近似
凸度修正后的利率风险
• 2.6 组合的久期
• 组合的美元久期：等于单个资产美元久期的加总
$DP $D j
j
• 前提：到期收益率曲线平行移动
2.7 duration of floater and inverse floater
浮动利率债券的利率风险：浮动利率债券本质上和
下一个付息日就到期的零息票债券一样，因此其麦考利久 期就等于下一个付息日的期限
t


D t wt
t 1
T
Ct CashFlow for period t
Y=10%
Spreadsheet 16.1 Calculating the M.Duration of Two Bonds
零息票债券的M久期就等于它的到期期限，而息票债券的M久 期比它的到期期限短。
将P看作是1+y的函数，可以有
凸度的计算
凸度（convexity）反映的是泰勒展开式中的二阶 敏感性
1 d2V 1 C 2 dy2 V t
美元凸度
1 d 2V $C V C 2 2 dy
凸度的意义
凸性引起的证券价格变化的比例和金额变化分别 是 C y 2 。 $C 和 y 2
凸性提高了利率风险度量和管理的准确性。
1 y 1 y T (c y ) y c[(1 y )T 1] y
c为每个支付期的息票利率，T为支付 次数，y是每个支付期的收益率。 当息票债券以面值出售时，上式可简化为
1 y 1 [1 ] T y (1 y )
Table 16.3 Bond M.Durations (Yield to Maturity = 8% APR; Semiannual Coupons)
久期与期限加权之间并没有必然联系，其单位也并不必然 为年
麦考利久期、修正久期、有效久期的比较
前二者不考虑收益率变动对未来现金流的影响 有效久期会考虑收益率变动带来的未来现金流变化 对不含权的债券，修正久期等于有效久期 对含权或复杂的债券，计算有效久期
2. 5 PVBP
PV01 and DV01
久期的总结
第5讲 债券的利率风险
1.债券价格与市场收益率之间的关系 2.债券利率风险的度量----久期 3 .影响久期的因素 4 .债券的凸度
1.债券价格与市场收益率之间的关系特征
1)债券价格与收益率呈反向变动关系 2)债券收益率变化引起的价格变化具有不对称性 由收益率上升引起的价格下降幅度低于收益率 的同等下降引起的价格上升的幅度。 凸状convex 3)期权影响债券的凸度
T tCt dP 1 PD t 1 d (1 y ) 1 y t 1 (1 y )
对于1+y的微小变化，有
P (1 y) D P 1 y
定义： 修正久期D*=D/(1+y)，且Δ(1+y)=Δy，
P D * y P
债券价格变化的百分比等于修正久期与收 益率变化的乘积。
完全定价分析法

市场利率波动对价格的影响（10年期债券）
期限 1 2 3 4 5 6 7 8 现金流 35 35 35 35 35 35 35 35 初始利率 6.00 33.98 32.99 32.03 31.10 30.19 29.31 28.46 27.63 26.82 26.04 25.28 24.55 23.83 23.14 22.47 21.81 21.18 20.56 19.96 573.05 1,074.39 0 50.00 33.90 32.83 31.80 30.80 29.83 28.89 27.98 27.10 26.25 25.42 24.62 23.84 23.09 22.37 21.66 20.98 20.32 19.68 19.06 545.93 1,036.35 -3.54% 变化幅度 （基点） 100.00 33.82 32.67 31.57 30.50 29.47 28.47 27.51 26.58 25.68 24.81 23.97 23.16 22.38 21.62 20.89 20.18 19.50 18.84 18.21 520.16 1,000.00 -6.92% -50.00 34.06 33.15 32.26 31.40 30.56 29.74 28.95 28.17 27.42 26.68 25.97 25.27 24.60 23.94 23.30 22.68 22.07 21.48 20.90 601.59 1,114.20 3.71% -100.00 34.15 33.31 32.50 31.71 30.93 30.18 29.44 28.73 28.03 27.34 26.68 26.02 25.39 24.77 24.17 23.58 23.00 22.44 21.89 631.63 1,155.89 7.59%