高数 第十一章 无穷级数12-1

周长为
P2
4 3
P1,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
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观察雪花分形过程
设三角形
16
( 1 1 1 )
2m 1 2m 2
2 m 1
每项均大于 1
即前m
2
1项大于(m
1)
1
2
由性质4推论,调和级数发散.
2m项
级数发散 .
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小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当
lim
n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
2n 2n 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是 lim( s s ) s s 0,
2n
n
n
便有0 1(n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
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2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
n
n
n 1
1
是等比级数公, 比q
1
1,
首项是
1，
2 n1 n
2
2
1
1
2 n1 n
lim n
h n
1
2
1
1,
2
故
5
1 5 1 6.
n1 n(n 1) 2n
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性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
2. 级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时,如果级数 un 的部分和数列 n 1
sn 有极限 s , 即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限 s 叫做级数 un 的和.并写成
n 1
n 1
s u1 u2 u3
如果
sn
没有极限,则称无穷级数
un
发散.
n 1
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s a aq aq2 aqn1 n
a aqn
a
aq n ,
1q 1q 1q
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当q 1时, lim qn 0 n
lim s a
1 q n
n
收敛
当q 1时, lim qn lim s
n
n
n
发散
如果 q 1时
当q 1时, s na n
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观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
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观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
sn不存在
当q 1时,收敛
综上
aq
n
当q n0
1时, 发散
发散
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例2
判别无穷级数
2
2
3n 1n
的收敛性.
n 1
解
u 2 32n 1n n
4
4 3
n 1
,
已知级数为等比级数， 公比q 4 , 3
例 4 试把循环小数2.317 2.3171717表示成
分数的形式.
解 2.317 2.3 17 17 17 103 105 107
2.3
17
1
n
103 n 0 100
等比级数 公比q 1
100
2.3 17 1 103 1 1
1147. 495
100
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数也发散.
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四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 u 趋于零, 即 n
级数收敛 limu 0.
n
n
证明
s
u
n 1 n
则u s s ,
n
n
n 1
lim u lim s lim s s s 0.
n
n
n
n
n
n 1
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证明
u u u
k 1
k2
kn
u u u
n
k 1
k2
kn
snk sk ,
则 lim
n
n
lim s
n
nk
lim s
n
k
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
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性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原 来的和.
证明
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
结论: 级数的每一n项1 同乘一个不n1为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , vn ,
n1
n1
则级数 (un vn )收敛,其和为s .
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
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n
3
1
n 1,2,
A A
3{4 n2
1 [( )n1
A
]}
n
n1
9
1
A
31
A
1 34( )2
A
3 4n2
1 ( )n1
A
1
91
91
9
1
A{1 [1
1 (4)
14 ( )2
14 ( )n2
]}
1 3 39 39
39
n 2,3,
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于是有
lim P
n
n
(u u ) (u u u )
1
2
3
4
5
s, s, s,
1
2
2
5
3
9
, s ,
m
n
则lim lim s s.
m
m
n
n
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注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如(11) (11) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
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1 (1 1 ), 2 2n 1
lim s lim 1 (1 1 )
n
n
2 n
2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1. 2
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二、级数的概念
1. 级数的定义:
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
sn u1 u2 部分和数列
n
un ui i 1
一般项
(常数项)无穷级数
s1 u1, s2 u1 u2,
s3 u1 u2 u3, ,
sn u1 u2 un ,
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即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i1
即 sn s
误差为 rn
(lim n
rn
0)
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
第一节 数项级数的概念与性质
一、问题的提出 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件
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一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a
1
正十二边形的面积 a a
1
2
正 3 2n
形的面积 a a a
1
2
n
即 Α a α α
1
2
n
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周长为 P 3, 1
面积为 A 3;
1
4
第一次分叉：
周长为 P 4 P,
2
31
面积为 A A 3 1 A ;
2
1
91源自文库
依次类推
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P 3, 1
面积为 A 3;
1
4
第一次分叉：
周长为 P 4 P,
2
31
面积为 A A 3 1 A ;
1
lim A A (1 3 ) A (1 3) 2 3.
n
n
1 1 4
1
5
5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
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例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq
n
a aq aq2
aqn
(a
0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
例 5
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
5
1
5
n1 n(n 1) 2n n1 n(n 1)
1
2 n1 n
n 1
5 n(n 1)
5
n1
1 n
n
1
1
令g n
5
n
1
k k1
k
1
1
5(1
1 ), n 1
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lim g 5lim(1 1 ) 5,
2
1
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依次类推
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观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P 3, 1
面积为 A 3;
1
4
第一次分叉：
周长为 P 4 P,
2
31
面积为 A A 3 1 A ;
2
1
91
依次类推
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
第 n 次分叉：
周长为 面积为
P
4 ( ) P n1
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n 1
2.必要条件不充分.
例如调和级数1 1 1 1
23
n
有limu 0, 但级数是否收敛 ?
n
n
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讨论
s s 1 1 1 n 1 ,
2n n n 1 n 2
| q | 1, 原级数发散.
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例 3 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
u n
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n 1
1 ), 2n 1
s 1 1
1
n 13 35
(2n 1) (2n 1)