04 通信网络性能分析2
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9
状态转移图1
由此分析，可以建立稳态方程： ( i k ) pi ,k pi 1,k (k 1) pi 1,k 1 (i 1) pi 1,k 0 i s 1，k 0
10
状态转移图2
在状态( s, k )时，各种可能的 变化如下： 从( s 1, k )到达一个初次呼 到达率为； 叫进入( s, k )，到达率为 从( s 1, k 1)到达一个重复 呼叫,被接纳进入( s, k )，到达 率为 (k 1)； 从( s, k 1)到达一个初次呼叫，被拒绝，以概率 成为重复呼叫， 到 率为； 进入( s, k )，到达率为 从( s, k 1)到达一个重复呼叫，被拒绝，以概率 成为重复呼叫， 则进入( s, k )的到达率为(1 ) (k 1)；
6
例4.1 如果 a 4.0erl，s 6， 0.5 ，求总呼叫量 aR 、 呼损和通过的呼叫量。
解 令F (aR ) a aR B ( s, aR )，代入a 4.0erl，s 6， 0.5， F (aR ) 4 0.5aR B (6, aR )，通过迭代求解 令aR 4，F (aR ) 4.24 4 24；令aR 4 4.24 24，F (aR ) 4 4.29 29； 令aR 4.29，F (aR ) 4.30；令aR 4.30，F (aR ) 4.30； aR 4.30 4 30，呼损 呼损B (6 (6, aR ) 0 0.139 139 通过的呼叫量a aR (1 B (6, 4.30)) 3.70erl
aB ( s,Fra Baidu biblioteka )
a v (1 ) s 1 a
根据定理4.1，溢出呼叫流不是Poisson过程 并可证明 v 峰值因子 z v
20
例4.3 呼叫量 a首先到达有s条中继线的第一路由， 然后溢出呼叫量去第 路由 如果 s 20 a 15erl , 然后溢出呼叫量去第二路由，如果 计算： 1 第一路由上通过的呼叫量和方差； 到达第 路由 的呼叫量和方差； 2 到达第二路由上的呼叫量和方差；
11
状态转移图2
在状态( s, k )时，各种可能的 变化如下： 从( s, k )离开一个呼叫进入 离去率为 s； ( s 1, k )，离去率为 从( s, k )到达一个初次呼叫， 被拒绝，以概率 成为重复 呼叫进入( s, k 1)，到达率为； 从( s, k )到达一个重复呼叫，被拒绝，以概率 成为重复呼叫， )的到达率为(1 ( ) k； 则进入( s, k 1)
如果没有重复呼叫， 呼损B (6, 4.0) 0.128，通过呼叫量a 4 (1 0.128) 3.49erl
7
具有重复呼叫的系统模型
假设
中继线容量为 s ，初始呼叫流的强度为 ，任意 通话持续时间为 参数的负指数分布。 在任一时刻 在任 时刻t的状态，用二维变量 的状态 用 维变量 (i, k ) 表示，其 表示 其 k (k 0) 表示重 中 i (0 i s ) 表示占用的中继数， 复呼叫话源的数目 对于每个重复呼叫流，它的呼叫流为参数 的泊 松过程 松过程。 在中继线全满时，初次呼叫将以概率 成为重复 呼叫流，重复呼叫流将以概率 继续成为重复呼 叫流。
a R B ( s, a R )
如果 a占被拒绝的呼叫量的比例为， 则
, (0 1)
a R a a R B( s, a R )
在给定了a , s 和 之后，可以通过上面的方程， 使用迭代的方法求 使用 代的方法求 a R ，呼损和通过的呼叫量。 呼损和 的呼叫量
17
溢出呼叫流的稳态方程
μ λ μ μ
λ λ
系统的稳态方程如下： 系统的稳态方程如下
p s 1,, k＋ p s , k 1 ( k 1) p s , k 1 ( s k ) p s , k
ap s 1, k＋ ap s , k 1 ( k 1) p s , k 1 ( a s k ) p s , k k 0且 p ( s , 1) 0
24
近似方法的目标是使这个均值和方差与实 际系统中呼叫流的均值和方差一致，从而 在知道实际系统中继线数目c后，可以依照 Erlang呼损公式计算呼损。
21
解： (1)第一条路由呼叫数k的概率为 ak pk k! ar r 0 r !
s
通过的呼叫量为 a a[1 B ( s, a )] 15[1 B (20,15)] 14.31erl 通过的呼叫量的方差为 v k 2 pk a2 k ( k 1) pk a a2
15
溢出呼叫流的稳态方程
假如使用一个二元变 0 j s, k 0 表示 量 ( j, k )， 系统状态，其中j表示 第一个系统的呼叫数， k表示第二个系统中的 呼叫数， 用 p( j, k ) 表示状态 ( j , k ) 的概率。 的概率
无限条中继线溢出系统
条中继线实际系统
图
溢出呼叫流
k 0
( k ) p
k 0 i 0
k 0 s
( k ) p
s
s ,k
i ,k
初次 初次呼叫的平均重复呼叫次数 的 复 次数M
14
E [k ]
[ k pi ,k ]
k 1 i 0
4.3 溢出呼叫流 4 3 1 溢出呼叫流的统计特征 4.3.1 考虑Erlang拒绝系统，到达的呼叫量为a， 中继线数目为s，则拒绝概率为 B ( s, a) ，溢 B ( s, a ) 。 出的呼叫量为aB 如果对于溢出的呼叫流，提供第2条路由， 在第2条路由上，溢出呼叫流是否仍为 Poisson过程呢？
问题：泊松过程的 峰值因子是多少？
23
4.3.2 溢出呼叫流呼损的近似计算方法 溢出呼叫流不在是Poisson过程，但是它的 特征可以用它的均值和方差表示 。 这个近似方法首先计算 这个近似方法首先计算一个中继线群上到 个中继线群上到 达总呼叫流的均值和方差，然后考虑一个 等价系统 该系统的特征有两个参量 中 等价系统，该系统的特征有两个参量，中 继线数目s和到达的呼叫量a，然后依照图 4.2中的概念计算该等价系统溢出呼叫量的 中的概念 算该等价系统溢 叫量的 均值和方差。
12
状态转移图2
由此分析，可以建立稳态方程： [ s k (1 )] ps ,k
ps 1,k (k 1) ps 1,k 1 ps ,k 1 (1 ) (k 1) ps ,k 1
k 0
13
( i k ) pi ,k pi 1,k (k 1) pi 1,k 1 (i 1) pi 1,k [ s k (1 )] ps ,k ps 1,k (k 1) ps 1,k 1 ps ,k 1 (1 ) (k 1) ps ,k 1 s pi ,k 1 i 0 k 0 0 i s 1，k 0 初次呼叫的呼损p0 ps ,k，总呼损p1
k 0 k 1 s s
a 2 (1 ps 1 ps ) a (1 ps ) a 2 (1 ps ) 2 a (1 ps aps 1 aps aps 2 )
22
ps 1 (1 ps ) B ( s 1, a )
v a 1 a B ( s 1, , a ) B( s, a ) 在s 20，a 15erl时，v 10.45 v 峰值因子z 0.73 a (2) aB ( s, a ) 15 0 0.046 046 0 0.69 69erl a v (1 ) 1.55 s 1 a v z 2.24
16
溢出呼叫流的稳态方程
系统的稳态方程如下： 系统的稳态方程如下
p j1,,k ( j 1) p j1,,k (k 1) p j,k1 ( j k) p j,k
ap j1,k ( j 1) p j1,k (k 1) p j,k 1 (a j k) p j,k 0 j s 1, 1k 0
通信网理论基础
第四章 通信网络 性能分析
4.1介绍
本章将在上一章的基础上，进一步讨论通 信网的性能分析 完成网络的平均呼损计 信网的性能分析，完成网络的平均呼损计 算和平均时延计算，了解网络各种优化模 型。 对于网络这个整体，实际上有许多交换机， 对于网络这个整体 实际 有许多交换机 彼此之间相互影响。 一个单独交换系统或排队系统的分析是基 个单独交换系统或排队系统的分析是基 础，但是不充分。
4
4.2重复呼叫流
一般来说，重复呼叫流不再是Poisson过程。 但是为了分析和计算简单，下面介绍的一 个近似计算方法假定重复呼叫流是Poisson 过程，这样原始呼叫流和重复呼叫流之和 仍为Poisson过程。 过程
5
a 为增加的呼 原始呼叫流为 a ，由于重复呼叫， 叫量 则总呼叫量 a R 为： 叫量，则总呼叫量 为 a R a a 被拒绝的呼叫量为：
2
首先考虑Erlang公式，这是一个局部呼损的 计算公式。在下面这些情况下，Erlang公式 将会不适用： 交换机的中继线群不是全利用度。 用户数目有限。 用户数目有限 大量重复呼叫流。 大量迂回呼叫流。
3
网络平均呼损和平均时延计算
所谓网络平均呼损和网络平均时延计算， 就是在已知下面条件时： 就是在已知下面条件时 1 各节点之间呼叫量或包到达率； 2 网络拓扑结构； 3 网络容量配置； 网络容量配置 4 网络路由规划。 然后分别去计算网络平均呼损或计算网络 平均延时。
18
概率归一性
p
j 0 k 0
s
j ,k
1
实际系统中呼叫数 j 的分布为：
p j p( j, k )
k 0
溢出系统中呼叫数k的分布为：
qk
p
j 0
s
j ,k
19
定理4.1 (Wilkinson) 分布 qk 的均值 E[k ] 和方差 v Var[k ] 定理4.1
8
状态转移图1
在状态(i, k )时，各种可能的 变化如下 变化如下：
0 i s 1, k 0
从(i 1, k )到达一个初次呼 叫进入(i, k )，到达率为； 从(i 1, k )离开一个呼叫进 入(i, k )，离去率为 (i 1)； , k 1) )到 到达一个重复呼叫进入 个 复呼叫进入(i, k )，到达率为 到 率为 (k 1) )； 从(i 1, 从(i, k )到达一个初次呼叫进入(i 1, k )，到达率为； 1 k )，离去率为 离去率为 i； 从(i, k )离开一个呼叫进入(i 1, 从(i, k )到达一个重复呼叫进入(i 1, k 1)，到达率为 k；
状态转移图1
由此分析，可以建立稳态方程： ( i k ) pi ,k pi 1,k (k 1) pi 1,k 1 (i 1) pi 1,k 0 i s 1，k 0
10
状态转移图2
在状态( s, k )时，各种可能的 变化如下： 从( s 1, k )到达一个初次呼 到达率为； 叫进入( s, k )，到达率为 从( s 1, k 1)到达一个重复 呼叫,被接纳进入( s, k )，到达 率为 (k 1)； 从( s, k 1)到达一个初次呼叫，被拒绝，以概率 成为重复呼叫， 到 率为； 进入( s, k )，到达率为 从( s, k 1)到达一个重复呼叫，被拒绝，以概率 成为重复呼叫， 则进入( s, k )的到达率为(1 ) (k 1)；
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例4.1 如果 a 4.0erl，s 6， 0.5 ，求总呼叫量 aR 、 呼损和通过的呼叫量。
解 令F (aR ) a aR B ( s, aR )，代入a 4.0erl，s 6， 0.5， F (aR ) 4 0.5aR B (6, aR )，通过迭代求解 令aR 4，F (aR ) 4.24 4 24；令aR 4 4.24 24，F (aR ) 4 4.29 29； 令aR 4.29，F (aR ) 4.30；令aR 4.30，F (aR ) 4.30； aR 4.30 4 30，呼损 呼损B (6 (6, aR ) 0 0.139 139 通过的呼叫量a aR (1 B (6, 4.30)) 3.70erl
aB ( s,Fra Baidu biblioteka )
a v (1 ) s 1 a
根据定理4.1，溢出呼叫流不是Poisson过程 并可证明 v 峰值因子 z v
20
例4.3 呼叫量 a首先到达有s条中继线的第一路由， 然后溢出呼叫量去第 路由 如果 s 20 a 15erl , 然后溢出呼叫量去第二路由，如果 计算： 1 第一路由上通过的呼叫量和方差； 到达第 路由 的呼叫量和方差； 2 到达第二路由上的呼叫量和方差；
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状态转移图2
在状态( s, k )时，各种可能的 变化如下： 从( s, k )离开一个呼叫进入 离去率为 s； ( s 1, k )，离去率为 从( s, k )到达一个初次呼叫， 被拒绝，以概率 成为重复 呼叫进入( s, k 1)，到达率为； 从( s, k )到达一个重复呼叫，被拒绝，以概率 成为重复呼叫， )的到达率为(1 ( ) k； 则进入( s, k 1)
如果没有重复呼叫， 呼损B (6, 4.0) 0.128，通过呼叫量a 4 (1 0.128) 3.49erl
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具有重复呼叫的系统模型
假设
中继线容量为 s ，初始呼叫流的强度为 ，任意 通话持续时间为 参数的负指数分布。 在任一时刻 在任 时刻t的状态，用二维变量 的状态 用 维变量 (i, k ) 表示，其 表示 其 k (k 0) 表示重 中 i (0 i s ) 表示占用的中继数， 复呼叫话源的数目 对于每个重复呼叫流，它的呼叫流为参数 的泊 松过程 松过程。 在中继线全满时，初次呼叫将以概率 成为重复 呼叫流，重复呼叫流将以概率 继续成为重复呼 叫流。
a R B ( s, a R )
如果 a占被拒绝的呼叫量的比例为， 则
, (0 1)
a R a a R B( s, a R )
在给定了a , s 和 之后，可以通过上面的方程， 使用迭代的方法求 使用 代的方法求 a R ，呼损和通过的呼叫量。 呼损和 的呼叫量
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溢出呼叫流的稳态方程
μ λ μ μ
λ λ
系统的稳态方程如下： 系统的稳态方程如下
p s 1,, k＋ p s , k 1 ( k 1) p s , k 1 ( s k ) p s , k
ap s 1, k＋ ap s , k 1 ( k 1) p s , k 1 ( a s k ) p s , k k 0且 p ( s , 1) 0
24
近似方法的目标是使这个均值和方差与实 际系统中呼叫流的均值和方差一致，从而 在知道实际系统中继线数目c后，可以依照 Erlang呼损公式计算呼损。
21
解： (1)第一条路由呼叫数k的概率为 ak pk k! ar r 0 r !
s
通过的呼叫量为 a a[1 B ( s, a )] 15[1 B (20,15)] 14.31erl 通过的呼叫量的方差为 v k 2 pk a2 k ( k 1) pk a a2
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溢出呼叫流的稳态方程
假如使用一个二元变 0 j s, k 0 表示 量 ( j, k )， 系统状态，其中j表示 第一个系统的呼叫数， k表示第二个系统中的 呼叫数， 用 p( j, k ) 表示状态 ( j , k ) 的概率。 的概率
无限条中继线溢出系统
条中继线实际系统
图
溢出呼叫流
k 0
( k ) p
k 0 i 0
k 0 s
( k ) p
s
s ,k
i ,k
初次 初次呼叫的平均重复呼叫次数 的 复 次数M
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E [k ]
[ k pi ,k ]
k 1 i 0
4.3 溢出呼叫流 4 3 1 溢出呼叫流的统计特征 4.3.1 考虑Erlang拒绝系统，到达的呼叫量为a， 中继线数目为s，则拒绝概率为 B ( s, a) ，溢 B ( s, a ) 。 出的呼叫量为aB 如果对于溢出的呼叫流，提供第2条路由， 在第2条路由上，溢出呼叫流是否仍为 Poisson过程呢？
问题：泊松过程的 峰值因子是多少？
23
4.3.2 溢出呼叫流呼损的近似计算方法 溢出呼叫流不在是Poisson过程，但是它的 特征可以用它的均值和方差表示 。 这个近似方法首先计算 这个近似方法首先计算一个中继线群上到 个中继线群上到 达总呼叫流的均值和方差，然后考虑一个 等价系统 该系统的特征有两个参量 中 等价系统，该系统的特征有两个参量，中 继线数目s和到达的呼叫量a，然后依照图 4.2中的概念计算该等价系统溢出呼叫量的 中的概念 算该等价系统溢 叫量的 均值和方差。
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状态转移图2
由此分析，可以建立稳态方程： [ s k (1 )] ps ,k
ps 1,k (k 1) ps 1,k 1 ps ,k 1 (1 ) (k 1) ps ,k 1
k 0
13
( i k ) pi ,k pi 1,k (k 1) pi 1,k 1 (i 1) pi 1,k [ s k (1 )] ps ,k ps 1,k (k 1) ps 1,k 1 ps ,k 1 (1 ) (k 1) ps ,k 1 s pi ,k 1 i 0 k 0 0 i s 1，k 0 初次呼叫的呼损p0 ps ,k，总呼损p1
k 0 k 1 s s
a 2 (1 ps 1 ps ) a (1 ps ) a 2 (1 ps ) 2 a (1 ps aps 1 aps aps 2 )
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ps 1 (1 ps ) B ( s 1, a )
v a 1 a B ( s 1, , a ) B( s, a ) 在s 20，a 15erl时，v 10.45 v 峰值因子z 0.73 a (2) aB ( s, a ) 15 0 0.046 046 0 0.69 69erl a v (1 ) 1.55 s 1 a v z 2.24
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溢出呼叫流的稳态方程
系统的稳态方程如下： 系统的稳态方程如下
p j1,,k ( j 1) p j1,,k (k 1) p j,k1 ( j k) p j,k
ap j1,k ( j 1) p j1,k (k 1) p j,k 1 (a j k) p j,k 0 j s 1, 1k 0
通信网理论基础
第四章 通信网络 性能分析
4.1介绍
本章将在上一章的基础上，进一步讨论通 信网的性能分析 完成网络的平均呼损计 信网的性能分析，完成网络的平均呼损计 算和平均时延计算，了解网络各种优化模 型。 对于网络这个整体，实际上有许多交换机， 对于网络这个整体 实际 有许多交换机 彼此之间相互影响。 一个单独交换系统或排队系统的分析是基 个单独交换系统或排队系统的分析是基 础，但是不充分。
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4.2重复呼叫流
一般来说，重复呼叫流不再是Poisson过程。 但是为了分析和计算简单，下面介绍的一 个近似计算方法假定重复呼叫流是Poisson 过程，这样原始呼叫流和重复呼叫流之和 仍为Poisson过程。 过程
5
a 为增加的呼 原始呼叫流为 a ，由于重复呼叫， 叫量 则总呼叫量 a R 为： 叫量，则总呼叫量 为 a R a a 被拒绝的呼叫量为：
2
首先考虑Erlang公式，这是一个局部呼损的 计算公式。在下面这些情况下，Erlang公式 将会不适用： 交换机的中继线群不是全利用度。 用户数目有限。 用户数目有限 大量重复呼叫流。 大量迂回呼叫流。
3
网络平均呼损和平均时延计算
所谓网络平均呼损和网络平均时延计算， 就是在已知下面条件时： 就是在已知下面条件时 1 各节点之间呼叫量或包到达率； 2 网络拓扑结构； 3 网络容量配置； 网络容量配置 4 网络路由规划。 然后分别去计算网络平均呼损或计算网络 平均延时。
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概率归一性
p
j 0 k 0
s
j ,k
1
实际系统中呼叫数 j 的分布为：
p j p( j, k )
k 0
溢出系统中呼叫数k的分布为：
qk
p
j 0
s
j ,k
19
定理4.1 (Wilkinson) 分布 qk 的均值 E[k ] 和方差 v Var[k ] 定理4.1
8
状态转移图1
在状态(i, k )时，各种可能的 变化如下 变化如下：
0 i s 1, k 0
从(i 1, k )到达一个初次呼 叫进入(i, k )，到达率为； 从(i 1, k )离开一个呼叫进 入(i, k )，离去率为 (i 1)； , k 1) )到 到达一个重复呼叫进入 个 复呼叫进入(i, k )，到达率为 到 率为 (k 1) )； 从(i 1, 从(i, k )到达一个初次呼叫进入(i 1, k )，到达率为； 1 k )，离去率为 离去率为 i； 从(i, k )离开一个呼叫进入(i 1, 从(i, k )到达一个重复呼叫进入(i 1, k 1)，到达率为 k；