对一道高考试题的探究
对一道高考试题的解法探究
2020年第11期中学数学教学参考（下旬）w w w.zh o n g sh u ca n.co m$7考频道对一道高考试题的解法探究柯良才（宁夏六盘山高级中学)摘要：高考试题具有科学性、逻辑性、规范性和典型性的特点，因此，研究高考试题是高中数学教学不可或缺的一部分，对其进行反复推敲与研究，会给复习备考带来不一样的收获。
关键词：高考数学；试题；解法文章编号：1002-2171 (2020) 11-0060-02高考试题是命题专家反复推敲、精心打磨的成 果，具有科学性、逻辑性、规范性和典型性。
高考试题 不仅具有选拔功能，更具有鲜明的教学导向功能。
下面笔者就2019年高考数学全国卷I E第23题进行了 探究，不仅找到了教材中的题源，还通过联想得到了 多种解法。
1原题呈现题目：设 x，;y，z e R，且 x+y+z^l。
(I)求U—l)2+(：y+l)2+U+l)2 的最小值;(n)若 u—2)z+〇—i)2+u—成立，证明：—3 或 —1。
本题是一道多元函数的最值问题，形式较为简 单，本文仅以第（I)问为例进行分析。
随新课程理念 的不断推进，高考试题的命制越来越关注对教材例、习题的研究，多以教材例、习题为源进行提炼、变式与 拓展，达到源于教材，高于教材的命题原则。
本题也 不例外。
此题源于人教A版《数学》(选修4-5)“不等式选 讲”第一讲第一节“不等式”习题1. 1中的第11题：已知设 a R+，且 a+6 +c r=l，求证：a2十62+c2>本题常用均值不等式法求解，高考试题在教材习题的基础上进行了全面拓展：（1)将限制条件从整实 数拓展到全体实数，为后面结论的拓展提供了可靠的 条件；（2)将源题简洁的结论背景从深度和宽度两方面进行了拓展，又将多个知识点联系到一起，为后续 试题的解答提供了发挥空间，有利于形成多种解法。
2多解联想像这类结构简单、形式优美的试题，我们可考虑从 形式和结论两方面人手，发挥想象，找到解题方法。
一道高考试题研究课的教学设计
一道高考试题研究课的教学设计引言：高考对于每位学生来说都意味着人生的分水岭，而高考试题对于学生来说非常关键。
通过对一道高考试题的研究，不仅可以帮助学生提升解题能力，还能了解考试命题的思路。
本教学设计旨在通过一道高考试题研究课，帮助学生掌握解题方法和考点，并培养学生的综合分析能力和思考能力。
一、引入（10分钟）1. 通过给学生出示一道高考试题，激发学生对高考试题研究的兴趣；2. 引导学生思考该试题可能涉及到的知识点和解题方法。
二、知识点讲解（20分钟）1. 围绕该试题的知识点进行讲解，解释相关概念和原理；2. 强调该知识点在高考中的重要性和应用。
三、研究案例分析（20分钟）1. 分小组讨论，每组选取该试题的一个解题角度进行深入研究；2. 学生们在小组内相互交流和讨论，共同探讨解题思路。
四、解题过程指导（30分钟）1. 教师以步骤为导向，引导学生分析解题过程，并给出解题思路；2. 学生们跟随教师的指导，一起完成试题的解答。
五、问题讨论（20分钟）1. 学生们分享自己的解题思路和答案，进行解答过程的对比和讨论；2. 教师积极引导学生思考，提出问题并组织学生进行讨论。
六、拓展延伸（20分钟）1. 教师以更高难度的相关试题进行延伸训练，巩固学生对知识点的掌握；2. 学生们分组合作，共同完成延伸训练。
教师在小组内指导学生进行讨论。
七、总结反思（10分钟）1. 教师给予学生积极的反馈，表扬他们在课堂上展现的学习积极性和解题能力；2. 学生们对本节课的学习进行总结和反思，指出自己的不足并提出改进意见。
八、课后作业（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生继续研究该试题，争取找到更多解题方法；2. 鼓励学生们积极参与练习，深化对知识点的理解。
教学设计的目标：1. 掌握一道高考试题的解题方法和考点；2. 培养学生的综合分析能力和思考能力；3. 提高学生解题的效率和准确性。
结语：通过一道高考试题的研究课，学生们不仅能够提升解题能力，还能更好地理解考试命题的思路。
揭开高考试题的神秘面纱——对一道高考试题的探究
１
致 轻杆 向右 移动 ．轻杆 与槽 间的最 大静摩
４
当 ＜ 、 ／ ６ 一 — 时， Ｖ ｔ ＝ ；
擦 力等 于滑 动摩擦 力 ，且 不计 小车与地 面的 摩擦 ． （ １ ）若 弹簧 的劲度 系数 为ｋ ， 求轻杆 开 始
０
解法二： （ 图象法 ） 因为 阻力Ｆ ＝ ｋ ｘ ， 以 Ｆ为 纵 坐 标 ， Ｆ 方 向 上 的位 移 为横 坐标 ， 作 出Ｆ ＿ 图 象 ，如 图３ 所
辨川 １
一
示， 曲线上 面积 的值 等 于耐 铁 钉做 的功． 由于两 次做 功相 等 ， 故有 ： ． ｓ ｌ ＝ Ｓ ： （ 面积） ， 即：
， ｎ ， ，
模型链 ） ． 构建复合 物理模型能将复杂 问题 转化为简单 问题的组合 ， 使 问题得到顺利解 图１ 答 ．除此 以外 ，试题 的另一 个难 点 在 于考 查 解析 （ １ ）轻 杆 开始 移 动时 ， 弹簧 了 多过程 的运 动 问题 ， 使学 生往 往很 难下 手． 的弹 力 且 ， １ ． 对 试题题 干做进一 步的分析讨 论 解得 ＝ ＿ Ｊ 试题 考查 连接 体 问题 的 同时 ，考 查 了多
．
轻杆
想 旧模 型 、 创造新 模 型来构 建复合 模 型 （ 或称
物理 － 精题拓辰
过程的运动问题 ，解决本题的关键点在于如 何抓住 多 过程 的临界 点— —本题 的临界 点为 轻杆 恰好 移 动．除此 以外 ，本 题 还有 一个 易 错点— — 关于对 “ 轻 杆可 在 固定 的槽 内移动 ， 与槽 间的滑 动摩 擦 力恒 为 厂 ” 这 句 话 的理 解 ， 很 多 学 生 在 答 题 时考 虑 轻 杆 和 槽 上 下 都 接 触 ，误认 为轻 杆在 移动过 程 中受 到两个 摩擦 力厂 ， 从而导致 解题错误 ． 试题乍 看上去平 常 ，题 图在复 习 中较为 常见 ，比如 打桩 机情 景， 但考查点却悄然发生 了变化 ， 题 目涉及碰 撞过程 ， 貌似考查动量方面的内容 ， 实则解题 过 程 却未 涉及 动 量 ．试 题 貌 似 常 规 题 型 ， 但 考 查落 点却 发生 了实质 性变 化 ， 与下 面的例 ２ 貌似相同 ， 实则大相径庭．
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思高考数学卷压轴题一直是备受关注的热点话题，往往在考后引起广大考生和家长的热烈讨论。
一道好的压轴题可以检验学生对数学知识的掌握和运用能力，也可以促使学生进行深入思考和探索。
本文将对一道高考数学卷压轴题进行研究与反思，探讨其对学生的启发和影响。
我们来看一道真实的高考数学卷压轴题：某市举行一次全民参与的环保活动，活动开始一小时内，2/5的居民参与了环保活动；过了两个小时，又有1/6的居民参与了环保活动；到活动结束时，参与环保活动的居民人数占该市总人口的1/4。
如果在活动的最后一个小时内，有5280 名居民参与了环保活动，那么该市的总人口数是多少？这是一道典型的压轴题，题目结合了比例与代数的知识，考查了考生的解决问题的能力和思维逻辑。
对于许多考生来说，这道题目可能是具有挑战性的，但它也确实是一个能够激发学生思考的好题目。
这道题目考查了考生对比例和代数的理解和运用能力。
解这道题目的关键在于建立起关于居民参与环保活动的数量与时间的比例关系，并通过代数的方法求解出总人口数。
这样的题目不仅仅是简单的计算题，更是要求考生将所学的知识进行整合和运用，从而提升其对知识的理解和应用能力。
这道题目也能够激发考生对实际问题的思考和分析能力。
通过这道题目，考生可以了解到环保活动的参与情况与时间的关系，从而引发他们对环保意识的思考。
这样的题目有助于培养学生的整体思维能力，让学生在考试中不仅仅是把题做对，更要引发他们对实际问题的关注和思考。
对于这样的压轴题，教师在备课时也需要进行充分的准备和思考。
教师需要将课堂上所学的知识与实际问题进行结合，给学生提供足够的案例和实例，引导学生思考和探索问题的解决方法。
只有这样，学生才能在考试中更好地运用所学的知识解决问题。
对于这样的压轴题，教师的备课工作也非常重要。
我们还需要意识到，压轴题并不是因为它们难而受到关注，而是因为它们对学生的启发和影响。
一道好的压轴题可以激发学生对知识的兴趣和对实际问题的思考，促使他们进行深入探索和思考。
2024年新高考数学I卷分析
2024年新高考数学I卷分析2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.三、加强考教衔接,引导中学教学2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.1.总题量由21题减少为19题,多选题由4题减少为1题,填空题由4题减少为1题,解答题由6道减少为5题.2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.3.增加新定义问题,全国卷I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.题号分值题型考查内容模块（题目数）15分单选题集合与不等式 1.集合（共1题）2.不等式（共2题）25分单选题复数的运算复数（共1题）35分单选题平面向量的数量积平面向量（共1题）45分单选题三角变换三角函数与解三角形（共3题）55分单选题圆锥的体积立体几何（共2题）65分单选题分段函数单调性函数（共2题）75分单选题三角函数的图象三角函数与解三角形（共3题）85分单选题抽象函数函数（共2题）96分多选题正态分布概率统计（共3题）106分多选题导数应用1导数（共3题）2.不等式（共2道）116分多选题曲线与方程解析几何（共3题）125分填空题双曲线解析几何（共3题）135分填空题导数的几何意义导数（共3题）145分填空题概率概率统计（共3题）1513分解答题解三角形三角函数与解三角形（共3题）1615分解答题椭圆、面积解析几何（共3题）1715分解答题线面平行、二面角立体几何（共2题）1817分解答题导数应用、对称问题导数（共3题）1917分解答题新定义、数列数列（共1题）1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求4.第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.5.对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.2024年新高考数学I 卷试题一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B =--,则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}2,3C ．{}3,1,0--D ．{}1,0,2-【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.【解析】由355x -<<得x <<,因为158<<,12<,所以{}1,0A B =- ,故选A.【快解】因为333275,285-=-<-=>,排除BCD,故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2．若1i 1zz =+-,则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D 1i +．【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.【答案】C 【解析】由1i 1z z =+-得,1i1i i z +==-,故选C.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．3．已知向量()()0,1,2,x ==a b ,若()4⊥-b b a ,则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D.2【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】D【解析】因为()4⊥-b b a ,所以()2244440x x ⋅-=-⋅=+-=b b a b a b ,所以2x =,故选D.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.【知识链接】1.求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b ＝x 1x 2＋y 1y2.2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.4.已知()cos ,tan tan 2m αβαβ+==,则()cos αβ-=A ．3m-B ．3m -C ．3m D.3m【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】A 【解析】因为()()()()cos cos 2sin sin tan tan 2cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβ--+===-++.所以()()cos cos mmαβαβ--=-+2,所以()cos αβ-=3m -,故选A.【快解】因为tan tan 2αβ=,取π,sin 4αββ===则()cos αβ+=()2cos sin 2βα-=1010,()cos αβ-=()2cos sin 2βα+=()3103cos 310m αβ=-+=-,故选A.【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.【知识链接】1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．5．已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为则圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易【答案】B【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为r ,由侧面积相等,得2ππr r =,解得r ,所以圆锥的体积为21π33⨯=,故选B.【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.6.已知函数()()22,0ln 1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是A ．(],0-∞B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[)0,+∞【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中【答案】B【解析】当0x ≥时()f x 单调递增,要使()f x 在R 上单调递增,应满足01a a -≥⎧⎨-≤⎩,所以10a -≤≤,故选B.【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.【知识链接】1.确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．7．[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中【答案】C【解析】作出曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.【知识链接】1.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．3.根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π；谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．8．已知函数()f x 的定义域为R ,()()()12f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论一定正确的是（）A ．()10100f >B ．()20100f >C ．()101000f <D ．()2010000f <【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难【答案】C【解析】由3x <时()3f x =,()()()12f x f x f x >-+-得,()()()321f f f >+=3()()()432f f f >+>5,()()()5438f f f >+>,()()()65413f f f >+>,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ,所以()()201615971000f f >>>,故选B.【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.【知识链接】1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列{}n a 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：(1)n a a a a ++++...321=12-+n a ；(2)n n a a a a a 212531...=++++-；(3)1...122642-=+++++n n a a a a a ；(4)12232221...+=++++n n n a a a a a a ；(5)1)()1()1(...1321+--=-++-+-+n n nn na a a a a a ；(6)11+-++=m n m n n m a a a a a ；(7)nn n n a a a ）（1211-=--+；(8)n n n a a a 322=+-+.2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：(1)若()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称；(2)()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称；(3)若()()22f a x f x b -+=,则()f x 的图象关于点(),a b 对称.(4)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(5)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(6)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ,则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Zu σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易【答案】BC【解析】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误；因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选BC ．【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.【知识链接】正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.10．设函数2()(1)(4)f x x x =--,则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时,()2()f x f x<C ．当12x <<时,4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时,()()2f x f x->【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中【答案】ACD【解析】解法一：对于A,因为()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>,()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,当01x <<时,210x x >>>,由()f x 在()0,1上单调递增,可得()()2f x f x >,B 错误；对于C,当12x <<时,1213x <-<,由()f x 在()1,3上单调递减,可得()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.解法二：对于A,由()()()313f x x x -'=-,且()1,3x ∈时,()0f x '<,当()3,x ∞∈+时,()0f x '>,得3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,取12x =,则1728f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,1135464f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫⎪⎝⎭,B 错误；对于C,因为()()()22141250f x x x -=--<,()()()221442210f x x x -+=-->,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.【知识链接】1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点．2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．11．造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【命题意图】本题考查曲线与方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度:难【答案】ABD【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-()2224x y x a -+-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+-=,解得2a =-,故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -++=,而2x >-,故()()22224x y x -++=.当22,0x y ==时,()()2222222844-=-=,故()2,0在曲线上,故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选ABD.【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题,该题以与生活有关的曲线命题,背景新颖,对解题能力要求较高,是一道好题.【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________．【命题意图】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养,难度：易【答案】32【解析】解法一：由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25b a=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.解法二：在直角△12AF F 中1213,5F A AF ==,由勾股定理得1212F F =,所以C 的离心率为12121231352F F e F A AF ===--.【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算,属于基础题,高考中双曲线客观题以容易题居多.【知识链接】1.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点且与实轴垂直的弦长为22b a；2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：e =13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理、直观想象,难度：中【答案】ln 2【解析】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲。
对一道高考比较大小试题的深度探究
对一道高考比较大小试题的深度探究胡㊀坚(江苏省淮安市金湖县第二中学ꎬ江苏淮安２１１６００)摘㊀要:２０２２年高考全国甲卷理科第１２题ꎬ题干简洁ꎬ内涵丰富.文章先给出试题的三种解法ꎬ然后给出试题的背景分析㊁课本溯源与变式训练.关键词:２０２２年高考ꎻ三角函数ꎻ比较大小ꎻ推广ꎻ变式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００５６－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:胡坚(１９８３.３－)ꎬ男ꎬ江苏省淮安人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学.㊀㊀三角函数式㊁对数式和指数式的比较大小问题ꎬ一直都是高考的难点.那么ꎬ如何破解这一类比较大小试题呢?这就需要我们深度研究高考真题ꎬ弄清楚试题的背景与来源ꎬ以及试题的命制思路.笔者以２０２２年高考数学全国甲卷第１２题为例ꎬ进行深度探究ꎬ希望可以给读者带来一些启示.１真题再现２０２２年高考数学全国甲卷第１２题[１]如下:已知ａ＝３１３２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４ꎬｃ＝４ｓｉｎ１４ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃ>ｂ>ａ㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃ㊀Ｃ.ａ>ｂ>ｃ㊀Ｄ.ａ>ｃ>ｂ２试题分析本题以三角函数值的大小关系为情境ꎬ考查三角式大小的比较.常见的处理方法是常数换元㊁构造函数ꎬ利用函数单调性或利用已知的函数放缩不等式.３解法探究思路１㊀作差ꎬ辅助角公式解法１㊀对于ａꎬｂ.ａ－ｂ＝３１３２－ｃｏｓ１４＝３１３２－１－２ｓｉｎ２１８æèçöø÷＝２ｓｉｎ２１８－１３２＝２ｓｉｎ１８－１８æèçöø÷ｓｉｎ１８＋１８æèçöø÷因为１８ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ所以０<ｓｉｎ１８<１８ꎬ即ａ－ｂ<０ꎬａ<ｂ.对于ｂꎬｃ.ｃ－ｂ＝４ｓｉｎ１４－ｃｏｓ１４＝１７ｓｉｎ１４－φæèçöø÷ꎬｔａｎφ＝１４ꎬφɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ因为φ<ｔａｎφ＝１４ꎬ即１４－φɪ０ꎬ１４æèçöø÷ꎬ所以ｃ－ｂ>０ꎬ即ｃ>ｂ.综上ꎬｃ>ｂ>ａ.选Ａ.思路２㊀设ｘ＝１４ꎬ问题等价于研究函数ａ＝１－１２ｘ２ꎬｂ＝ｃｏｓｘꎬｃ＝ｓｉｎｘｘ在区间(０ꎬ１)上的大小关系.㊀解法２㊀对于ａꎬｂ.设ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２－ｃｏｓｘꎬｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘ.设ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)ꎬｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－１<０.所以函数ｇ(ｘ)在(０ꎬ１)单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ即ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)单６５调递减ꎬｆ１４æèçöø÷<ｆ(０)＝０ꎬ即３１３２<ｃｏｓ１４.对于ｂꎬｃ.设函数ｈ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝－ｘｓｉｎｘ<０.所以函数ｈ(ｘ)在(０ꎬ１)单调递减ꎬ所以ｈ１４æèçöø÷<ｈ(０)ꎬ即ｃｏｓ１４<４ｓｉｎ１４.综上ꎬｃ>ａ>ｂ.选Ａ.思路３㊀利用结论:当０<ｘ<π２时ꎬ有ｓｉｎｘ<ｘ<ｔａｎｘ.解法３㊀ｃｂ＝４ｓｉｎ１４ｃｏｓ１４＝４ｔａｎ１４>４ˑ１４＝１⇒ｃ>ｂ.ｂ－ａ＝ｃｏｓ１４－１－１３２æèçöø÷＝１３２－２ｓｉｎ２１８>１３２－２８２＝０⇒ｂ>ａ.综上ꎬｃ>ｂ>ａ.选Ａ.４题后反思解法１中作差法是比较大小的基本方法ꎬ解法２中体现了函数与方程的思想.我们在构造函数时常遇到的是具有相同结构的式子比较大小ꎬ比如比较ｌｎ３３ꎬｌｎ４４ꎬｌｎ５５的大小ꎬ容易想到构造函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘｘ.但是近些年高考试题出现了一类新的题型ꎬ这类题型的统一套路是令一个微小的量为ｘꎬ比如此题的１４.解法３中的结论 当０<ｘ<π２时ꎬ有ｓｉｎｘ<ｘ<ｔａｎｘ 的证明也很巧妙ꎬ值得高一学完三角函数的定义之后视学生情况加以补充.其实解法１也是依托该结论来判断大小关系的.证明:如图１所示的单位圆中ꎬ当０<ｘ<π２时ꎬ则ＳәＯＡＤ<Ｓ扇形ＯＡＤ<ＳәＯＡＢꎬ即１２ｓｉｎｘ<１２ｘ<１２ｔａｎｘꎬ得证.图１㊀三角函数线该证明体现了数形结合的思想.５课本溯源试题主要考查两个常用不等式:ｔａｎｘ>ｘ(０<ｘ<π２)和ｃｏｓｘ>１－ｘ２２(ｘʂ０).它们的背景是泰勒公式.２０１９年人教Ａ版«普通高中教科书数学必修第一册»第２５６页习题２６如下:英国数学家泰勒发现了如下公式:ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３３!＋ｘ５５!－ｘ７７!＋ ꎬｃｏｓｘ＝１－ｘ２２!＋ｘ４４!－ｘ６６!＋ ꎬ其中ｎ!＝１ˑ２ˑ３ˑ４ˑ ˑｎ.这些公式被编入计算工具ꎬ计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精准性.比如ꎬ用前三项计算ｃｏｓ０.３ꎬ就得到ｃｏｓ０.３ʈ１－０.３２２!＋０.３４４!＝０.９５５３３７５.试用你的计算工具计算ｃｏｓ０.３ꎬ并与上述结果比较[２－３].下面补充正切函数㊁对数函数和指数函数的泰勒公式:ｔａｎｘ＝ｘ＋ｘ３３＋２１５ｘ５＋ ꎻｌｎ(１＋ｘ)＝ｘ－ｘ２２＋ｘ３３＋ ＋(－１)ｎ－１ｘｎｎ＋ ꎻｅｘ＝１＋ｘ＋ｘ２２!＋ ＋ｘｎｎ!＋ .以上公式统称为泰勒公式.由泰勒公式ꎬ可以得到几个常用的不等式:ｓｉｎｘ>ｘ－ｘ３６(ｘ>０)ꎬｃｏｓｘ>１－ｘ２２(ｘʂ０)ꎬｔａｎｘ>ｘ(０<ｘ<π２)ꎬｅｘȡ１＋ｘꎬｅｘȡ１＋ｘ＋ｘ２２(ｘȡ０)ꎬｌｎｘɤｘ－１ꎬｌｎ(ｘ＋１)ɤｘ.７５６试题推广由解法２可知ꎬ当０<ｘ<π２时ꎬ即ｓｉｎｘ>ｘｃｏｓｘꎬ从而ｎｓｉｎｘ>ｎｘｃｏｓｘ(ｎȡ２ꎬ且ｎɪＮ∗)ꎬ令ｘ＝１ｎꎬ可得ｎｓｉｎ１ｎ>ｃｏｓ１ｎ.再由ｃｏｓｘ>１－ｘ２２ꎬ可得ｃｏｓ１ｎ>１－１２ｎ２.这样ꎬ本题可以推广如下:设ｎȡ２且ｎɪＮ∗ꎬ则ｎｓｉｎ１ｎ>ｃｏｓ１ｎ>１－１２ｎ２.本题作为小题ꎬ如果能够利用结论或者泰勒公式就是最好不过.如果不知道结论或者泰勒公式ꎬ那么破解此类题型的通法就是选择ａꎬｂꎬｃ共有的一个较小的常数ꎬ记为ｘꎬ然后构造函数ꎬ求出函数的导数ꎬ利用其单调性进行比较大小.这样的题型和方法在２０２１年全国乙卷出现过.案例㊀(２０２１年全国乙卷第１２题)设ａ＝２ｌｎ１.０１ꎬｂ＝ｌｎ１.０２ꎬｃ＝１.０４－１ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ｂ<ｃ<ａ㊀Ｃ.ｂ<ａ<ｃ㊀Ｄ.ｃ<ａ<ｂ解㊀因为ａ＝２ｌｎ１.０１＝ｌｎ１.０２０１>ｂ＝ｌｎ１.０２ꎬ则排除Ａ㊁Ｄ.结合选项Ｂ㊁Ｃꎬ只需判断ａꎬｃ的大小.设ｆ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)－１＋４ｘ＋１ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２１＋４ｘ－(１＋ｘ)(１＋ｘ)１＋４ｘ(０<ｘ<１)又因为(１＋４ｘ)２－(１＋ｘ)２＝２ｘ－ｘ２＝ｘ(２－ｘ)>０ꎬ所以１＋４ｘ>１＋ｘꎬ即ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)单调递增ꎬ故ｆ(０.０１)>ｆ(０)＝０ꎬ即２ｌｎ１.０１>１.０４－１ꎬ因此ａ>ｃꎬ故选Ｂ.７变式训练变式１㊀设ａ＝ｌｏｇ３２ꎬｂ＝ｌｏｇ５３ꎬｃ＝ｌｏｇ６４ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｃ<ｂ㊀Ｂ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｃ.ｂ<ｃ<ａ㊀Ｄ.ｃ<ａ<ｂ解㊀３ａ＝ｌｏｇ３８ɪ(１ꎬ２)ꎬ３ｂ＝ｌｏｇ５２７ɪ(２ꎬ３)ꎬ所以ａ<ｂꎻ４ｂ＝ｌｏｇ５８１ɪ(２ꎬ３)ꎬ４ｃ＝ｌｏｇ６２５６ɪ(３ꎬ４)ꎬ所以ｂ<ｃ.选Ｂ.变式２㊀设ａ＝ｌｏｇ２３ꎬｂ＝５３ꎬｃ＝ｌｎ７ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｃ<ｂ㊀Ｂ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｃ.ｂ<ｃ<ａ㊀Ｄ.ｃ<ａ<ｂ解㊀３ａ＝ｌｏｇ２２７ɪ(４ꎬ５)ꎬ所以ａ<５３ꎬ３ｃ＝ｌｎ３４３ɪ(５ꎬ６)ꎬ所以ｃ>５３.选Ｂ.变式３㊀已知ａ＝ｓｉｎ２ꎬｂ＝ｌｎ２ꎬｃ＝２－１３ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃ<ｂ<ａ㊀Ｂ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｃ.ｂ<ａ<ｃ㊀Ｄ.ｂ<ｃ<ａ解㊀因为π２<２<２π３ꎬ所以ａ＝ｓｉｎ２>ｓｉｎ２π３＝３２ʈ０.８６６ꎻｂ＝ｌｎ２ʈ０.６９３ꎬ这些值很重要ꎬ最好记住.如果记不住ꎬ则由２４<ｅ３知ｌｎ２<３４.下面证明:ｃ＝２－１３ɪ(３４ꎬ４５)ꎻ３４<２－１３⇔()３<２－１⇔２７６４<１２ꎻ２－１３<４５⇔２－１<()３⇔１２<６４１２５.所以ｂ<ｃ<ａ.选Ｄ.变式４㊀设ａ＝ｅ０.３ꎬｂ＝ｌｎ１.５２＋１ꎬｃ＝１.５ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ｂ<ｃ<ａ㊀Ｃ.ｃ<ａ<ｂ㊀Ｄ.ｃ<ｂ<ａ解㊀由ｅｘ>ｘ＋１(ｘʂ０)和ｌｎｘ＋１<ｘ(ｘ>０)知ꎬａ２＝ｅ０.６>ｅ０.５>１＋０.５＝１.５＝ｃ２ꎬ所以ａ>ｃ.而ｂ＝ｌｎ１.５＋１<１.５＝ｃꎬ因此ａ>ｃ>ｂ.选Ｂ.参考文献:[１]张彬政.聚焦关键能力㊀强化思维品质㊀提升数学素养:２０２２年全国高考 比较大小试题 的分析与探究[Ｊ].中小学数学(高中版)ꎬ２０２２(１０):３９－４２.[２]刘海涛.对２０２２年新高考一道比较大小题的研究[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２２(１０):１４－１９. [３]李振涛ꎬ王淑玲.源于教材㊀发展于课堂:核心素养与关键能力的落实[Ｊ].教学考试ꎬ２０２３(２９):２０－２４.[责任编辑:李㊀璟] ８５。
对一道高考试题的探究及其应用
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又 因 为 直 线 曰的 倾 斜 角 为 ６ 。 所 以 Ｚ Ｎ ０， ． ＡＢ＝ ０ ，Ｏ ／ ＡＢ＝ ６ 。Ｃ Ｓ ＿Ｎ
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考 辽 宁 卷 （ 科 卷 ） ２ 题 为 例 进 行 探 究 应 用 ， 望 对 各 位 同仁 理 第 ０ 希
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数 学教学通讯 （ 师版 ） 教
试 题研究 ） 题探究 试
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对一道高考试题的探究及其应用
周 海 鸥
江 苏盱 眙 中学 ２ １０ １７ ０
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关键 词 ： 圆锥 曲线 ； 离心 率 ； 究 ； 探 结论 ； 用 应
注意 到 圆 锥 曲线 的 统一 方 程 （ 坐标 方 程 ） ＝ 极 为ｐ ＿ ＿ （ 其
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探究一道高考试题
÷（ ｉ ）， ｓ ｎ＝ ｉ ０ ｎ
１
由弧 肘 与 弧 。 Ｍ的长 度
相等， 得 ＝ 彻 × 于 可 叙ｌ ÷， 是
三 、 题 探 究 与 推 广 试
图３
ＬＭＯＭ ２．Ｌ２０为 坐标 原 点 建 立 新 坐标 系 ０Ｙ， 在 新 坐标 。 ＝ ０３ ￣ 。 则
ＡＭＯＭ．ｍ ＿ ． ＝ 又 以０为坐标 原点建立新 坐标系 ０Ｙ． 。 ． 则在新 坐 标系 ０Ｙ中， 以射线０ 为始边 ， 。 射线０Ｍ为终边的角为一 ｍ － ） （ Ｏ Ｏ
… ｍ １０则 ＝ （ 一 ） ｏＯ （ １ｒ ｎ ） ）， （ｍ １ｒ ｓ ，ｍ— ） ｉＯ ， ｃ ｓ
版选修４ ４ ３ 习题４ 一个 半径为 — 第４ 页 ： ４的定 圆０ ｒ 与一个半径 为ｒ 的动 圆Ｃ 相
图 １ Ａ Ｄ
图４
互 内切 ， 当圆Ｃ 圆０内壁无滑动地滚 沿 动时（ 如图４ ， ）探求圆Ｃ 上一定点 （ 开 始时在点Ａ） 的轨 迹的参数方程．
下 面 我 ￣ ｘ 这 道 课 本 试 题 的 一 ｆ， ｑ： ｔ
试题 赏 析
探 究 １ 除 ｍ＝ Ｐ ， 否 还 会 在 别 的 内 摆 形 上 使 得 点 肘的 轨 ： ２ ｂ是
系 ０ 中， 以射线 ０ 为始边 ， 线０ 为终边的角为一 ２ － ）一 射 （０ ０＝
，
迹也是 轴上的一条线段呢？ 由于动点 经过 轴上定点 ，所 以，如果点 的轨迹是线
（ ）当ｍ＝ 时 ，就 是这道课本 习题 ，动点 的参数方程为 １ ４
为
的轨迹就是水平的直径 ， 同理点Ⅳ的轨迹是一条垂直 的直径 ， 故
只能 选 答 案 Ａ ．
评注 ： 上述 两种 解 法 都 存 在
平移得截面,不变应万变——对一道全国Ⅰ卷高考试题的探究与推广
探索0123n S S S S S +++++ 的值．3 命题感悟众所周知，当我们进行一次物理测量时，都要有量具，一次考试就相当于一次测量，而试题就是量具，没有量具的测量是不可想象的．因此，在考试的诸多环节中，命题是最为关键的环节．命制一道好的中考压轴题，首先，要细致地考虑试题的方方面面，比如，考查的内容、考核的能力、材料的选用、题型的选择、解题时采用的思想和方法、难度、梯度的调控、学生的学习备考等等，分析得越透，越容易达到试题的目的．其次，要选择一个好的试题或结论作为素材，经过一系列改编，或修改考查的知识点，或改变解题的方法、难度以及解题过程的繁简程度，逐步调整形成适用的试题．最后，要仔细斟酌打磨，规范用语，严谨无漏洞，不产生歧义，不会引起学生不必要的猜测或误解，才能保证试题考查功能的发挥，体现命题方向以及教学导向．探索无止境，探索越多，思考越深，命出的试题质量就会越高，学生受益也就越大，评价的导向功能也就越好！参考文献 [1]蔡德清．中考数学压轴题的命题研究与反思[J]．福建中学数学，2010（11）：11-14[2]晨旭．中学数学考试命题研究[M]．长沙：湖南教育出版社，1997平移得截面，不变应万变——对一道全国Ⅰ卷高考试题的探究与推广罗旌昌 倪和鸿福建省永安市永安三中高中部（366000）《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：通过高中数学课程的学习，发展自主学习的能力；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值．2018年高考数学全国Ⅰ卷第12题是一道内涵非常丰富的立体几何高考题，可采用“平移得截面，不变应万变”的思想解决，很好地体现了《普通高中数学课程标准（2017年版）》的强调与关注． 1 试题呈现 （2018年高考全国卷Ⅰ·理12）如图1，已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）．ABCD2 试题源头挖掘 （《必修2》P79 B 组 2）如图2，在正方形ABCD A B C D ′′′′−中，求证：（Ⅰ）B D ′⊥面A BC ′′；（Ⅱ）B D ′与平面A BC ′′的交点H 是A BC ′′∆的重心（三角形三条边中线的交点）．3 试题解法探究思路1 观察截面α形状变化的全过程，寻找平行关系不变量．发现截面α为正三角形或六边形．在变化过程中，发现截面α平行于A BC ′′∆不变，从而猜想截面α的最大值． 解法1 如图3，在正方体ABCD A B C D ′′′′−中，平面A BC ′′与直线B A B B B C ′′′′′，，所成的角都相等，所以平面A BC ′′与正方体的每条棱所成角都相等，通过直观感知，截面α的位置为夹在面A BC ′′与面ACD ′中且过棱中点的正六边形EFGHIJ 时，面积最大，，面积为216sin 602S =×××26，故选A ．图1 图2 图3思路2 观察截面α形状变化的全过程，寻找图形关系不变量．在变化过程中，发现截面α各边或者它们的延长线所组成的图形总是正三角形，从而建立函数模型求截面α的最大值．′AB C D A ′B ′C ′D ′H A B CDA ′B ′C ′D ′I JE F G解法2 在正方体ABCD A B C D ′′′′−中，截面α为平行于平面A BC ′′的正三角形或六边形．设||B M t ′=，（1）当01t <≤时，如图4，截面α为正三角形LMN ，边长||MN =，故正三角形LMN 的面积为S=1π))sin 23×××2=≤（2）当12t <<时，如图5，截面α为六边形EFGHIJ ，正三角形LMN的边长||MN =，正三角形MEF LGH NIJ ，，的边长都为||1)ME t =−．如图6，故六边形EFGHIJ 的面积为：221π1π)sin 31)]sin2323S t =××−××−×22232(1)]4126)t t t t =−×−=−+−≤． 综上，当32t =时，截面α为正六边形EFGHIJ ，此时max S =图4 图5 图6思路3 观察截面α形状变化的全过程，寻找长度关系不变量．在变化过程中，发现六边形的边长||||||EJ FG HI ==，||||||EF GH IJ ==，且||EF +||||||||||EJ FG GH HI IJ =+=+=长都为不变，从而建立不等式模型求截面α的最大值．解法3 如图7，在正方体ABCD A B C D ′′′′−中，截面α为平行于平面A BC ′′的正三角形或六边形． 当截面α为正三角形LMN时，面积的最大值为α为六边形EFGHIJ 时， 设||(01)D E t t ′=<<，则||1EA t ′=−，故在正方体ABCD A B C D ′′′′−中，||EJ =，||)EF t =−，故||||EJ EF +．又//EJ A C ′′，//EF BC ′，60A C BC ′′′<>=，，所以120FEJ ∠= ，如图8．设||EF a =，||EJ b =（(0a ∈，(0b ∈）， 则EFJ S ∆=1||||sin1202EF EJ b ⋅⋅=⋅ ．同理1||||sin1202FGH S GF GH b ∆=⋅⋅⋅ ，1||||sin1202HIJ S IH IJ b ∆=⋅⋅=⋅ ．1||||sin 602FHJ S FH HJ ∆=⋅⋅2|FJ=222cos120]a b ab +−22]a b ab ++2)]a b ab =+−，所以六边形EFGHIJ 的面积为：23)]S b a b ab =⋅+−2)2]a b ab =++22())2]4a b a b +≤++×=当且仅当a b ==时，等号成立．图7 图8思路4 观察截面α形状变化的全过程，寻找角度不变量．在变化过程中，发现截面α与底面ABCD 所成二面角的平面角不变．从而由面积射影定理建立方程模型求截面α的最大值．解法4 在正方体ABCD A B C D ′′′′−中，截面α为平行于平面A BC ′′的正三角形或六边形．由面面平行的性质，发现截面α与底面ABCD 所成二面角的平面角θ不变．如图9、10，由于cos S QR S QP αθ===阴影，所以S S α=阴影． 如图9，当截面α为正三角形LMN 时，ABC LMNS ∆=≤阴影正三角形M ABC D A ′B ′C ′D ′L N JE G M LN HI F J E G M A B C D A ′B ′C ′D ′LN HI F GH IJ E FA BCD A ′B ′C ′D ′JE G M L N HI F1112=××=．当截面α为六边形EFGHIJ时，EFGIJK MAGHCNS S=六边形六边形．如图11在正方形ABCD中，过M作MM AC′⊥且垂足为M′．设||(01)DM t t=<<，则||1MA t=−，从而||MN=，||AC=．又||1MA t=−，所以||MM′=)t−，于是梯形MACN的面积为：211)](1)22S t t+−−．同理可得梯形GACH的面积为：11)(2)22S t t t=−−，所以六边形MAGHCN面积为：2211133(1)(2)()22244S t t t t=−+−=−−+≤，故34EFGIJKS多边形．图9 图10 图11思路5 观察截面形状变化的全过程，寻找垂直关系不变量．发现截面EFGHIJ始终垂直于棱DB′．从而建立投影模型求截面α的最大值．解法5 如图12，在正方体ABCD A B C D′′′′−中，以D为坐标原点，DA 方向为x轴正方向，||DA为单位长度，建立空间直角坐标系D xyz−，则(00D，，0)，(110)B，，，(101)A′，，，(011)C′，，，(111)B′，，，(010)B A′′=−，，，(100)B C′′−，，，(001)B B′=−，，．设平面α的法向量为()x y z=，，n，则cos||||B AB AB A′′⋅′′<>=′′⋅，nnn==．设向量B A′′与平面α所成角为1θ，则1sinθ=同理可得向量B C′′与平面α所成角2θ满足：2sinθ=，向量B B′与平面α所成角3θ满足：3sinθ=因平面α与线段B A B B B C′′′′′，，所成的角相等，故||||||x y z==．令x=α的一个法向量为DB′=，故平面α为垂直于正方体对角线DB′的正三角形或六边形．如图13，若把平面α当做投影面，此时正方体的投影为正六边形ABCC D A′′′，截面α为六边形EFGHIJ．如图14，当六边形EFGHIJ为正六边形时，边长为截面α面积最大，面积26S=．图12 图13 图144 试题本质探寻2018年高考数学全国Ⅰ卷第12题的内涵如此丰富，那么问题的本质是什么呢？如图15，六边形EFGHIJ可以看做正三角形LMN从正方体ABCD A B C D′′′′−的顶点B′开始平移运动，在运动过程中，截面α始终垂直于对角线B D′，截面α的形状从正三角形LMN变成六边形EFGHIJ，再变成正三角形LMN的过程．观察截面α形状变化的全过程，以三角形、六边形为载体，设计动态变化．截面α各边所在的直线构成的图形始终是正三角形LMN，且截面α总是伴随着长度、JHIFA CA′C′D′GEJHIFABCDA′()B D′C′D′GEJHIFA BCDA′B′C′D′GLM NEA BCDMNGHG′M′JHIFA BCDA′B′C′D′RGMLNMP NQEA()B QCDA′B′C′D′RGMLNMPN角度、对称、平行、垂直等不变的性质．在解决问题过程中，可以抓住变化过程中的不变量解决截面α面积的最大值问题．图15 图16 图175 试题结论推广由2018年高考数学全国Ⅰ卷第12题，我们可以推广到更一般的结论：结论1 如图16、17，已知正方体的棱长||AB||||(0)AD AA a a ′==>，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则截面α的形状为正三角形EFG 或六边形EFGHIJ ．当32at =时，截面α为正六边形EFGHIJ，此时2max S =． 结论2 已知长方体的棱长||AB a =，||AD b =，||AA c ′=，且()a b c c a b ≤≤≥+每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则截面α的形状分别为正三角形、四边形（等腰梯形或平行四边形），五边形．当[]t a b c ∈+，时，截面α为平行四边形EFGH ，此时max S =．结论3 已知长方体的棱长||AB a =，||AD b =，||AA c ′=，且()a b c c a b ≤≤<+每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截面α的形状分别为正三角形、等腰梯形、五边形、六边形．当2a b ct ++=时，截面α为六边形EFGHIJ，此时max S 222[()2()]a b c ab bc ca ++−++．结论4 已知长方体的棱长||AB a =，||AD b =，||AA c ′=，且()a b c c a b ≤≤<+每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则（1）截面α的法向量为()(0)a a a a ≠，，n ；（2）截面α与底面ABCD 所成的二面角的平面角θ不变，且cos S S αθ==投影面截面．限于篇幅，略去上述结论的证明，读者可以自行尝试完成．一个椭圆性质的几何证明彭 霞1 关丽娜2 覃 滨31广东省深圳市宝安区艺展小学（518000） 2广东省深圳市宝安区新安中学（集团）外国语学校（518000）3深圳大学师范学院附属中学初中部（518000）文献[1]中讨论了椭圆如下的一个性质： 性质 如图1所示，设2F 为椭圆22221(x y a a b+=> 0)b >的右焦点，过2F 作任意直线l 与该椭圆相交于M N ，，则存在x 轴上一个定点2(1)(0)2c e C −=，，使得CM CN → →⋅为常数2222(1)(4)4a e e −−．图1文献[1]中给出了上述性质的一个代数证明．本文给出此性质的一个几何证明．另外，文献[1]中给出的常数为224(1)4c e e −−．经过计算发现，该常数正确值应为2222(1)(4)4a e e −−． 证明 如图1所示，不妨设M 点在x 轴的上方，且设2MF x ϕ∠=和22MF NF λ=⋅，设C 为x 轴上一点．以下分两种情形进行讨论：情形1 当C 在2F 右侧，由椭圆焦半径公式得：222211cos 11cos b MFa eb NF a e ϕϕ =⋅ −=⋅ +，，xJ E G M A BC D A ′B ′C ′D ′L N H I F E A B C D A ′B ′C ′D ′F G J HI F A BCD A ′B ′C ′D ′G L M N E。
对一道高考试题的探究与赏析
切 入点 是紧扣 已知条 件 一 ．－ ； ｚ ３ ＋ ｏ
解 法 １ 几 何 法
为落
脚 点确定 ＋ Ｙ的最 值． 而得 以成 功解题 ． 从
若 一 ０ 时 ，
１ ．
＝ ＝ ＝
Ｐ
．
ｌ ＋． ， ｚ ） ＇ 所以ｘ 商 ＋ｙ一
・
．
若 一 ０时 ，
一
一 石 ＋
一
６ ４
另解 ：
中 学 数 学教 学
。
． ．
２０ ０ ９年 第 ４期
＋ ｖ≤ ￣２ ＋ ｙ ） ／（ ，
将 上式 １一 ＋． 一ｘ ｙ ｙ变形为
ｚｚ ＋ ｚ一 １＋
’ ． ．
由解 法 ３可 知 ＋ ｙ≤ ２ ．
≤ １＋
厶
，
点 评 借 助 向量数 量积 的重要 不等式 ， 巧妙 地 将求 目标 函 数最 值 的代 数 问题 转 化 为二 维 柯
设 Ｐ ∈０ ，正 定 得 ∞ 一， （ 由 弦 理 ： ， ）
一 一 一 一
．
一 ｚｏＩ＋Ｙ Ｅ ，
・ ．
．
（ ）＝ （ ｚ 萌 ＋Ｙ ）， ｚ
１一 ＋Ｙ 一 ，
‘
． ．
ｓ（ 州 ｓ ｉ ｎ ） 一 ｉ 峙 ３’
・
） 、 ＋ ） 们 之 间 的关 系 式 才 能 将 问 题 解 决 ． （ 它
解法 ４ 斜 坐标 ．
学 视野 ， 养 创新 思 维 ， 发进 一 步学 习数 学 的 培 激
兴趣． ３ 赏 析
本 题 清 纯 淡 雅 ， 涵 丰 富 ． 以
给定 两个长 度为 １ 的平
解法 ２ 解析 法
面向量ｏ 和 ， 们 的夹 － ￣ 它
一道高考试题解法探究的教学片段及思考
悟 ， 中 已有 底 ， 心 但不 露 声 色 ， 让 学 生 自己发 现 ， 要
一 一
生 １ 板演如 下 ） 因 为 Ｂ＝６ 。Ａ ， （ ： ０ ，Ｃ＝ 由正
弦定理 知 ，
笪
一Ｒ ２
ｓｎ — ｓｎＣ — ｓｎＢ 一 一 ’ ｉＡ ｉ ｉ 一
７ ５ａ＋（ 一 ）＝０ ａ一 ｔ ｔ ３ ，
要使 方程 有解 ， 则根 的判 别式
Ａ＝（一５） ４Ｘ ｔ ３ ≥０， ￡ 一 Ｘ（ ７ 一 ）
定 理进行 边角 转换 ， 三角形 中关于边 的不 等式转 将
化 为关 于角 的不等式 ， 分 利用 三角 函数 的有 界性 充 进行 处理 ， 以致 用 ， 好 （ 此 设 计 这 道 题 的 目 学 很 至
的已经达 到 ） ！
解得 ｆ ． ｔ ２ ， 人 式 （ ） 式 （ ） 得 ≤２ 当 ＝ 代 １， ２解
口：
， ：
． 因为 ＡＡ Ｃ存 在 ， 以 的 最 大 Ｂ 所
第 ５期
殷 长征 ： 一道 高考试题 解法探 究的教 学片段及 思考
・２ １・
值 为 ２ ， Ａ ２ Ｃ的最大值 为 ２ ． 即 Ｂ＋ Ｂ 此 时 ， 班 同学 都 为 生 ３的精 彩 演绎 而 鼓 掌 ， 全 并投 去 了赞许 的 目光． 师： 太好 了 ！生 ３的解 法 更 简捷 ， 解题 的 关 键
这 时 ， ３举起 了手 ， 生 并急不 可待 地走 到黑 板 前 ， 板
演如 下 ： 生 ３ 设 角 Ａ， ， ： Ｃ所对 的 边分 别 为 ａ ｂ ｃ 则 ， ，，
所 以
从 而
Ｂ Ｃ＝ ｓ Ａ，Ｂ＝ ｓ Ｃ， ２ｉ Ａ ２ ｉ ｎ ｎ
一道高考试题 一番学生探究 一串教学感悟——一道高考数学试题的多视角开发利用
、
－ 的表达式 ， ， ） ’ （ 并求 ｓ的最 小值 ． 生解 ： （Ｉ） 难 证 得 Ｆ ・Ａ百一 ０ 即 不 ，
Ｆ Ｍ上ＡＢ （ 从略 ． ． Ⅱ）
图 １
评析
这是一道解 几 、 向量 、 函数 、 导数 、 不
商 一（ ， 一 ． ｚ Ｙ 要） ２
出蕊 ∥确 ， 得
还成 立 吗？
学生 通过 从结 论 到证 法 上 移 植 ， 快 获 很
得 下面命题 １ 证 明． 及 命题 １ 已 知抛物 线 ３ 一２ ｙ ｐ Ｏ 的 ７ ｐ （＞ ）
人的“ 陈年老 酒” —— 练习 、 研究 、 拓展 一道 高
考 题 的快乐 “ 程 ” 旅 ．
１ 品 味 试 题 。 觉 常 规 熟 悉 感
物线 的切线 ， 其 交 点 为 Ｍ 证 明 ： 设 确
为 定值 ． 证明 如 图 １ 由 ，
一 ＇
．
・
４ 的焦点 为 Ｆ， Ｂ 是抛 物 线 上 的 两 动点 ， Ａ、
且Ａ — Ｆ ｏ ， Ａ、 两 点 分 别作 抛 百（ ＞ ） 过 Ｂ
商 知， 直线 Ａ Ｂ过抛
第 ３ 卷 第 ３期 ｌ
２１ 年 ３ ０２ 月
数 学 教 学研 究
３ ｌ
一
道高考试题 一番学生探究 一串教学感悟 道高考数学试题的多视角开发 利用
— —
一
黄 学波
（ 东省 南 雄 市 第 一 中学 广 ５２０） １４ ０
高考 试题 ， 是命 题专 家潜 心研 究 、 匠心独
运 、 心设 计 的试 题 精 品 ， 有 很高 的练 习 、 精 具
味道 ， 与学 价值极 其 有 限． 教
浅谈高考真题的解析与理解
浅谈高考真题的解析与理解众所周知，高考真题由命题专家反复揣摩、巧妙构思后精心命制，所以有明确的导向性、权威性、规范性和科学性，加之命题专家队伍有一定的稳定性，因而试题的考查内容、形式等具有一定的延续性和规律性，对高考备考有重要的指导意义和借鉴价值。
所以不管是教师还是学生，真题可谓是备战高考最常见，也是最宝贵的资料。
但真题又像是一个巨大的宝藏库，我们都想找到它的正确打开方式，12道选择题、5道主观题被进行了无数次、N多种的排列组合，但还有一个不容忽视的问题：真题，学生真的会用吗？教学过程中，我们经常会被问到这样的问题：“老师，我真题都做了6遍了，答案都会背了，可为什么一做文综题，历史选择题还是错很多？大题还是无从下手？”学生的疑问带给我的最大反思便是“教师不仅要会深度解读高考真题，还应该教会学生怎样去使用它。
”学生在利用真题的过程中普遍存在这些问题：一是仅把真题当作练习题使用，查漏补缺。
二是挑着做，以为高考不常考的知识点略略带过，高频考点反复做，会的就可以不做。
三是只做真题，脱离教材，这个问题在备考的冲刺阶段最为普遍。
其实这些问题归结起来就是学生不会解读和利用真题。
学生总是认为那是老师该做的事情，学生只需跟着老师走即可。
这样做带来的结果就是学生听得懂，但一旦让他自己来讲这道题，就无所适从了。
其实教师和学生的知识背景、思维方式是有很大不同的，老师总结的不一定就适合所有学生，甚至有的学生会对老师所讲的方法技巧进行生搬硬套，所以“授之以鱼不如授之以渔”，我们要让学生试着去找到打开真题的正确解锁方式。
那么学生如何利用高考真题呢？其一，懂得分阶段利用。
大多数高中的高三历史复习教学都是分阶段进行的，多是一轮、二轮或三轮，我校历史复习教学多是一轮小主题通史，二轮大主题通史，三轮热点主题史，那么每个阶段真题的使用情况是不同的。
一轮教学重在夯实主干知识，有效拓宽教材视野。
此阶段真题应按照知识点进行练习，重点放在主干知识的记忆和拓展上。
对一道解析几何高考题的探究
…
…
…
技 法
… … … …
…
ｉ－ ｉ
… ’
（ 求椭 圆 Ｅ的方 程． Ｉ）
（ 是 否存在 圆 心在原 点 的 圆 ， Ｕ） 使得 该 圆 的任
意 一条 切线 与椭 圆 恒 有 两个 交 点 Ａ， 且 Ｂ， 上
．
３ ８ ２ ７ ｋ－ ．
．
＋＞， 以Ｉ ４ 。所 ｍ
２ ２， ＞
性 质 ４： 直线 Ａ Ｂ交 圆 ＝２ 厂 于 ， Ｂ两点 ， 若 ＝ ／Ａ ／ ９ 。 或 ／Ａ０３９ 。 ， Ａ８必 与圆 ０３ ０ （ ＞ ／ ０ ）则 ＜ 相交 （ 或相 离 ） 若 ； 与 圆
、 ／ ＋ 孚（
由于 ４
） ．
８所 以 ０ ， ＜
４ １ ≤ １
以 ｌＢｌ Ａ ＝／１ ｋ Nhomakorabea） ８（ ｋ － ＋ （＋ ２ ８ ２ ｍ２ ４）
￣
一
＝、 ／ 厂
＝
＝
￣ ３ ４４ ｋ １ （ ２ ｋ ５２ 一＝ ／ ＋ ＋
两 ， ＝。 必 圆 ＝ 相 点 ９， 与 番 若 ｏ 则 切 Ａ与 ＝ 相 ， 有 ４＝。 ； 圆ｚ 番 切 必厶Ｄ９ 若 ＋ 则 ０ ．
得该 圆的任 意一条 切线 与 椭 圆 Ｅ恒 有 两个 交 点 Ａ．
Ｂ． 且 上 ．
＝ 相切 ， 则必 有 ＡＤ ９ 。 Ｂ＝ ０．
由于 （广 ） （ ｔ ｚ ｚ ＝ ＋ 一 ）
＝ 堕
，
所
性质３直线Ａ ： Ｂ交双曲 矿 善 ＝（ ６于Ａ 线等一 １ ＜） ， Ｏ 口
解 Ｉ由 （ ） 于椭圆Ｅ 等＋ ： ， ｏ过 ： 鲁 ｌａ６ ） ＞
ｃ， ２ Ｖ ， ， 两点 ， 以 Ⅳｃ Ｖ 所
对一道高考试题的思考与探究
如图 ｌ 设圆心Ｏ到 、Ｂ ， Ｄ的距离分别为
ｒ ＣＳ 时， Ｏ ０ Ｓ取得最小值 ２ ｒ
＝ ｓ ． ＝ ｉ ０ ． ｎ
ｄ、 ２Ｎｄ ＋ｄ ＝Ｏ ＝３ １ ｄ， ｝ ； Ｍ ．
，一 一
证 明： ＩＭ ｆ ｄ 圆心 ０到 Ａ 设 Ｏ ＝ ， Ｃ、ＢＤ的
ｄ２ 昙即１ ｄ： 时 ｓ ５我 ｌ ： ， ｄ： ２ ， ： ． ｄ ｍ
们同时得到当ｄ ｄ ＝ ０ 即 ｉ２ ， 圆（的直径时， ｍ ＝４ ＝ ） Ｓｉ ． 或 ＢＤ有一条是
二、 问题的进一步探究 问题 １ 将原问题 推广， 若 、ＢＤ过 圆（ 二 ） 内的定点 Ｍ ， 且其 夹角保持定角 不变， 结论如 何呢？ 定理 １ 已知 Ｍ 是半 径为 ７的圆 （ 内一定 ’ ＝ ） 点， Ｃ、 Ａ ＢＤ为过点Ｍ 的两条弦， 且它们的夹角
ｄ ＋ｃ 一２ｌ２ｏ０ ２ｉ ０ ； ｆ ｄｄ ｓ ＝ｄｓ ． ； ｃ ｎ
此时， 可得
显然， 这时 Ｓ 无最小值， 但有最大值． 定理 ２ 已知 吖 是半径 为 ｒ 圆 Ｏ内一定 的
Ｓ ２ｎ￣ｄ２ ２ｓ２，＇ｄｓ ０ ２ （ｄ ｒｏ ）７７ ２ｉ ＝ｓＯ １－ ＋ （一 ） ｉ ｃ０ ２２ ｎ
点， ＡＣ、Ｂ Ｄ为过点 的两条弦， Ｏ ＝ 设ＩＭＩ ｌ ｆ ｃ 其中 ｏ Ｏ ｓ
ｄ 则 当 Ａ 、 ＢＤ的夹角为 ， Ｃ ０
一
（ ≤ｃ曼 ０ ｄｓ） ｄ ￣２． ｏ
ｏ
ｌ
由 ≤Ｓ， 的 值 我 只 求 于 １ 要求 最 ， 们 要
Ｓ 的最大值和 的最小值即可． ｌ
（丢 ） 一＋
２
＝
ｄ／时， ）
２｛
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思【摘要】本文旨在研究与反思一道高考数学卷压轴题，通过对题目背景和内容的分析，探讨解题方法，解析考生易错点，探讨思维能力的培养以及对考试制度的反思。
通过对这道题目的深入研究，我们可以发现其中蕴含的数学思想和技巧，提高学生解题能力。
也可以反思当前的考试制度是否能真正评估学生的数学能力，是否能激发学生的创新意识和思维能力。
通过本文的研究与反思，我们可以更好地理解高考数学卷的命题思路，为提高学生的数学学习能力提供一定的借鉴。
【关键词】关键词：高考数学卷、压轴题、背景分析、解题方法、考生易错点、思维能力、考试制度、反思、结论。
1. 引言1.1 对一道高考数学卷压轴题的研究与反思现在，让我们来掏探一道高考数学卷压轴题，通过深入研究和反思，探讨其中的奥秘和启示。
这道题目作为高考数学卷的压轴题，往往会引起广泛的讨论和争议。
我们将从题目的背景和内容分析开始，探讨这道题目的设计理念和考察重点。
接着，我们将深入研究解题方法，揭示其中的技巧和逻辑，帮助考生更好地应对类似类型的问题。
我们还将分析考生易错点，指出常见的误区和解题思路，帮助考生避免犯错。
在思维能力的培养方面，我们将探讨如何通过这道题目锻炼考生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。
我们将对考试制度进行反思，探讨如何更好地发挥高考数学卷的作用，促进学生全面发展。
通过对这道高考数学卷压轴题的研究和反思，我们将深化对数学学科的认识，提高解题能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
2. 正文2.1 题目的背景和内容分析高考数学试卷作为中国高等教育选拔的重要工具，一直备受广大考生和家长的关注。
每年的高考数学试卷都会有一到多道被称为“压轴题”的较为难题，这些题目不仅考察了考生的数学基础知识，还考察了他们的解题能力和创新思维。
在今年的高考数学试卷中，一道压轴题引起了广泛的讨论和研究。
这道压轴题是一道涉及数论和概率的复合题，内容相对较为复杂，题目设立了多个难点。
对一道高考题的多种解法及感悟
以６ ０ ｏ ＜ ａ ＜ ９ ０ ｏ ， 所以 ｎ ＜ ０ 目 ． ｙ ｏ ＜ ０ ．
高 中 版 十・ ？ 擞－ ？
教 参
解 法 探 究
２ ０ １ ３年 ３月
为几道２ ０ １ ２ 年高考选择题 “ 正身’ ’
⑧北京 市 丰台二 中 甘志 国 （ 特 级教师 ）
高考题 １（ ２ ０ １ ２ 年天津 理６ ） 设 ｍ， ｎ∈ Ｒ， 若 直线 （ ｍ＋
由①②③
一 ７
，
Ｙ
【 ＇ ， ＝ 一 、 ／ ．
解法３ （ 三 角与解析综 合 法） 如 图２ ， ／ ３ 为Ｄ Ｐ 倾斜角 ， 易见 ，
６ ０ 。 ＜ ／ ３ ＜ ９ ０ 。 ， ｔ ａ ｎ 卢 ＝ ８＝ 了 ４
Ｑ
．
一
０
互
采撷 一例来 和大家共同研 究．
…
｛ ７
【 ｙ ＝ － 、 ／ ２ ・
这是很有特色的一道题 ， 本题巧妙地把旋转概念与 向 量运算综合在一起 ，设计新颖 ，
，
解 法４ （ 三角直接计算 ） 如图３ ， 同解法３ ， 得到ｔ ａ ｎ ｏ ／ ＝
． ） ￣ ｃ ｏ ｓ ａ ＝ ７ ７ ｘ ／ ￣ 了 １ 所１ ７
Ｄ ． （ 一 ， ２ － ２ ］ ｕ［ ２ ＋ ２ ， ＋ ∞）
这就说 明了高考题 １ 有误 ，并且文献１ 还 得到 了高考 题１ 的正确答案是“ 不存 在” ．
（ 参考答 案 ： Ｄ ）
文献 １ 认为这是一道值得商榷 的高考试题 ：
命 题１ 若ｍ， ｎ ∈Ｒ， 则直 线 （ ｍ＋ ｌ ＋ （ 斛１ ） ｙ － ２ ＝ ０ 与
、 ／ ．
Ｑ 共 线 ．又 易 知 ＝ （ ８ ， 一 ６ ） ，所 以 ： （ ６ ， ８ ） ＋ （ ８ ， 一 ６ ） ：
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考数学卷压轴题往往是难度最大、思维最复杂的一道题目。
对于考生来说，这不仅是一件考验智商的事情，更是挑战思维和解题能力的机会。
在解答这种类型的题目时，要有耐心、细心、理智，思路清晰，方法得当。
首先，要认真阅读题干，明确问题。
在阅读中须注意数据和条件，梳理各种信息，尤其是一些重要的条件和限制，如区间、范围、等式、不等式以及与相关变量的关系等，对于解题过程中的把握和计算将起到至关重要的作用。
其次，要找到合适的方法和解决思路。
针对不同的题型，应该灵活运用代数、几何、统计、推理、概率等各种数学知识，找到最简单、最快捷的方法来求解问题。
如对于一些图形变换题目或者容斥原理等组合问题，我们可以运用几何知识去思考、解题；对于一些像余弦值或正切值之类的三角函数问题，我们可以通过代数和几何相结合想办法求出其近似值，并进一步搭配其他相关性函数来解决; 使用几何思想推导数学定理等都是一些灵活应用的例子。
最后，在解答过程中也要注意细节，严密把握每一步计算、推导。
不要心急，一定要认真检查，以防万一出错。
此外，要保持冷静，乐观态度，坚定信念，不要让不必要的紧张和焦虑影响到正常解题思路和效率。
总的来说，对于一道高考数学卷压轴题，解答的关键在于平时复习的基础和对综合运用各种解题思路的灵活性。
要不断摸索，积累经验并灵活运用，带着问题思考和解决问题的能力在高考时打出好成绩。
高考生物试题研究报告标题
高考生物试题研究报告标题1.《高考生物试题：探索微观与宏观世界的钥匙》例子：你知道吗？高考生物试题就像一把神奇的钥匙。
它能打开微观世界里细胞的奥秘，又能引领我们探索宏观的生态系统。
那些看似复杂的基因、那些千奇百怪的生物现象，都在这些试题里等着我们去解读。
通过研究高考生物试题，我们就像是在探索生命的宝藏。
高考生物试题真的是探索微观与宏观世界的钥匙啊。
2.《高考生物试题：生命密码的解读之旅》例子：嘿，高考生物试题就像是一场生命密码的解读之旅。
就像侦探破解神秘案件一样，我们在试题里寻找着生命的线索。
从DNA的双螺旋结构到生物的遗传规律，每一道题都是一个密码锁。
要是能把这些试题研究透了，那我们可就成了生命奥秘的小专家了。
高考生物试题真的是一场生命密码的解读之旅啊。
3.《高考生物试题：通向生物知识殿堂的阶梯》例子：哟，高考生物试题呀，那可是通向生物知识殿堂的阶梯呢。
你看那些生物概念、原理，就像殿堂里的珍宝。
我们每做一道题，就像踏上一级阶梯，离那些珍宝就更近一步。
要是忽视了对这些试题的研究，就像放弃了攀登知识高峰的机会。
所以啊，高考生物试题确实是通向生物知识殿堂的阶梯。
4.《高考生物试题：生物世界的指南针》例子：嗨呀，高考生物试题就如同生物世界的指南针。
在生物这个浩瀚的海洋里，我们很容易迷失方向。
但是这些试题呢，就给我们指出哪里是遗传的小岛，哪里是生态的暗礁。
要是按照这个指南针去探索生物知识，那我们肯定不会晕头转向。
高考生物试题真的是生物世界的指南针啊。
5.《高考生物试题：生物奥秘的拼图碎片》例子：哇哦，高考生物试题就像是生物奥秘的拼图碎片。
每一道题都蕴含着一小部分生物的真相。
就像拼拼图一样，我们把这些碎片一块一块地组合起来。
从细胞结构到生物进化，当我们把足够多的碎片拼好的时候，一幅完整的生物奥秘画卷就展现在眼前了。
高考生物试题真的是生物奥秘的拼图碎片呀。
6.《高考生物试题：挖掘生物宝藏的工具》例子：天哪，高考生物试题简直就是挖掘生物宝藏的工具啊。
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对一道高考试题的探究作者：许凤姣刘成龙蒋红珠
来源：《福建中学数学》2018年第08期
探究指“探索研究”，即努力找出答案，解决问题，数学探究活动指围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《课标》）指出：数学探究活动是数学内容的主线之一，数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体，”[1]可见，探究活动是新一轮课程改革提倡的重要数学活动形式，对学生数学素养的提升有益，下文以2013年高考安徽卷理科第9题（简称第9题）为探究问题，从背景、解法和拓展视角展开探究.
1 探究问题
希尔伯特指出：“数学问题是数学的灵魂，”数学问题是探究活动的起点，好的数学问题引领探究活动的顺利开展，伴随整个探究性活动，什么样的数学问题适宜于探究呢？“问题真实，源于学生实际;问题难度适中，符合学生最近发展区;问题背景深刻、内涵丰富;解答视角宽，便于学生从不同角度探究;问题可变性强，宜于推广和变式;问题与其它数学内容融合度大，”[2]第9题具有一定的难度、深度和广度，是一个好的探究问题，
问题再现（2013年高考安徽卷·理9）在平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点Α，Β满足|OA|=|OB|= OA·OB =2，则点集{P|OP=λ0A+μOB，|λ|++|μ|≤1，λ，μ∈R）所表示区域的面积是（）
2 问题背景
背景指命题时选取素材中含有的知识、模型、问题、文化、思想和方法等，[3]试题背景引领试题编拟方向，凸显试题立意，研究试题背景，可以准确把握试题本质、理解试题设问、拓宽试题解法、加强试题拓展，第9题蕴含向量等系数和线（简称等和线）背景，
等和线定理[4]如图1，直线AB∥DE，点C为直线DE上任意一点，P为直线AB，DE外一点，若PC=mPA+nPB，则m+n=k=PC/PF（其中K为定值）.
特别地，A，B，C共线时，m+n=1，反之亦然，
等和线定理的推广形式为：
推广型等和线定理如图2，设直线DE∥AB，直线DE'∥A'B，直线D'E'∥A'B'，直线
DE'∥A'B，点C为四边形DED'E'边界上任意一点，若PC=x PA+yPB，PCi/PFi=k（i=1，2，3，4），则|x|+|y|=k.
推论1 若|PA|=|PB|，四边形ABA'B'的为矩形;
推论2 若|PA|=|PB|，|x|+|y|
由推论2 知第9题中点集P表示区域为矩形边界及内部，得S= 4S△OAB，毫无疑问，熟悉上述背景对试题的本质、试题的解法将有更加深入的认识.
3解法研究
P.R.Halmos指出：数学家存在的主要理由是解问题，数学的真正组成部分是问题和解，可见，解题研究在数学活动中占有十分重要地位，解题研究的视角有：一题多解、多题一解、一题多用、错解分析等等，[5]其中，一题多解指从不同视角对同一问题进行分析进而得到多种解答方法，通过对解法间共性与差异的把握，既能让学生认识问题的本质，又能培养学生的发散思维，[6]第9题从直观上看属于线性规划问题，但又有别于传统的线性规划问题，具有一定的新颖性和创造性，下面从特殊化、一般化和本质化给出问题的解答：
由cos∠AOB=OA·OB/|OA|·|OB|=1/2，得AOB∠=60°，故△OAB是边长为2的等边三角形，
視角1特殊化
华罗庚教授指出：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，退到最原始而不失重要性的地方”，特殊化是“退”的重要策略，
视角2 一般化
你能用不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？[5]
视角3 本质化
《标准》指出：“理解与高中数学关系密切的高等数学的内容，能够从更高的观点理解高中数学知识的本质，”“在日常的中学数学教学中，能够用高等数学的思想、观点、方法去解释和理解中学数学问题的例子很多，重要的是，作为一名数学教师应该具有这样的思维和意识.（张奠宙语）”从高等数学的角度来认识第9题的解答方法，
方法3 矩阵变换法
方法4 二重积分的变量代换法[7]
评注方法1将坐标特殊化，从线性规划的角度进行求解，是考生最容易想到的办法;方法2抓住试题的背景，给出了试题的一般解法，这对把握试题的本质有益;方法3、4从高等数学角度给出试题的解法，这对更高角度理解方法1、方法2有益，对深层次认识试题有利，对问题的推广有用.
4 问题拓展
波利亚指出：没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做，[5]比如，问题的拓展，第9题可以从变式和推广两个方面展开.
4.1 试题变式
变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式，“依靠变式提升演练水准”是张奠宙先生指出的数学教学的四个特征之一，它不仅能有效制题海战术，而且能完善学生认知，帮助学生形成良好的的认知结构，陈景润先生指出“题有千变，贵在有根，”基于根一等和线定理，可以对第9题作出如下变式，
变式平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点A，B满足|OA|=|OB|，OA=（x1，Y1），OB= （X2，Y2），则点集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R）表示区域的面积是2|x1Y2 - x2Y1|.
评注第9题中条件|OA|=|OB|：OA·OB =2的功能是求△OAB的面积，事实上，由OA，OB的坐标即可确定△OAB的面积，于是可得上述变式，特别指出，变式中的|OA|=|OB|一条件可去掉，变式结论依然成立.
4.2 试题推广
数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，进行适当变化，使得到的新命题为真，[8]张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广，试题推广有利于完善学生认知结构，试题推广的方法有：增加元的个数、提升元的次数，数字字母化，结论一般化等[6]，第9题可以从多视角推广，如下：
视角1 条件中的常数一般化
视角2 平面问题空间化
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017
[2]蒋红珠，刘成龙.对一道向量最值问题的研究性学习[J].福建中学数学，2018 （2）： 14一18
[3]薛世林，刘成龙.2016年高考四川理科数学卷21题的多角度分析[J].福建中学数学，2017 （4）： 4-6
[4]余小芬，刘成龙.2017全国卷III数学理科12题的研究[J].中学数学研究（江西），2017 （11）：37-39
[5]波利亚.涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007
[6]余小芬，刘成龙.对2016年四川卷高考理科10题的研究[J].中学数学研究（江西），2016 （11）：12-16
[7]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2004
[8]郑隆昕.数学推广的类型与思想方法[J].武汉教育学院学报，1999，18 （3）：5-10。