因素分析

探索性因素分析的理论基础
共同性与唯一性： 共同性与唯一性：
被试在第j个变量上的z分数的变异量为： 被试在第j个变量上的z分数的变异量为：
2 σ zj = 1 =
Z2 ∑ ji N
展开上式： 展开上式：
2 σ zj = 1 = {a 21 + a 22 + a 23 a 2m +2[a j1a j 2 r f 1 f 2 + j j j ·····+ j
转换成因素矩阵如下： 转换成因素矩阵如下：
探索性因素分析的理论基础
变量 F1(共同因素一 F2(共同因素二 共同性 2 唯一因素 2 共同因素一) 共同因素二) 共同因素一 共同因素二 共同性h 唯一因素d
X1 X2 X3
2 11
a11 a21 a31
2 21 2 31
a12 a22 a32
2 2 2 a12 + a22 + a32
f 11 f 12 +α i2 ... f1n
隨機變數 X2 x21 x22 . . . x2n … . … … … … …
f 21 f 22 + ... + α ip ... f 2n
Xk xk1 xk2 . . . xkn F1 f11 f12 . . . f1n
因素分析 （factor analysis）
温红博
提纲
探索性因素分析的理论基础 探索性因素分析的步骤 验证性因素分析简介
引言
因素分析是一种利用数学方式进行数据缩减(data 因素分析是一种利用数学方式进行数据缩减(data reduction)和数据汇总 和数据汇总(data summarization)的 reduction)和数据汇总(data summarization)的 精简方法， 精简方法，能将众多的变量浓缩成为较少的几个 精简变量。所获得的精简变量即是因素(factor)。 精简变量即是因素(factor) 精简变量。所获得的精简变量即是因素(factor)。
探索性因素分析的理论基础
以三个变量抽取两个共同因素为例， 以三个变量抽取两个共同因素为例，三个 变量的线性组合分别为： 变量的线性组合分别为：
Z1 = a11 F1 + a12 F2 + ε1 ,
Z 2 = a21 F1 + a22 F2 + ε 2 ,
Z 3 = a31 F1 + a32 F2 + ε 3 .
斜交转轴后各观察变量与因素间的相关系数矩阵
matrix组 Pattern matrix组型矩阵
斜交转轴后各观察变量与因素间排除因素间相关后之相关系 数矩阵
matrix因素分数系数矩阵 Factor score coefficients matrix因素分数系数矩阵
用以反应因素得分的类回归方程式系数矩阵
2 2 2 a 12 + a 22 + a 32 3
a +a
2 31
2 2 a11 + a12 1 − h12 2 2 2 a21 + a22 1 − h2
2 32
1 − h 32
特征值 a + a + a 解释量
2 2 2 a11 + a12 + a31 3
探索性因素分析的理论基础
共同性， 共同性，就是每个变量在每个共同因素的负 荷量的平方总和（ 荷量的平方总和（每行中所有因素负荷量的平方 ），也就是个别变量可以被共同因素解释的变 和），也就是个别变量可以被共同因素解释的变 异量百分比， 异量百分比，这个值是变量与共同因素间多元相 关的平方。 关的平方。
引言
验证性因素分析(confirmatory 验证性因素分析(confirmatory factor analysis, CFA)：使用于研究进入较成熟阶段， CFA)：使用于研究进入较成熟阶段，验证或确认 因素分析各参数的性质或因素的数量。 因素分析各参数的性质或因素的数量。
一、探索性因素分析的理论基础
rotation直交转轴 Orthogonal rotation直交转轴
不具有相关的所有因素转轴结果
rotation斜交转轴 Oblique rotation斜交转轴
因素间具有相关的转轴结果
matrix因素负荷矩阵 Loading matrix因素负荷矩阵
直交转轴后各观察变量与因素间的相关系数矩阵
matrix结构矩阵 Structure matrix结构矩阵
f p1 f p2 +α iu ... f pn
因素 F2 f21 f22 . . . f2n … … … … … … …
f iu 1 f iu 2 ... f iun
Fp fp1 fp2 . . . fpn
資料﹝觀察值﹞
因素分數
2 j 2 j1 2 j2 2 j3
2 jm
所以，当各因素之间没有相关时， 所以，当各因素之间没有相关时，共同性即为各组 型负荷量的平方和。 型负荷量的平方和。
探索性因素分析的理论基础
解释率： 解释率： 共通因素F 对所有随机变量之变异量的总贡献量为： 共通因素Fj对所有随机变量之变异量的总贡献量为：
结构负荷量（ loading）： 结构负荷量（structure loading）： 因素与变量之间的相关就是结构负荷量， 因素与变量之间的相关就是结构负荷量，任一变量 Z j 与任一因素 Fp 的相关是： 的相关是： 展开后为： 展开后为：
rzjfp
∑Z =
ji
Fpi N
··+ rzjfp = a j1rf 1 fp + a j 2 rf 2fp + ···+a jp + a jm rfmfp
如果各因素之间相关为0 如果各因素之间相关为0 ，则 rzjfp = a jp ，组型负荷 量与结构负荷量相同。 量与结构负荷量相同。
探索性因素分析的理论基础
再生相关系数（ 再生相关系数（ Reproduced correlation coefficients） coefficienBiblioteka Baidus） 假定两个变量之间的相关为： 假定两个变量之间的相关为：
因素分数（ 因素分数（ Factor scores ） 当抽取适当的因素后，相对于每个被试， 当抽取适当的因素后，相对于每个被试，因素必须 有对应的值，这些值即称为因素分数。 有对应的值，这些值即称为因素分数。
探索性因素分析的理论基础
因素分数的产生由因素负荷量为基础，通过回归分析原理 来获得一组因素分数系数，即可计算因素分数 因素分数系数为因素负荷量与相关系数反矩阵的乘积
引言
因素分析目的之一在获得测验的构念效度 validity)， (construct validity)，利用因素分析抽取变量 之间的共同因素 共同因素(common factor)， 之间的共同因素(common factor)，以较少的构面 因素)代表原来较复杂的多变量结构。 (因素)代表原来较复杂的多变量结构。
Z ji = a j1 F1i + a j 2 F2i + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + a jm Fmi + d j u ji
F1
F2
V1 U1
V2 U2
V3 U3
V4 U4
V5 U5
探索性因素分析的理论基础
因素分析的基本假设： 因素分析的基本假设：
1.所有的共同因素之间都有相关或都无相关。 1.所有的共同因素之间都有相关或都无相关。 所有的共同因素之间都有相关或都无相关 2.所有的共同因素都直接解释所有的观察变量。 所有的共同因素都直接解释所有的观察变量 2.所有的共同因素都直接解释所有的观察变量。 3.所有的唯一性因素之间互不相关。 所有的唯一性因素之间互不相关 3.所有的唯一性因素之间互不相关。 4.每一个观察变量只被一个唯一性因素所解释。 4.每一个观察变量只被一个唯一性因素所解释。 5.所有 所有的共同因素与所有的唯一性因素之间都 5.所有的共同因素与所有的唯一性因素之间都 没有相关。 没有相关。
r jk
∑Z =
ji
Zki N
则可得到： 则可得到： 这就称为再生相关系数， 这就称为再生相关系数，而其与原变量之间差量为残 差相关系数（ coefficients） 差相关系数（Residual correlation coefficients）
rjk = ∑ a ji a ki
探索性因素分析的理论基础
2 V j = ∑α ij i =1 k
此值亦称为因素F 的特征值(Eigenvalue) (Eigenvalue)。 此值亦称为因素Fj的特征值(Eigenvalue)。将其除 以变量数（即总变异）后再乘以100 100， 以变量数（即总变异）后再乘以100，就是这个因 素所能解释的变异百分比。 素所能解释的变异百分比。
B = R −1 A
因素分数为原始变量分数转换为Z分数后乘以因素分数系 数而得
F = ZB
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因素分數
x i1 x i2 = α i1 ... x in
個案 O1 O2 . . . On X1 x11 x12 . . . x1n
（uniqueness）。 uniqueness）。
则称为唯一性
探索性因素分析的理论基础
共同性与唯一性： 共同性与唯一性： 2 因而： 因而： σ zj = 1 = h2 + d 2 j j 如果各共同因素之间没有相关，那么： 如果各共同因素之间没有相关，那么：
h = a + a + a ······+a
引言
探索性因素分析(exploratory 探索性因素分析(exploratory factor analysis, EFA)：传统的因素分析程序中， EFA)：传统的因素分析程序中，对于因素结构的 寻找，并未有任何假设与预期结果。 寻找，并未有任何假设与预期结果。 对于因素的抽取、因素的数量、因素的内容， 对于因素的抽取、因素的数量、因素的内容，以 及变量的分类，研究前都没有事先的预期， 及变量的分类，研究前都没有事先的预期，全由 因素分析的程序决定。 因素分析的程序决定。
探索性因素分析的理论基础
因素分析的基本模式： 因素分析的基本模式：
Zji = aj1F1i + aj2F2i + aj3F3i + … + ajmFmi + djUji
为第i个被试在第j Zji: 为第i个被试在第j个变量的标准化分数 是第i个被试在第m Fmi: 是第i个被试在第m个共同因素上的分数 m: 所有变量共同因素的数目 Uji:是第i个被试在第j个变量的唯一因素的分数 是第i个被试在第j 是第i个被试在第j dj :是第i个被试在第j个变量的唯一因素的加权 因素加权或组型负荷量（ loading）， ），代表 Ajm: 因素加权或组型负荷量（pattern loading），代表 个共同因素对j 第m个共同因素对j个变量变异量之贡献 分别为平均数为0 标准差为1的标准分数。 Z、F、U分别为平均数为0，标准差为1的标准分数。
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二、探索性因素分析的步骤
探索性因素分析的步骤
1. 2. 3. 4. 5. 6. 选择所分析的变量 准备相关矩阵，估计共同性 准备相关矩阵， 决定因素的数目 从相关矩阵中抽取共同因素 旋转因素， 旋转因素，增加变量与因素之间关系的解释 结果解释
探索性因素分析的理论基础
特征值是每个变量在某一共同因素的因素负 荷量的平方总和（ 荷量的平方总和（每列所有因素负荷量的平方 ）。将每个共同因素的特征值除以观察变量总 和）。将每个共同因素的特征值除以观察变量总 就是共同因素可以解释的变异量。 数，就是共同因素可以解释的变异量。
探索性因素分析的理论基础
相关矩阵
Observed correlation matrix 由观察变量计算得到的相关系数矩阵 Reproduced correlation matrix 由因素导出的相关系数矩阵 Residual correlation matrix 观察相关系数矩阵与再生相关系数矩阵的差异
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因素分析的各类矩阵
a j1 a j 3 r f 1 f 3 + ······ + a j ( m −1) a jm r f ( m −1) fm ]} + d 2 j
{ }内是共同因素所造成的变异量，之和称为变量j 的 内是共同因素所造成的变异量，之和称为变量j
2
2
d 共同性(communality)， 表示， 共同性(communality)，以 h j 表示， j (communality)