AC DF AC DE
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的
锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.
求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错.理解记忆比较好.
如图
1,如果已知A B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？
我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A B两点间的水平距离，等于A B两点的横坐标相减；
例1 湖南省衡阳市中考第28题
二次函数y = a x2+ b x + c (0)的图象与x轴交于A— 3, 0)、耳1,0)两点，与y轴交于点Q0, — 3m) (m>0),顶点为D. (1 )求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);
(2) 如图1，当m^
2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC勺面积为
S ,试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及 S 的最大值；
(3) 如图2，当m 取何值时，以 A 、D C 三点为顶点的三角形与厶 OB®似？ 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14衡阳28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点 P 运动到AC 的中点的正下方时，△ APC 的面积最大.拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物 线的形状会改变，可以体验到，/ ACD^DZ ADC 都可以成为直角.
思路点拨1•用交点式求抛物线的解析式比较简便.
2.连结OP △ APC 可以割补为：△
COP 勺和，再减去厶 AOC 3•讨论△ ACDWA OBC 相似，先确定厶ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否 相似.4•直
角三角形 ACD^在两种情况. 图文解析
(1) 因为抛物线与 x 轴交于A ( — 3, 0)、B (1,0)两点，设y = a (x + 3)( x — 1). 代入点 C (0, — 3n )，得—3m=— 3a .解得 a = m
所以该二次函数的解析式为 y = njx + 3)( x — 1) = mf + 2mx- 3m
2 2
(2) 如图 3，连结 OP 当 m= 2 时，C (0, — 6) , y = 2x + 4x — 6，那么 F (x , 2 x + 4x —
6).
①如图4, 当/ ACD= 90°
时， OA OC 所以 3 3m 解得m= 1. EC ED
m 1 CA OC 3 OC CA OC 此时 - °C 3 .所以 所以△ CDA P A OBC CD ED OB
CD OB ②如图5,
当/ ADC= 90°
时， FA FD 所以 4m 2 解得m 子. ED EC
1 m 此时DA FD
2 2.2 , 而°C 3m 3力 .因此△ DCAWA OBC 不相似 DC EC m
OB 2
综上所述，当m= 1时，△ CDA^A OBC 考点伸展 第(2)题还可以这样割补： 如图6,过点F 作x 轴的垂线与AC 交于点H.
由于S A AOF = 1
3 OA ( y p ) = (2 x + 4x — 6) = — 3x — 6x + 9, S A = —3x , &AO = 9, 3
所以 S = S ^AF (= S ^AOF + S A COF — S AOC =— 3x — 9x = 3(x )2
2 1 OC ( x F )=
2 27 图5
(3)如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为 E .过点A 作x 轴的垂线交 由 y = mx + 3)( x — 1) = m x + 1) — 4m 得 D ( — 1, — 4m ) •在 Rt △ OBC 中, OB ： OC= 1 :
DE 于 F .
3m X
由直线AC y =— 2x— 6，可得H(x, — 2x— 6).又因为F(x, 2 x2+ 4x— 6)，所以HF=— 2x2
