江科大大一高数一D11映射与函数精品PPT课件

教参：高等数学辅导（盛祥耀等） 高等数学习题课教程（蒋家尚）
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引言
什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
恩格斯
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
y f (x), x D
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
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x D f y f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的,而微积分也就立刻产生.
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第一章 函数与极限
高数基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
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第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、集合
定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
表示法.
点 a 的 邻域： ( a , ) x a x a x xa
若映射 f : D f (D) 为单射, 则存在一新映射
f 1 : f (D) D, 使 y f (D), f 1( y) x , 其中 f (x) y,
称此映射 f 1为 f 的逆映射 .
习惯上 , y f (x), x D
D
f
f 1
f (D)
的逆映射记成
y f 1(x) , x f (D)
x
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(4) 周期性
l 0, x D, 有 x l D, 若
f ( x l ) f (x)
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
记
ch x
双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
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又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
(2) 单调性
x1, x,2
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
y
若
f
(x1) ,
f (x2 M
) , 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
注意: 1) 构成映射的三要素:定义域,值域,唯一对应 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 6
对映射 f : X Y 若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
f
若x1 , x2 X , x1 x2 , 有 X
Y
f (x1) f (x2 ) 则称 f 为单射;
集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值 y f (x) arcsin x
定义域
D [1, 1 ] ,
值域
f
(D)
[
2
,
2
]
又如, 绝对值函数
f
(x)
x
x, x ,
x0 x0
定义域 D R
y y x
值 域 f (D) [0 , )
ox
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2. 函数的几种特性
f (X)
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集)
f
X (≠ )
X
X (数集 或点集 ) f R
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
f 称为定义在 X 上的为函数
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逆映射的定义:
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
M 0, x D ,使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. M 0, x I , 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
则称 f ( x ) 无界单.调减函数 .
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 f (x) f (x), 则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f (x) f (x),则称 f (x) 为奇函数.
x o x x
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
去心 邻域：U( a , ) x 0 x a
其中 a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 : (a , a), 右 邻域 : (a , a ).
两个数学符号.
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源自文库
二、 映射
定义2. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 f ,
使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应 , 则
g D
D1
f
u g(x)
x
g(D) f g
Y f (D1)
y f (u) f [g(x)]
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
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三、函数
1. 函数的概念
定义3. 设数集 D R , 则称映射 f : D R 为定义在
D 上的函数 , 记为
例如, 映射 y x2 , x ( , 0 ] , 其逆映射为
y x, x[ 0, )
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复合映射定义: 设有映射链
g xD
u g(x) g(D)
f u D1
y f (u) Y f (D1)
则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作 y f [g(x)] , 或 f g(x), x D.