高考数学(理)之纠错笔记系列

专题01 集合与常用逻辑用语 易错点1 忽略集合中元素的互异性
设集合2
{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为
A ．1x y =⎧⎨∈⎩
R
B ．1
0x y =-⎧⎨=⎩
C ．1
1
x y =⎧⎨
=⎩
D ．1x y =⎧⎨
∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或1
1
x y =⎧⎨=⎩
错解由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩
或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或1
1x y =⎧⎨=⎩，所以选D ．
错因分析在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1x y =⎧⎨
∈⎩R 时，A =B ={1,1，y }，不满足集合元素的互异性；当1
1x y =⎧⎨=⎩
时，A =B ={1,1,1}也不满足元素的互异性；当1
x y =-⎧⎨
=⎩时，A =B ={1，−1,0}，满足题意．
集合中元素的特性：
（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元
素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；
（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的
集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
1．集合{x –1，x 2
–1，2}中的x 不能取得值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析当x =2时，x –1=1，x 2
–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =3时，x –1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x =4时，x –1=3，x 2
–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =5时，x –1=4，x 2
–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B ． 答案B
易错点2 误解集合间的关系致错
已知集合{}{|0,1}A B x x A ==⊆，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠A
D ．A B ∈
错解因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，所以A ⊂≠B ，故选B ．
错因分析判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B 中的元素就是集合，当集合A 是集合B 的元素时，A 与B 是从属关系．
试题解析因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，则集合{}0,1A =是集合B 中的元素，所以
A B ∈，故选D ．
参考答案D
（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一.判断一个
对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是
集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或
B A ⊇）；如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作
A B ⊂≠（或B A ⊃≠）.
2．若集合
，，则有 A ．
B ．M ⊂≠N
C ．M N ⊃≠
D ．
答案B
易错点3 忽视空集易漏解
已知集合2
{|3100}A x x x ，{|121}B x m x m ，若A B A ，则实数m 的取值
范围是 A ．[3,3]-
B ．[2,3]
C ．(,3]-∞
D ．[2,)+∞
错解∵23100x x ，∴25x ，∴{|25}A x x .
由A
B
A 知
B A ⊆，∴21
215
m m -≤+⎧⎨
-≤⎩，则33m -≤≤. ∴m 的取值范围是33m -≤≤.
错因分析空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有A A ∅=，所
以错解中忽略了B =∅时的情况. 试题解析∵A B
A ，∴
B A ⊆.2{|3100}{|2
5}A x x x x x ，
①若B
∅，则121m m ，即2m ，故2m 时，A B
A ；
②若B ≠∅，如图所示，
则1
21m m ，即2m .
由B A ⊆得21
215
m m -≤+⎧⎨
-≤⎩，解得33m -≤≤.又∵2m ，∴23m ≤≤.
由①②知，当3m ≤时，A B
A .
参考答案C
（1）对于任意集合A ，有A
∅=∅，A A ∅=，所以如果A B =∅，就要考虑集合A B 或可能是
∅；如果A B A =，就要考虑集合B 可能是∅.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠.
3．集合
，若
，则实数的取值范围是 A ．
B ．
C ．
D ． 解析当
时，集合，满足题意；当时，
，若
，则
，∴
，所以
，故选B ．
答案B
易错点4 A 是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别
设,a b ∈R ,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
错解选A ．
错因分析充分必要条件的概念混淆不清致错.
试题解析若2,2a b >>且，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题选B ． 参考答案B
（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A /B ； （2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且B /A .
4．已知a ，b ∈R ，若22
1a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则实数m 的取值范围是
A ．1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
B ．(]
,2-∞- C ．1,02⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
D ．[
)2,0- 解析由基本不等式得，221212a b ab ab +≥≥⇒≥
，由102
ab ab <⇒≤-，又因为22
1a b +≥的一
个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则1
2
m ≤-，故选A ． 答案A
易错点5 命题的否定与否命题的区别
命题“()*
*
n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是
A ．()*
*
()n f n f n n ∀∈∉>N N ，且
B ．**
()()n f n f n n ∀∈∉>N N ，或
C ．**
0000
)()(n f n f n n ∃∈∉>N N ，且
D ．**
0000()()n f n f n n ∃∈∉>N N ，或
错因分析错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；
错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．
试题解析全称命题的否定为特称命题，因此命题“()*
*
n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是
“()()*
*
0000n f n f n n ∃∈∉>N N ，或 ”．故选D ．
参考答案D
1．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论． 2．命题的否定
（1）对“若p ，则q ”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定．
（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
5．已知
2
||1
:523,:045
p x q x x ->>+-，则¬p 是¬q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案A
将命题21:
045q x x >+-的否定形式错误地认为：2
1:045
q x x ⌝≤+-，∴x 2
＋4x −5<0导致错误．
一、集合
1．元素与集合的关系：a A a A
∈⎧⎨
∉⎩属于，记为不属于，记为.
2．集合中元素的特征：
（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.
（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.
3．常用数集及其记法：
集合
非负整数集
(自然数集)
正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*N或+
N Z Q R C
4．集合间的基本关系
表示
关系
自然语言符号语言图示
基本
关系
子集
集合A中任意一个元素都是集
合B的元素
A B
⊆（或
B A
⊇）
真子集
集合A是集合B的子集，且集
合B中至少有一个元素不在集
合A中
A B
⊂
≠（或
B A
⊃
≠）
相等
集合A，B中元素相同或集合
A，B互为子集
A B
=
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的
真子集
A
∅⊆，
()
B B
⊂
∅≠∅
≠
（1）若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有21
n-个非空子集，有21
n-个真子集，有22
n-个非空真子集．
（2）子集关系的传递性，即,
A B B C A C
⊆⊆⇒⊆.
（3
）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 5．集合的基本运算
运算
自然语言 符号语言 Venn 图
交集 由属于集合A 且属于
集合B 的所有元素组
成的集合
{|}A B x x A x B =∈∈且
并集 由所有属于集合A 或
属于集合B 的元素组
成的集合
|}{A B x x A x B =∈∈或
补集 由全集U 中不属于集
合A 的所有元素组成
的集合
{|}U
A x x U x A =∈∉且
（1）集合运算的相关结论
交集 A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集 A B A ⊇
A B B ⊇
A A A =
A A ∅=
A B B
A =
补集
()U
U A A =
U
U =∅
U
U ∅= ()
U A A =∅
()
U A A U =
（2）(.)U
U
U A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇
=⇔∅
二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题
命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题
若q ，则p 否命题
若p ⌝，则
q ⌝
逆否命
题
若
q
⌝，则
p
⌝
2．四种命题间的关系
（1）常见的否定词语
正面词语= >(<) 是都是任意(所有)的任两个至多有1(n)个至少有1个否定词≠≤(≥) 不是不都是某个某两个至少有2(n1)个1个也没有（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件的概念
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；
(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；
(5) 若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件⇔q
⌝是p
⌝的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件⇔q
⌝是p
⌝的必要不充分条件；
③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；
④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；
⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非
一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断
“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
3．全称量词和存在量词
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
∃
4．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
命题
命题的否定
,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝
00,()x M p x ∃∈
,()x M p x ∀∈⌝
含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．
注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.
1．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则
=U
A
A ．∅
B ．{1，3}
C ．{2，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
答案C 解析因为全集
，
，所以根据补集的定义得
,故选C ．
2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则
A =R
A ．{}12x x -<<
B ．{
}
12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->
D ．}
{
}{|1|2x x x x ≤-≥
答案B 解析解不等式
得，所以，所以可以求得
{}|12A x x =-≤≤R
，故选B ．
3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
，
答案C
解析易得集合{|1}A x x =≥,所以{}1,2A
B =，故选
C ．
4．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =
+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4
答案A 解析
，当
时，；当时，；当
时，
,所以共有9个元素，选A ．
5．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案A
名师点睛充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
6．（2018天津理科）设x ∈R ，则“11
||22
x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案A
名师点睛本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．（2017北京理科）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案A
解析若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么
cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反
向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 8．（2016上海理科）设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必
要条件 答案A
解析2211,11a a a a >⇒>>⇒>或1a <-，所以是充分不必要条件，故选A ． 9．（2017新课标Ⅱ卷理）设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A
B =，则B =
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
答案C
解析由{}1A
B =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，
{}1,3B =，故选C ．
名师点睛集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．
10．（2017新课标Ⅲ卷理）已知集合A ={
}
22
(,)1x y x y +=│
，B ={}
(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数
为 A ．3 B ．2 C ．1
D ．0
答案B
名师点睛求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 11．（2016浙江卷理）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是
A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <
B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <
C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <
D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <
答案D
解析∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2
n x <．故选D ．
12．（2017北京卷理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案A
解析若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么
cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反
向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A ． 名师点睛判断充分必要条件的的方法：
（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件. （2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠
⊂，那么p 是q
的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.
（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.
13．（2017天津卷理）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-
<”是“1
sin 2
θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案A 解析πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ
||1212
θ-<，所以“ππ||1212θ-
<”是“1
sin 2
θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 名师点睛本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若
B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B
的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件． 14．已知集合{}|00{},1x x ax +==，则实数a 的值为
A ．−1
B ．0
C ．1
D ．2
答案A
解析由题意，1a =0，∴a =−1，本题选择A 选项. 15．已知集合
,,则
()
P Q =R
A ．
B ．
C ．
D ．
答案C
名师点睛对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到． 16．设命题p :1,ln x x x ∀>>,则p ⌝为
A ．0001,ln x x x ∃>>
B ．0001,ln x x x ∃≤≤
C ．0001,ln x x x ∃>≤
D ．1,ln x x x ∀>≤
答案C
解析命题p :1,ln x x x ∀>>，则p ⌝为0001,ln x x x ∃>≤.故选C ． 17．“若1
2
a ≥
，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是 A ．0x ∃<，有()0f x <成立，则1
2a <
B ．0x ∃<，有()0f x ≥成立，则1
2a <
C ．0x ∀≥，有()0f x <成立，则1
2a <
D ．0x ∃≥，有()0f x <成立，则1
2
a <
答案D
解析由原命题与逆否命题的关系可得：“若1
2
a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是“0x ∃≥，有()0f x <成立，则1
2
a <
”.本题选择D 选项.
18．已知集合(){,|1,01}A x y y x x ==+≤≤，集合(){,|2,010}B x y y x x ==≤≤，则集合A
B =
A ．{}1,2
B ．{}1,2x y ==
C ．(){}
1,2
D ．{}1,2x x ==
答案C
解析根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得1
2x y =⎧⎨=⎩
，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2，故选
C ． 19．已知集合
，，若
，则实数的取值范围是 A ． B ． C ．
D ．
答案A
解析由题意可知：，结合集合B 和题意可得实数的取值范围是.本题选择A 选
项.
20．“1m >”是“函数()333x m f x +=-[
)1,+∞无零点”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案A
解析若函数()333x m
f x +=-在区间[)1,+∞无零点，则131
333122
m m m +>+>
⇒>，故选A ．
21．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使
=a b
a b
成立的充分条件是 A ．=-a b B ．∥a b C ．2=a b
D ．∥a b 且=a b
答案C
解析因为=-a b 时表示两向量的方向相反，所以不是充分条件；当∥a b 时，也不能推出=a b
a b
，故也不充分；
当2=a b 时，能够推出
=a b
a b
，故是充分条件； 而∥a b 且=a b 则是=a b
a b
成立的既不充分也不必要条件， 应选C ．
．已知命题p :对任意x ∈R ,总有20;:1x
q x >>是2x >的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是
A ．p q ∧⌝
B ．p q ⌝∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∧
答案A
23．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为
31a m >+，则实数m 的取值范围是
A ．[
)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞
D ．(]
,1-∞
答案B
解析命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故
3141m m +>⇒>
24．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击
中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A ．()()p q ⌝∨⌝为真命题 B ．()p q ∨⌝为真命题 C ．()()p q ⌝∧⌝为真命题
D ．p q ∨为真命题
答案A 解析
命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题p ⌝是“第一
次射击没击中目标”，命题q ⌝是“第二次射击没击中目标”，∴命题 “两次射击中至少有一次没有击中目标”是()()p q ⌝∨⌝，故选A ．
25．（2018北京理科）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 答案2
3()()2
f x x =-- （答案不唯一）
解析对于2
3()()2
f x x =--，其图象的对称轴为3
2
x =，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.
26．已知集合{}1,2,21A m =--，集合{}
22,B m =，若B A ⊆，则实数m =________．
答案1
解析由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足.
名师点睛(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是
否成立，以防漏解.
27．若命题“2
000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，则m 的取值范围是__________．
答案()1,+∞
解析因为命题“2
000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，所以2
,20x x x m ∀∈-+>R 为真命题，即
440,1m m ∆=-<>，故答案为()1,+∞.
28．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．
答案(]
,0-∞
解析条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，
若p 是q 的充分不必要条件，∴0a ≤.
则实数a 的取值范围是：(−∞,0].
故答案为：(−∞,0].
29．下列有关命题的说法一定正确的是________.（填序号）
①命题“x ∀∈R ， sin 1x ≥”的否定是“0x ∃∈R ， 0sin 1x ≤”
②若向量∥a b ，则存在唯一的实数λ使得λ=a b
③若函数()f x 在R 上可导，则()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件
④若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题
答案③
30．命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题，
q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________.
答案[
)0,1
解析命题p 的逆命题：若x a >，则0x >，故0a ≥；
命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a -<-，1a <；
则实数a 的取值范围是)[01，.
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