高考数学(理)之纠错笔记系列

专题01 集合与常用逻辑用语 易错点1 忽略集合中元素的互异性

设集合2

{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为

A ．1x y =⎧⎨∈⎩

R

B ．1

0x y =-⎧⎨=⎩

C ．1

1

x y =⎧⎨

=⎩

D ．1x y =⎧⎨

∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或1

1

x y =⎧⎨=⎩

错解由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩

或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或1

1x y =⎧⎨=⎩，所以选D ．

错因分析在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1x y =⎧⎨

∈⎩R 时，A =B ={1,1，y }，不满足集合元素的互异性；当1

1x y =⎧⎨=⎩

时，A =B ={1,1,1}也不满足元素的互异性；当1

x y =-⎧⎨

=⎩时，A =B ={1，−1,0}，满足题意．

集合中元素的特性：

（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元

素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；

（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个

特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素

（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的

集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系

1．集合{x –1，x 2

–1，2}中的x 不能取得值是

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析当x =2时，x –1=1，x 2

–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =3时，x –1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x =4时，x –1=3，x 2

–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =5时，x –1=4，x 2

–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B ． 答案B

易错点2 误解集合间的关系致错

已知集合{}{|0,1}A B x x A ==⊆，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠A

D ．A B ∈

错解因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，所以A ⊂≠B ，故选B ．

错因分析判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B 中的元素就是集合，当集合A 是集合B 的元素时，A 与B 是从属关系．

试题解析因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，则集合{}0,1A =是集合B 中的元素，所以

A B ∈，故选D ．

参考答案D

（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一.判断一个

对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.

（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是

集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或

B A ⊇）；如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作

A B ⊂≠（或B A ⊃≠）.

2．若集合

，，则有 A ．

B ．M ⊂≠N

C ．M N ⊃≠

D ．

答案B

易错点3 忽视空集易漏解

已知集合2

{|3100}A x x x ，{|121}B x m x m ，若A B A ，则实数m 的取值

范围是 A ．[3,3]-

B ．[2,3]

C ．(,3]-∞

D ．[2,)+∞

错解∵23100x x ，∴25x ，∴{|25}A x x .

由A

B

A 知

B A ⊆，∴21

215

m m -≤+⎧⎨

-≤⎩，则33m -≤≤. ∴m 的取值范围是33m -≤≤.

错因分析空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有A A ∅=，所

以错解中忽略了B =∅时的情况. 试题解析∵A B

A ，∴

B A ⊆.2{|3100}{|2

5}A x x x x x ，

①若B

∅，则121m m ，即2m ，故2m 时，A B

A ；

②若B ≠∅，如图所示，

则1

21m m ，即2m .

由B A ⊆得21

215

m m -≤+⎧⎨

-≤⎩，解得33m -≤≤.又∵2m ，∴23m ≤≤.

由①②知，当3m ≤时，A B

A .

参考答案C

（1）对于任意集合A ，有A

∅=∅，A A ∅=，所以如果A B =∅，就要考虑集合A B 或可能是

∅；如果A B A =，就要考虑集合B 可能是∅.

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠.

3．集合

，若

，则实数的取值范围是 A ．

B ．