平方根与立方根知识点
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平方根与立方根知识点
1、平方根:
(1)定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,a叫做被开方数
(2)开平方:求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
(3)平方根的性质:A一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数
B零有一个平方根,它是零本身
C负数没有平方根
(4)平方根的表示:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数,2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣”表示,a的平方根合起来记作“”,其中“”读作“二次根号”,“” 读作“二次根号下a ”.当
根指数为2时,通常将这个2省略不写,所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.
(5)算术平方根:注:1)算术平方根是非负数,具有非负数的性质;2)若两数的平方根相等或互为相反数时,这两数相等;反之,若两非负数相等时,它们的平方根相等或互为相反数;3)平方根等于本身的数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1.
2.平方根说明:平方根有三种表示形式:±a,a,-a,它们的意义分别是
:非负数a的平方根,非负数a的算术平方根,非负数a的负平方根。要特别注意:a≠±a。
3.算术平方根性质:算术平方根a具有双重非负性:
①被开方数a是非负数,即a≥0.
②算术平方根a本身是非负数,即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系:
区别:1定义不同2个数不同:3表示方法不同:
2、立方根:
1.(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,a叫做被开立方数
(2)开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
(4)立方根的表示:数a的立方根我们用符号来表示,读作"三次根号a",其中a叫做被开方数,3叫做根指数,3且不能省略,否则与平方根混淆。
注:1)若两数的立方根相等,则这两数相等;反之,若两数相等,则这两数的立方根相等;2)立方根等于本身的数有0、1、-1.
5.开方运算:
我们知道,当a ≥0时,│a │=a ;当a<0时,│a │=a.
综上所述,有
a (a ≥0)
2a =│a │=
-a (a<0)
(1) 两个重要的公式为任何数)为任何数)a a a a a (()3(3333==
6.实数
1、概念:有理数 和 无理数 统称为实数。
2、分类 按定义
正有理 正整数
有理数 0 正分数
有限小数或小数 负整数
实数 负有理_
负分数
无理数 正无理
负无理 无限不循环小数
.常见的无理数类型
(1) 一般的无限不循环小数,如:1.¨···
(2) 看似循环而实际不循环的小数,如···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
(3) 有特定意义的数,如:π=3.···
(4).开方开不尽的数。如:35,3。
3、实数的有关性质
⑴a 与b 互为相反数〈=〉a+b=0
⑵a 与b 互为倒数〈=〉ab=1
⑶任何实数的绝对值都是非负数,即a ≥0
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =a -
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
实数和数轴上的点的对应关系:
实数和数轴上的点是一一对应的关系
实数的大小比较
1. 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
2. 正数大于零,零大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小。 实数中的非负数及其性质
4、在实数范围内,正数和零统称为非负数,我们已经学过的非负数有如下三种形式 ⑴任何一个实数a 的绝对值是非负数,即a ≥0
⑵任何一个实数的平方是非负数,即2
a ≥0;
⑶任何一个非负数a 的算术平方根是非负数,即a ≥0
5、非负数有以下性质
⑴非负数有最小值零
⑵有限个非负数之和仍然是非负数
⑶几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0。
平方根立方根练习题
一、填空题
1.如果9=x ,那么x =________;如果92=x ,那么=x ________
2.如果x 的一个平方根是,那么另一个平方根是________.
3.2-的相反数是 , 13-的相反数是 ; 4.一个正数的两个平方根的和是________.一个正数的两个平方根的商是________.
5.若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是_________;
6.算术平方根等于它本身的数有________,立方根等于本身的数有________. 7.81的平方根是_______,4的算术平方根是_________,的算术平方根是 ;
8.若一个数的平方根是8±,则这个数的立方根是 ;
9.当______m 时,m -3有意义;当______m 时,33-m 有意义;
10.若一个正数的平方根是和2+-a ,则____=a ,这个正数是 ;
11.已知0)3(122=++-b a ,则=33
2ab ;
12.21++a 的最小值是________,此时a 的取值是________.
13.12+x 的算术平方根是2,则x =________.
二、选择题
14.下列说法错误的是( )
A 、1)1(2=-
B 、()1133-=-
C 、2的平方根是2±
D 、81-的平方根是9± 15.2)3(-的值是( ).
A .3-
B .3
C .9-
D .9
16.设x 、y 为实数,且554-+-+=x x y ,则y x -的值是( )
A 、1
B 、9
C 、4
D 、5
17.下列各数没有平方根的是( ).
A .-﹙-2﹚
B .3)3(-
C .2)1(-
D .
18.计算3825-的结果是( ).
.7 C 19.若a=23-,b=-∣-2∣,c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是( ). >b >c >a >b >a >c >b >a
20.如果53-x 有意义,则x 可以取的最小整数为( ).
A .0
B .1
C .2
D .3
21.一个等腰三角形的两边长分别为25和32,则这个三角形的周长是( )
A 、32210+
B 、3425+
C 、32210+或3425+
D 、无法确定
三、解方程
22.0252=-x 23. 8)12(3-=-x 24.4(x+1)2=8
四、计算 25.
914414449⋅ 26.494 27.41613+-