专题12 常用逻辑用语(解析版)

专题12 常用逻辑用语

一、充分性和必要性

（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒， （2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件

2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假

3、两个条件之间可能的充分必要关系：

（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件

（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、运用集合作为工具 由P

⊆

Q 可得到：x P x Q ∈⇒∈，且x Q ∈推不出x P ∈，所以“x P ∈”是“x Q ∈”充分不必要

条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下： ① P

⊄

Q ：p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件

② P Q ⊆：p 是q 的充分条件 ③ P Q =：p 是q 的充要条件 二、恒成立问题

参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，

()g a 为其表达式）

（1）若()f x 的值域为[],m M

①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >= （2）若()f x 的值域为(),m M

① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤

()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥

()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()g a M ≥（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()g a M <（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()g a M <

④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >

三、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。

例1、、【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 条件 【答案】充分不必要条件

【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；

当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.

易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

变式1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 条件 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与

β平行是αβ∥的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．

面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断. 变式2、(2017南京三模）记不等式x 2

＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(],3-∞-

【解析】由2

60x x +-<得32x -<<，即()3,2A =-，又由0x a ->得x a >，即(),B a =+∞，因为

“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以()()3,2,a -⊆+∞，故3a ≤-。

例2、(2016泰州期末） 若命题“存在x∈R ，ax 2

＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．

【答案】 (2，＋∞)

【解析】“存在x ∈R ，ax 2

＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2

＋4x ＋a >0”为真命题，