高考数学(理)自由复习步步高系列03(解析版)

【热点知识再梳理——胸有成竹】
[1]等差数列五个量()1,,,,n n a n d a S
1.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若1231
,2
a S a =
=,则2a =______,n S =______.
2.设数列{}n a 为等差数列,公差2d =-,n S 为其前n 项和,若1011S S =,则1a =()
A .18
B .20
C .22
D .24
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若112,0,3m m m S S S -+=-==,则m =()
A .3
B .4
C .5
D .6
所以325m m -=-⇒=,故选C . [2]等比数列五个量()1,,,,n n a n q a S
4.已知{}n a 是递增等比数列,2432,4a a a =-=，则此数列的公比q = .
5.若等比数列{}n a 满足116n
n n a a +=,则公比为()
A .2
B .4
C .8
D .16
6.若等比数列{}n a 满足243520,40,a a a a +=+=则公比q =______,前n 项和n S =______.
7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3215=10,9,S a a a +=则1a =()
A .13
B .13-
C .19
D .19
-
8.设首项为1,公比为
2
3
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则() A .21n n S a =-B .32n n S a =- C .43n n S a =- D .32n n S a =-
[3]等差数列证明(定义)
9.已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈.下列命题中为真命题的是()
A .若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
B .若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
C .若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
D .若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
[3]等差数列证明(定义)[15]利用n S 定义(,n n S a 关系)
10.已知数列{}n a 的首项为13,a =通项n a 与前n 项和n S 之间满足()122n n n a S S n -=≥ (1)求证:1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列,并求其公差; (2)求数列{}n a 的通项公式.
[5]等比数列证明(定义)[15]利用n S 定义(,n n S a 关系) 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*
21n
n n S a n N =+-∈
(1)求数列{}n a 的前三项123,,a a a ; (2)求证:数列()213n n a ⎧⎫+
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列,并求出{}n a 的通项公式.
[7]等差数列性质
12.已知,,x y z R ∈,若1,,,,3x y z --成等差数列,则x y z ++的值为()
A .2-
B .4-
C .6-
D .8-[
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,24,a a 是方程2
20x x --=的两个根,5S =()
A .
52B .5C .5
2
-D .5-
14.若数列{}n a 为等差数列且35791120a a a a a ++++=,则891
2
a a -
=() A .1 B .2 C .3
D .4
[8]等差数列前n 项和最值
15.设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )
A .5
B .6
C .5或6
D .6或7
大.故选C [9]等比数列性质
16.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则5a =()
A .1
B .2
C .4
D .8
17.已知数列{}n a 为等比数列,下面结论正确的是()
A .1322a a a +≥
B .2221322a a a +≥
C .若13a a =,则12a a =
D .若31a a >,则42a a >
18.若等比数列{}n a 满足2412
a a =
,则2
135a a a =_______.
[10]数列周期性
19.数列{}n a 的通项公式为cos
2
n n a n π
=,其前n 项和为n S ,则2013=S () A .1006B .2012C .503D.0
【答案】A
[13]叠加叠乘数列通项公式
20.如果数列3
2
1121
,
,n n a a a a a a a -是首项为1,公比为2-的等比数列,则5a =()
A .32
B .64
C .32-
D .64-
[14]可构造等比数列通项公式[15]利用n S 定义(,n n
S
a 关系)
21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足()2
2*n n T S n n N =-∈
(1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式.
[15]利用n S 定义(,n n S a 关系)[19]裂项求和(分式)
22.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2
1441*n n S a n n N +=--∈且2
514,,a a a 构成等比数列. (1)证明:2145a
a =
+;(2)求数列{}n a 的通项公式;
(3)证明：对一切正整数n ,有
1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<.
[17]分组求和
23.设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知7157,75S S ==.
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设82n a
n b =⋅，n T 为数列{}n n b +的前n 项和,求n T .
[18]错位相减[15]利用n S 定义(,n n S a 关系)
24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()2
2*n S n n n N =+∈,数列{}n b
满足()24log 3*n n a b n N =+∈
(1)求,n n a b ;(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T
.
[19]裂项求和(间隔分式)
25.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足350, 5.S S ==- (1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列21231
n n a a -+⎧
⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和
[19]裂项求和(指数分式)[3]等比数列证明(定义)[13]叠加叠乘数列通项公式
26.已知数列{}n a 中122,4,2a a x ==是函数()()()3
113312n n n f x a x a a x n -+=--+≥的一个极值
点.
(1)证明:数列{}1n n a a +-是等比数列;(2)求数列n a 的通项公式; (3)设1n n b a =-,1212231n n n n a a a S b b b b b b +=
++,求证:2
3
n S ≥.
27.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,28a =,()
11452n n n S S S n +-+=≥,n T 是数列
{}2
n
a log 的前n 项和.
(1)求数列{}
n a 的通项公式；(2)求n T ；
(3)求满足231111010
1112013n T T T ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的最大正整数n 的值.
[20]分段数列前n 项和
29.在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且123,22,5a a a +成等比数列. (1)求,n d a ;(2)若0d <,求123||||||||n a a a a +++
+.
综上,当111n ≤≤时,12(21)
||||||2
n n n a a a -+++=
当12n ≥时,12||||||n a a a ++=221220
2
n n -+.
【综合模拟练兵——保持手感】
1.在数列{}n a 中，已知11a =，11
1
n n a a +=-
+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = .
2..右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一
行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*
,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.
3.在数列{}n a 中，已知24a =，315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ．
4.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则5a
=
________.
5.已知等差数列}{n a 中，791199
16,2
a a S +==
,则12a 的值是() A ．15B ．30C ．31D ．64
6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *
++=+∈．
（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3
4
n T <． 【答案】（1）128,27a a ==（2）3
=(1)n a n +．
即：21
1(12)4(1)11
k k k a S k +++++=++，………………………①
7.已知{}n a 为公差不为零的等差数列，首项1a a =，{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、n k a 恰为等比数列，且
11=k ，52=k ，173=k .
（1）求数列{}n a 的通项公式n a （用a 表示）； （2）设数列{}n k 的前n 项和为n S ,求证：
12
11
13
2
n S S S +++
<（n 是正整数）
法二∵当3n ≥时，0122113(12)2222n n n n n n n n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯
8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n+1=2S n +2(n N *
∈)
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）在a n 与a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为d n 的等差数列， （Ⅰ）在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m ,k ,p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的
三项，若不存在，说明理由； （Ⅱ）求证：1231
11
1
15()16
n n N d d d d *++++<∈.
9.已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*n N ∈.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列}{n b 满足n
n n n na b 2)12(⋅+=,是否存在正整数, (1)m n m n <<，使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由。

(3)令2
2
(1)1(1)n n n c n n a +++=+,记数列}{n c 的前n 项和为n S ,其中*n N ∈,证明：51162n S ≤<。

易知111
211()()(1)2121n n n n n +++⋅=+++递减，∴0＜111121123()()212118
n n n ++++⋅≤⋅=++
10.已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，n N *
∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S . （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值.）
所以当6n ≥时，n n b a >，所以{}12,5min ,28,5
n n n n n c a b n n -⎧≤==⎨+>⎩，。