4 自旋单态与三重态 - 西安交通大学教师个人主页 - 首页

2
2
= s1z c 1 (s1z )c 1 (s2z ) + c 1 (s1z )s2z c 1 (s2z )
2
2
2
2
=
1 2
hc 1 (s1z )c 1 (s2z ) +
2
2
1 2
hc 1 (s1z )c 1 (s2z
2
2
)
= hc 1 (s1z )c 1 (s2z )
2
2
计算表明，
c
I s
是
S2
2 个Bose 子体系，其对称化波函数是：
F（ S q1 , q2 ) =
1 2
[F（q1
,
q2
)
+
F（q2
,
q1
)]
1，2 粒子在 i，j 态中的一种排列
=
1 2
[f（i q1
)f
j
(q2
)
+
f（i q2
)f
j
(q1
)]
N 个 粒子在 i，j … k 态
N 个Bose 子体系，其对称化波函数可类推是：
I。n1=n2=n3=1
F
1 （ 1 1
S
q1
,
q2
,
q3
)
=
1 3
[f（1 q1
)f2 (q2
)f 3
(q3
)
+
f（1 q2
)f2 (q3
)f 3
(q1
)
+ f（1 q3 )f2 (q1 )f3 (q2 ) + f（1 q3 )f2 (q2 )f3 (q1 )
+ f（1 q2 )f2 (q1 )f3 (q3 ) + f（1 q1 )f2 (q3 )f3 (q2 )]
粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为：
ïì E = e i + e j ïîíF（q2 , q1 ) = fi (q2 )f j (q1 )
状态F（q1 , q2 )和F（q2 , q1 ) 能 量 是 简 并 的 ， 由 于 这两 种
状态可通过q1 Û q2互换得到，
故 称 该 简 并 为 交 换 简 并。
E = ei +e j
9/21
V FS 和 FA 的归一化
首先 证明
若单粒子波函数是正交归一化的，则 F (q1,q2) 和 F (q2 , q1) 也是正交归一化的
证：
ò ò ò ò F（* q1 , q2 )F（q1 , q2 )dq1dq2 =
f（ i* q1
)f
* j
(q2
)f（ i q1
=
1 2
(
s1+
+
s1- )
1 2
(s2+
+
s2- ) +
1 2i
( s1+
-
s1- )
1 2i
(s2+
-
s2- ) +
s1z s2z
=
1 4
[s1+ s2+
+
s1- s2-
+
s1+ s2-
+
s1-s2+ ]-
1 4
[s1+ s2+
+
s1- s2-
-
s1+
s2-
-
s1- s2+
]+
s1z s2z
=
1 2
* j
(q1
)f（ i q1
)f
j
(q2
)dq1dq2
ò ò = f（*j q1 )f（ i q1 )dq1
f
* i
(q2
)f
j
(q2 )dq2
=
0
同理：
证毕
òò F（* q1 , q2 )F（q2 , q1 )dq1dq和 FA 归一化
òò 1 =
F S *F S dq1dq2
ïìF（q1 , q2 ) ¹ fi (q1 )f j (q2 ) 但是下式 ïîíF（q2 , q1 ) ¹ fi (q2 )f j (q1 ) 仍然成立
ïì í ïî
Hˆ （q1 Hˆ （q1
, ,
q2 q2
)F )F
（q1 （q2
, ,
q2 q1
) )
= =
EF（q1 , q2 ) EF（q2 , q1 )
( s2 z
)
-
c
1 2
( s2 z
)c
-
1 2
( s1z
)]
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（二）总自旋 S2，SZ 算符的本征函数
（1）总自旋算符：
Srˆ = srˆ1 + srˆ2
Sˆ z = s1z + s2z
Sˆ 2 = (srˆ1 + srˆ2 )2 = sˆ12 + sˆ22 + 2(srˆ1 · srˆ2 ) srˆ1 · srˆ2 = s1x s2 x + s1 y s2 y + s1z s2z
)f
j
(q2
)dq1dq2
ò ò = f（ i* q1 )f（ i q1 )dq1
f
* j
(q2
)f
j
(q2
)dq2
=1
同理：
òò F（* q2 , q1 )F（q2 , q1 )dq1dq2 = 1
而
ò ò ò ò F（* q2 , q1 )F（q1 , q2 )dq1dq2 =
f（ i* q2
)f
ïì í ïî
Sˆ Sˆ
2c zc
A A
= =
0 0
上述结果表明：
ì ï
c
I S
í
c
II S
ï î
c
III S
Sˆ 2 S Sˆ z mS
2h2 1 h 1 2h2 1 - h - 1 2h2 1 0 0
cA 0 0 0 0
c 2 S +1 mS
3 3
c c
1 -1
ü ïý三
重
态
3c0
ï þ
1c0 单态
III。n1=2，n2=1，n3=0。
F 2S1（0 q1 , q2 , q3 ) =
归一化的 FS FA 依旧
F（ S q1 , q2 ) =
A
1 2
[F （ q1
,
q2
)
±
F（q2
,
q1
)]
因H 的 对称性 式2成立
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（二）N 个全同粒子体系波函数
（1）Shrodinger 方程的解
上述对2个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子H0 不显含时间， 则体系
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III 交换简并
验证：
粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：
ïì E = e i + e j ïîíF（q1 , q2 ) = fi (q1 )f j (q2 ) Hˆ F（q1 , q2 ) = EF（q1 , q2 )
= [ Hˆ 0 (q1 )fi (q1 )]f j (q2 ) + fi (q1 )[ Hˆ 0 (q2 )f j (q2 )] = e ifi (q1 )f j (q2 ) + e jfi (q1 )f j (q2 ) = (e i + e j )fi (q1 )f j (q2 ) = EF（q1 , q2 )
±
1 2
)
二电子自旋波函数
单电子自旋波函数
可构成4种相互独立二电子自旋波函数：
c 1 ( s1z )c 1 ( s2z )
2
2
c
1 2
(
s1
z
)
c
-
1 2
(
s2
z
)
c
-
1 2
(
s1
z
)
c
1 2
(
s
2
z
)
c
-
1 2
(
s1
z
)
c
-
1 2
(
s2
z
)
由此又可构成4组具有一定对称性的二电子自旋波函数：
对称 波函数
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§5 全同粒子体系波函数交换对称性
（一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理
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（一）2 个全同粒子波函数
（1）对称和反对称波函数的构成 I 2 个全同粒子Hamilton 量
Hˆ
=
-
h2 2m
Ñ
2 1
-
h2 2m
Ñ
2 2
+ V (q1 ) + V (q2 )
h
2
c
I S
+ [s1+ s2-
+
s1-
s2+
]c
I S
+
2s1z
s2
z
c
I S
= h c 2s1z
s2z
c
I S
=
2s1z s2z c 1 (s1z )c 1 (s2z )
2
2
=
2(
1 2
h)2
c
1 2
(s1z
)c
1 2
(s2z
)
12I 2S
[s1+ s2-
+
s1-
s2+
]c
I S
=
s1+ s2- c 1 (s1z )c 1 (s2z ) +
全同性原理：
构造具有对称性的波函数
C 为归一化系数
F（ S q1 , q2 ) = C[F（q1 , q2 ) + F（q2 , q1 )] F（ A q1 , q2 ) = C[F（q1 , q2 ) - F（q2 , q1 )]
显然 FS (q1,q2) 和 FA (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本征值皆为 ：
§4 自旋单态与三重态
（一）二电子波函数的构成 （二）总自旋 S2，SZ 算符的本征函数 （三）二电子波函数的再解释
1/21
（一）二电子波函数的构成
当体系 Hamilton 量不含二电子自旋相互作用项时，
c（s1z , s2z ) = ca 1 (s1z )ca 2 (s2z )
(a1 ,a 2
=
= Hˆ 0 (q1 ) + Hˆ 0 (q2 )
II 单粒子波函数
Hˆ 0对全同粒子是一样的，
设其不显含时间，则
fi (qn )
(n = 1,2.)
ïì í ïî
Hˆ（0 q1 Hˆ（0 q2
)f i )f i
(q1 ) (q2 )
= =
e ifi (q1 ) e ifi (q2 )
称为单粒子波函数。
å Hˆ = Hˆ 0 (q1 ) + Hˆ 0 (q2 ) + L + Hˆ 0 (qN ) = N
n=1
单粒子本征方程：
ì ï ï í
Hˆ（0 Hˆ（0
q1 q2
)fi (q1 ) = e ifi )f j (q2 ) = e jf
(q1 ) j (q2
)
ïLLLLLLLLLL
ï î
Hˆ（0 qN
和SZ
的本征函数，其本征值分别为2h2和
h。
相应的自旋角动量量子数 S=1，磁量子数 mZ =1
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同理可求得：
ïì í ïî
Sˆ Sˆ
2c zc
II S
II S
=
2h2 c
II S
=
-hc
II S
ïì í ïî
Sˆ Sˆ
2c zc
III S
III S
=
2h2 c
III S
=
0c
III S
以及
中的一种排列
å F（S q1 , q2 LqN ) = C
p[f（i q1 )f j (q2 )Lfk (qN )]
p
归一化系数
对各种可能排列 p 求和
Õ nk !
归一化系数：C = k=1 N!
nk 是单粒子态fk 上的粒子数
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例: N = 3 Bose 子体系,，设有三个单粒子态分别记为 f1 、f2 、 f3 ， 求：该体系对称化的波函数。
II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0
n3=3，n2=n1=0
F
3 （ 0 0
S
q1
,
q2
,
q3
)
=
f（1 q1
)f1 (q2
)f1 (q3
)
F 0S（ 30 q1 , q2 , q3 ) = f（2 q1 )f2 (q2 )f2 (q3 )
F 0S（ 03 q1 , q2 , q3 ) = f（3 q1 )f3 (q2 )f3 (q3 )
s1- s2+ c 1 (s1z )c 1 (s2z )
=0
2
2
2
2
Sˆ
2
c
I S
=
3 2
h2c
I S
+ [s1+ s2-
+
s1-
s2+
]c
I S
+
2s1z
s2z
c
I S
=
3 2
h2
c
I S
+
0+
1 2
h2
c
I S
=
2h 2 c
I S
=
1(1
+
1)h
2
c
I S
Sˆ
z
c
I S
=
( s1 z
+
s2z )c 1 (s1z )c 1 (s2z )
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IV 满足对称条件波函数的构成
全同粒子体系要满足交换对称性条件，而 F (q1,q2) 和 F (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数；
当 i ¹ j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。 所以 F (q1,q2) 和 F (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。
)f k
(qN
)
=
e
kfk
(qN
)
Hˆ 0 (qn )
体系Shrodinger 方程：Hˆ F = EF
其解为：
ïì E = e i + e j + L + e k ïîíF(q1 , q2 ,LqN ) = fi (q1 )f j (q2 )Lfk (qN )
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（2）Bose 子体系和波函数对称化
= C 2[1 + 0 + +0 + 1] = 2C 2
Þ
C= 1
2
则归一化的 FS
F（ S q1 , q2 ) =
1 2
[F（q1
,
q2
)
+
F（q2
,
q1
)]
同理对 FA 有：
F（ A q1 , q2 ) =