巧用三角代换求解一类数列极限问题
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分 析 两 个 数 列 项 的规 律 ， 皆有
—————————————１琴考文献】
且分别有 ： ；号 巫 恰为特殊角 ２ ２ ： ２， 。即 ， ２一般地，若将 用ｎ代替， ． 。
【】华 东师 范大学 数 学系．数 学分 析（ １ 上册） ．北京 ： 教育 出版 【 Ｍ】 高等 赵洁 ・ 学分 析解 题方 法 ０ Ｉ ・ 海： 东师 范大 数 ０例 Ｍ】 上 华
解 由 厂 —— 声 吾 ，利用三角等量代换有
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巧用三角代换求解一类数列极限问题
刘 俊 先
（ 邢台学院 数学系，河北 邢 台 ０４ ０ ） ５ ０１
【 内容提要】 极 限理论是数学分析 的理论基础 ，正确处理极 限问题尤显重要 。当数 列通项具 有某种特 殊形 式 时 ，通过实例说明，巧用三角代换 能成 功求解其极 限问题 。 【 关键词】 数列；极限 问题 ；处理方法 【 中图分类号】 ０１ ｌ ７ 【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号１ １０ ．４ ７ （０ ０ ４０ ５ ．１ ０ ８７ ２ ２ １ ）０ ．１６０ 数学分析的研 究对象是函数 ， 极限理论是数学分析 的理 论 基 础 ， 数 学 分 析 中 几 乎 所 有 的 概 念 都 是 以 极 限 形 式 定 义 的，正确 处理 极限问题尤显重要． 数列可视为整标 函数 ，因 而 数 列 极 限 是 极 限 理 论 的 重 要 组 成 部分 ． 对 数 列 通 项 具 有 针 某种特殊形式时 ， 通过实例说明 ， 巧用三角代换能成功求解 其极限问题． 巧 用 三 角代 换 求 解 一 类 数 列 极 限 问题
【竺 ｒＳＳｑｅｃ；ｉｉｑｅｔｎＰｏｅｓ ｇ ｅ ｏ ｄ】 ｅｕｎｅＬｍｔｕｓｏ；ｒ ｓｎ ｔ ｄ ｉ ｃ ｉ ｍ ｈ
［ 收稿 日期］ ０ ００ — １ ２ １ ．２０ 作者 系邢 台学 院数学 系副教授 。
。
２
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学出
Ｓ ｉｆｌ ｏｖ ｓ ｎ ｆ ｅ ｕ ｎ ｅＬｍｉＱｕ ｓ ｏ ｔ ｅ ｒ ｎ ｌ ｕ ｓｉ ｔ ｎ ｋｌｕｌ Ｓ ｌｅ Ｋｉｄｏ ｑ ｅ ｃ ｉ ｔ ｅｔ ｎＷｉ ｔ ｉ ｇｅＳ ｂ ｔ ｕｉ ｌ ｙ ａ Ｓ ｉ ｈｈ Ｔ ａ ｔ ｏ
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二 、运用化归思想拓展结论应用 依据 所得特殊类型 的数 列极限， 运用 化归的数学思想方 法， 可求得 一些 相关 数列极 限． 例 ４口
１ｍ ２ｎ ｉ
． ，
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于是
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…
并求其檄限。
分析 【 中证 明数 列单调递 增有上界 得数列收敛 ， ｌ 】 进而
求出极限． ＝ｃ 由 ２ 做三角代换可有新解法． ｏ
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解
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记 ：
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， 利用三 角等 量代换有
【 ｓｒ ｃ】Ｔ ｅ ｌ ｔｔｅ ｒ ｓ ｔｅ ｍａｈ ｍａｉａ ｎ ｌ ｓｓｒｔ ｎ ｌ，ｄ ａｓ ｗｉ ｈ ｉ ｔｉｓ ｅ ｔ ｅ ｅ ｌ Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｉ ｈ ｏ ｙ ｉ ｈ ｔｅ ｔ ｌａ ａｙ ｉ ａｉ ａｅ ｅ ｌ ｔ ｔｅ ｌ ｓｕ ｏ ｒｖ ａ ｍｉ ｃ ｏ ｈ ｍｉ
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一
且设 为满足 ｌ ２ ． ａ ｄ 的任意 实数 ，数列极 限是 否有相 同结
论？利用前面的方法， 可检验猜想的结论． 例 ３ 设 ＜２ ｎ ： ， （ ２３…） Ｊ ｉ ｎ＝ ， ， ，＂ ｍ口 ． ￣ｌ
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一
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前
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第３ ０卷 第 ４期 ２ １ 年 ４月 ００
湖 北 广 播 电视 大 学 学 报
Ｊ ｕ ａ ｆ Ｂｅ Ｖ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏｒ ｌ ｎ ｏ Ｈｕ ｉ Ｔ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｔ
Ｖ １ ０ Ｎｏ４ ｏ ． ， ． ３
Ａｐ ｉ． ０１ ． ５ ～ １ ６ ｒｌ ２ ０ １ ６ ５
分 析 两 个 数 列 项 的规 律 ， 皆有
—————————————１琴考文献】
且分别有 ： ；号 巫 恰为特殊角 ２ ２ ： ２， 。即 ， ２一般地，若将 用ｎ代替， ． 。
【】华 东师 范大学 数 学系．数 学分 析（ １ 上册） ．北京 ： 教育 出版 【 Ｍ】 高等 赵洁 ・ 学分 析解 题方 法 ０ Ｉ ・ 海： 东师 范大 数 ０例 Ｍ】 上 华
解 由 厂 —— 声 吾 ，利用三角等量代换有
ａ ２ ２ ・ ２＋ ＝ ＋ ＋・・ 十 ４３
例５
（）ｉ 一 Ⅱ） ２ １ （ １ ｌ （ ；（ ） ｍⅡ ｍ４ １ ｉ ｌ
一
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解 因为 ｌＩ１ 口 ＜，由例 ３ 知， 口＝ｏ ，＜ 万 有 ０ 设 ０ ｃ ＃ｏ ＜ ， ｓ
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巧用三角代换求解一类数列极限问题
刘 俊 先
（ 邢台学院 数学系，河北 邢 台 ０４ ０ ） ５ ０１
【 内容提要】 极 限理论是数学分析 的理论基础 ，正确处理极 限问题尤显重要 。当数 列通项具 有某种特 殊形 式 时 ，通过实例说明，巧用三角代换 能成 功求解其极 限问题 。 【 关键词】 数列；极限 问题 ；处理方法 【 中图分类号】 ０１ ｌ ７ 【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号１ １０ ．４ ７ （０ ０ ４０ ５ ．１ ０ ８７ ２ ２ １ ）０ ．１６０ 数学分析的研 究对象是函数 ， 极限理论是数学分析 的理 论 基 础 ， 数 学 分 析 中 几 乎 所 有 的 概 念 都 是 以 极 限 形 式 定 义 的，正确 处理 极限问题尤显重要． 数列可视为整标 函数 ，因 而 数 列 极 限 是 极 限 理 论 的 重 要 组 成 部分 ． 对 数 列 通 项 具 有 针 某种特殊形式时 ， 通过实例说明 ， 巧用三角代换能成功求解 其极限问题． 巧 用 三 角代 换 求 解 一 类 数 列 极 限 问题
【竺 ｒＳＳｑｅｃ；ｉｉｑｅｔｎＰｏｅｓ ｇ ｅ ｏ ｄ】 ｅｕｎｅＬｍｔｕｓｏ；ｒ ｓｎ ｔ ｄ ｉ ｃ ｉ ｍ ｈ
［ 收稿 日期］ ０ ００ — １ ２ １ ．２０ 作者 系邢 台学 院数学 系副教授 。
。
２
： －。＋ｓ ｄ：／ ｏ Ｖ － Ｉｃ￣ ｌ
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证 明 由例 ２知， 角等量代换有 用三
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二 、运用化归思想拓展结论应用 依据 所得特殊类型 的数 列极限， 运用 化归的数学思想方 法， 可求得 一些 相关 数列极 限． 例 ４口
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于 ｌ、 Ｊ ． 是 ｉ／ ２ ＋ ｍ２ 一 ＋
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２一 ６
Leabharlann Baidu，
： ：
： 生
：
．
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第３ ０卷 第 ４期 ２ １ 年 ４月 ００
湖 北 广 播 电视 大 学 学 报
Ｊ ｕ ａ ｆ Ｂｅ Ｖ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏｒ ｌ ｎ ｏ Ｈｕ ｉ Ｔ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｔ
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